Đề thi đáp án môn toán ôn thi cao đẳng

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C của hàm số đã cho.. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi C tại giao điểm của C với trục tung.. Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2011

Môn thi : TOÁN; khối D PHẦN CHUNG CỦA TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 1 3 2

3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Câu II (2,0 điểm)

1 Giải phương trình cos4x + 12sin2x -1 =0

2 Giải bất phương trình x x x2 2x 3 1 x2 2x 3

4 −3.2 + − − −4+ − − >0

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I 12 2x 1 dx

x(x 1)

+

=

+

∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,

AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300 Gọi M là trung điểm của cạnh SC.Tính thể tích của khối chóp S.ABM theo a

Câu V (1,0 điểm) : Tìm các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có

nghiệm 6 x 2 (4 x)(2x 2) m 4+ + − − = + ( 4 x− + 2x 2− ) ( x R∈ )

PHẦN RIÊNG (3,0điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc

B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường thẳng d : x + y + 3=0 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(2; -4) và tạo với đường thẳng d một góc bằng 45o

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(-1; 2; 3), B(1; 0; -5) và mặt phẳng (P) : 2x + y - 3z - 4 =0 Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng

Câu VII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn (1+2i)2z + z = 4i - 20 Tính môđun

của z

B Theo chương trình Nâng cao.

Câu VI.b (2,0 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình các cạnh là AB: x + 3y - 7 = 0, BC : 4x + 5y - 7 = 0, CA : 3x + 2y - 7 = 0 Viết phương trình đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC

Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; -3) và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho AB = 26

Câu VII.b (1,0 điểm) Cho số phức z thoả mãn z2-2(1+i)z +2i = 0 Tìm phần thực và

phần ảo của 1

z.

BÀI GIẢI GỢI Ý

Câu I

1 MXĐ D = R; y' = -x2 + 4x – 3, y’ = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = 3

lim

→+∞ = −∞, lim

→−∞ = +∞

Bảng biến thiên :

x −∞ 1 3 +∞

y’ − 0 + 0 −

y +∞ CĐ

CT −∞

y đồng biến trên (1, 3), nghịch biến trên (-∞, 1), (3, +∞)

y đạt cực tiểu tại x = 1 và yCT = y(1) = 1

3

−

y đạt cực đại tai x = 3 và yCĐ = y(3) = -9 + 18 – 9 + 1 = 1

Điểm đặc biệt A (0, 1)

Giao điểm (C) và trục tung : A (0, 1)

y' = -x2 + 4x – 3 ⇒ kTT = y’(0) = -3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A : y – 1 = -3 (x – 0) ⇔ y = -3x + 1

Câu II:

1 cos4x + 12sin2x – 1 = 0 ⇔ 2cos22x – 1 + 6(1 – cos2x) – 1 = 0

⇔ cos22x – 3cos2x + 2 = 0 ⇔ cos2x = 1 hay cos2x = 2 (loại)

⇔ 2x = k2π ⇔ x = kπ, k ∈ Z

4x−3.2x+ x − −x −4+ x − −x >0 ⇔ 2 2 2 3 2 2 2 3

2 x−3.2 2x x− −x −4.2 x− −x >0

⇔1 3.2− x2 − − − 2x 3 x−4.22( x2 − − − 2x 3 x) >0 (1)

Đặt t = 2 2 3

2 x − − −x x > 0 (*)

(1) thành 1 – 3t – 4t2 > 0 ⇔ 4t2 + 3t – 1 < 0 ⇔ 1 1

4

t

− < <

Do đó bất phương trình đã cho tương đương : 2 x2 − − − 2x 3 x < 1

4 = 2

-2

x − x− − < −x ⇔ 2

x − x− < −x

2 0

x

− >



 − − ≥



 − − < − +



2

x

≤ <

Câu III: I =

2

1

dx

x x

+ + +

2

1

1

6

2

Câu IV: BC vuông góc với mặt phẳng SAB

Góc SBC = 300 nên SA =

y

x -1/3

1

3

A

B

C S

M

Câu V: 6+ +x 2 (4−x)(2x−2) = m + 4( 4 2− + 2x−2) (1) ĐK : 1 ≤ x ≤ 4 Đặt t = 4− +x 2x−2 với x ∈ [1; 4]

t’ = 0 ⇔ 2 4− =x 2x−2 ⇔ 16 – 4x = 2x – 2 ⇔ 6x = 18 ⇔ x = 3 ⇒ t = 3

x 1 3 4 đk : 3 ≤ t ≤ 3

t’ + 0 − Ta có : t2 = 2 + x + 2 (4−x)(2x−2)

t 3 ⇒ x + 2 (4−x)(2x−2) = t2 - 2

3 6 (1) thành : 4 + t2 = m + 4t ⇔ t2 – 4t + 4 = m (2) Xét f(t) = t2 – 4t + 4 với t ∈ [ 3 ; 3]

f’(t) = 2t – 4, f’(t) = 0 ⇔ t = 2 ⇒ f(t) = 0

t 3 2 3

f’ − 0 +

f 7 4 3− 1

0

(1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [ 3 ; 3] ⇔ 0 ≤ m ≤ 1 Câu VI.a : 1 Gọi ∆: a( x - 2 ) + b( y + 4 ) = 0 với a2 + b2 ≠0 Ta có : cos 450 a b2 2 1 2 2 a b + = = + 2 2 a b a b ⇔ + = + 2 2 2 2 a b 2ab a b ⇔ + + = + ⇔ab 0= ⇔ =a 0 v b 0= Vậy ∆1 : y + 4 = 0 và ∆2 : x - 2 = 0 Cách khác : d : x + y + 3 = 0 ⇒ góc giữa Ox và d là 450 ∆ hợp với d một góc 450⇒∆ cùng phương với Ox hoặc Oy mà ∆ qua A (2; -4) ⇒ phương trình ∆ là x = 2 hoặc y = -4 2 Phương trình AB x 1 t y 2 t z 3 4t = − +   = −   = −  M AB∈ ⇒M( 1 t, 2 t,3 4t)− + − − M (P)∈ ⇒2(t 1) (2 t) 3(3 4t) 4 0− + − − − − = ⇒ =t 1 Vậy M(0, 1, -1) Câu VII.a : Đặt z = a + bi Ta có : ( 3 4i) a bi− + ( + ) (+ −a bi 4i 20) = − 3a 3bi 4ai 4b a bi 4i 20 ⇔ − − + − + − = − 2a 4b 20 4a 4b 4 − − = −  ⇔  − = 

a 2b 10 a b 1 + =  ⇔  − =  a 4 b 3 =  ⇔  =  Vậy z = 4 + 3i ⇒ =z 5 Câu VI.b : 1 Toạ độ A là nghiệm hệ phương trình: x 3y 7 3x 2y 7 + =   + = 

x 1

y 2

=



⇔  =



AH qua A và có 1 pháp vectơ là nr = (5,-4) ⇒ AH : 5x 4y 3 0− + =

Cách khác : A = AB ∩ CA ⇒ A (1; 2)

Đường cao AH qua A và vuông góc BC ⇒ AH : 5(x – 1) – 4(y – 2) = 0

⇔ 5x – 4y + 3 = 0

2 d qua M (1, -1, 1) vtcp ar = (4,-3,1) ⇒IM (0, 3, 4)uuur= − ⇒ a, IM

r uuur

=(-9,-16,-12)

d(I,d)= 37

2 =

2 2

Câu VII.b : 2

⇔ − − = ⇔ z = 1 + i 1 1 i

⇒ = −

Vậy phần thực của 1

z là

1

2 và phần ảo là

-1 2 Trần Minh Quang, Trần Minh Thịnh (Trường THPT Vĩnh Viễn – TP.HCM)