cơ học môi trường liên tục

cơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tụccơ học môi trường liên tục

PGS ts TrÇn v¨n Liªn

c¬ häc m«i tr−êng

liªn tôc

hμ néi, 2008

Lời nói đầu

Cơ học môi trường liên tục lμ ngμnh khoa học nghiên cứu về chuyển vị, biến dạng vμ ứng suất trong các môi trường liên tục ở điều kiện cân bằng hay chuyển động do các tác động bên ngoμi như ngoại lực, chuyển vị, nhiệt độ, v.v Cơ học môi trường liên tục lμ cơ sở chung để nghiên cứu vμ phát triển các ngμnh cụ thể hơn như thủy khí

động lực, lý thuyết đμn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, nhiệt động lực học, v.v Cuốn sách nμy được biên soạn trên cơ sở các bμi giảng về cơ học môi trường liên tục của tác giả cho các lớp kỹ sư chất lượng cao (PFIEV) vμ kỹ sư công trình tại Trường

Đại học Xây dựng Mục đích của tác giả lμ giúp cho cho người đọc không những có cái nhìn tổng quan về các môn cơ học trong các trường kỹ thuật mμ còn cung cấp những khái niệm cơ bản, những phương pháp cần thiết vμ những ứng dụng có tính minh hoạ của cơ học môi trường liên tục trong các tính toán kỹ thuật Đồng thời cuốn sách nμy có thể sử dụng lμm tμi liệu học tập, nghiên cứu cho sinh viên thuộc các ngμnh kỹ thuật như xây dựng, giao thông, thủy lợi, hμng hải, cơ khí, v.v , các học viên cao học vμ các cán bộ khoa học trẻ trong lĩnh vực chuyên ngμnh Cơ học vật rắn biến dạng

Xin cảm ơn Trường Đại học Xây dựng, Bộ môn sức bền vật liệu đã tạo điều kiện vμ ủng hộ trong việc hoμn thμnh cuốn sách nμy Đặc biệt xin cảm ơn GS TSKH Đμo Huy Bích, GS TS Nguyễn Văn Phó, GS TSKH Nguyễn Tiến Khiêm, PGS TS Lê Ngọc Hồng, PGS TS Lê Ngọc Thạch vμ PGS TS Tô Văn Tấn cùng các đồng nghiệp ở Bộ môn sức bền vật liệu Trường Đại học Xây dựng đã đọc kỹ vμ cho nhiều ý kiến xác

đáng về nội dung cũng như cách trình bμy

Cuốn sách nμy chắc không tránh khỏi những sai sót, mong rằng sẽ nhận được những góp ý của các đồng nghiệp Các ý kiến góp ý luôn được đón nhận một cách trân trọng

vμ xin gửi về: Bộ môn sức bền vật liệu - Trường Đại học Xây dựng, 55 đường Giải phóng, Hμ Nội, Tel (04)38691462

Tác giả

Mục lục

Mở đầu

Chương 1 Khái niệm về ten xơ

1.2 Trường vô hướng 14

Chương 2 Trạng thái biến dạng

Chương 3 Trạng thái ứng suất

Chương 4 Các phương trình cơ bản của cơ học môi trường liên tục

4.2 Định luật biến thiên động lượng Định luật biến thiên mômen động lượng 94 4.3 Các quá trình nhiệt động lực của môi trường 97

Chương 5 Lý thuyết đμn hồi tuyến tính

5.2 Định luật Hooke cho vật thể đμn hồi tuyến tính, thuần nhất vμ đẳng hướng 116 5.3 Cách đặt bμi toán của lý thuyết đμn hồi tuyến tính, thuần nhất vμ đẳng hướng 122

5.5 Cách giải bμi toán đμn hồi theo ứng suất Phương trình Beltrami – Michell 128

5.7 Cách đặt bμi toán thuận vμ ngược của lý thuyết đμn hồi Nguyên lý cục bộ

Chương 6 Bμi toán phẳng của lý thuyết đμn hồi trong hệ tọa độ Descartes

vuông góc

Chương 7 Bμi toán phẳng của lý thuyết đμn hồi trong hệ tọa độ cực

7.2 Trường hợp ứng suất không phụ thuộc vμo góc cực: Bμi toán đối xứng trục vμ

Chương 8 Tấm mỏng đμn hồi

Chương 9 Phương pháp phần tử hữu hạn trong bμi toán đμn hồi tuyến tính

9.6 Phương pháp ma trận độ cứng động lực 264

Chương 10 Lý thuyết dẻo

Chương 11 Lý thuyết từ biến

Chương 12 Cơ học chất lỏng vμ chất khí

12.3 Chất lỏng lý tưởng 324

Danh mục các ký hiệu

Hệ tọa độ, ten xơ

x 1 , x 2 , x 3 Các tọa độ Euler của hệ Descartes vuông góc

X 1 , X 2 , X 3 Các tọa độ Lagrange của hệ Descartes vuông góc

x, y, z Tọa độ Descartes vuông góc

r, θ, z Tọa độ cực (trụ)

i

er Véc tơ đơn vị của hệ trục tọa độ

ν, ξ, η Hệ tọa độ trên mặt cắt có pháp tuyến ngoμi νr

t Thời gian

V Miền không gian do môi trường liên tục chiếm chỗ

S Mặt biên của thể tích V

( 1 , 2 , 3) (;lr l1 ,l2 ,l3)

δij Ten xơ Kronecker

e ijk Ten xơ Levi – Civita

a i , a ij , a ijk Ten xơ hạng 1 (véc tơ), hạng 2, hạng 3

I 1 , I 2 , I 3 Bất biến thứ nhất, thứ hai vμ thứ ba của ten xơ hạng hai

∇ Toán tử nabla

Δ, Δ1 Toán tử Laplace ba chiều, hai chiều

c ij Ma trận các côsin chỉ phương grad Građiên của hμm vô hướng div, rot Đive vμ rôta của trường véc tơ

J Ma trận Jacobian của phép biến đổi det(A) Định thức của ma trận A

Hằng số, đặc trưng cơ học vật liệu

E Môđun đμn hồi Young

G Môđun đμn hồi khi trượt

ν Hệ số nở ngang Poisson

ρ Mật độ khối lượng

λ, μ Các hằng số Lamé

K Môđun biến dạng thể tích

D Độ cứng trụ

E t Môđun tái bền

σtl Giới hạn tỷ lệ

σb (σb,k , σb,n ) Giới hạn bền (khi kéo, khi nén)

σdh Giới hạn bền dμi hạn

H Môđun đμn hồi tức thời

η Hệ số nhớt hay hệ số cản trong của vật liệu

λ*

, μ*

Các hệ số nhớt của chất lỏng

χ* Hệ số nhớt khối của chất lỏng

Môi trường liên tục

m Khối lượng

Rr

Véc tơ động lượng của môi trường

Hr

Véc tơ mô men động lượng của môi trường

K Động năng của môi trường

vật thể đμn hồi

đμn hồi trên một đơn vị khối lượng cho vật thể đμn hồi

Q Nhiệt năng của môi trường

A Công cơ năng của môi trường

b Hằng số bức xạ nhiệt

(c1 ,c2 ,c3)

T Nhiệt độ tuyệt đối (Kelvin)

k Hệ số truyền nhiệt Fourier

S Entrôpi của môi trường

s Mật độ entrôpi

θ& Tốc độ biến dạng thể tích

W Thế năng biến dạng trên một đơn vị thể tích

W * Công bù

Wθ Thế năng biến dạng thể tích

W P Công biến dạng dẻo

Chuyển vị, biến dạng

(u r u u z) x y z

u

u u u u u u u u

, ,

, ,

; , , 2 3

1 θ

r

r r

Chuyển vị của điểm vật chất trong hệ tọa độ Descartes vμ

hệ tọa độ cực (trụ)

(v1,v2,v3)

(w1 ,w2 ,w3)

G ij Ten xơ biến dạng hữu hạn Green

A ij Ten xơ biến dạng hữu hạn Almansi

εij Ten xơ biến dạng bé

ωij Ten xơ quay tuyến tính

rr Véc tơ quay tuyến tính

θ Biến dạng thể tích tỷ đối

γ Biến dạng góc

εtb Độ dãn trung bình của ten xơ biến dạng bé

ε1 , ε2 , ε3 Các biến dạng chính của ten xơ biến dạng bé

εν Biến dạng dμi tương đối theo phương νr

D ij

ε Ten xơ lệch biến dạng

S ij

Γ Cường độ biến dạng trượt

εu Cường độ biến dạng

ij

e ij Ten xơ tốc độ biến dạng

ζij Ten xơ xoáy biến dạng

ij

ε& Ten xơ tốc độ biến dạng bé

u

ε& Cường độ tốc độ biến dạng

εE

Biến dạng đμn hồi

εP

Biến dạng dẻo, biến dạng dư

εC Biến dạng từ biến

w Độ võng của tấm

Ngoại lực, ứng suất

( r z)

z y x

F F F F

F F F F F F F F

, ,

, ,

; ,

1

θ r

r r

Lực thể tích trong hệ tọa độ Descartes vμ hệ tọa độ cực (trụ)

(K1 ,K2 ,K3)

Kr

Lực khối

(P P P ) P (P x P y P z)

Prν ν1, ν2, ν3 ; rν ν , ν , ν

Lực mặt trên biên có pháp tuyến νr ( ν1, ν2, ν3)

p

σij Ten xơ ứng suất

ν

σr Véc tơ ứng suất pháp trên mặt cắt có pháp tuyến νr

ξη

σr Véc tơ ứng suất tiếp trên mặt phẳng ξη

σtb Giá trị ứng suất pháp trung bình của ten xơ ứng suất

σ1 , σ2 , σ3 Các ứng suất chính của ten xơ ứng suất

D ij

S ij

τ1 , τ2 , τ3 Các ứng suất tiếp chính

T Cường độ ứng suất tiếp

σu Cường độ ứng suất

ij

ij

σ& Ten xơ tốc độ ứng suất

τij Ten xơ ứng suất nhớt

S Hμm tổng ứng suất

N x , N y , S x , S y , S, Q x , Q y ,

M x , M y , M xy , M yx , H Các thμnh phần ứng lực trên mặt trung bình của tấm

p Tải trọng ngang phân bố của tấm

F Hμm ứng lực

Phương pháp phần tử hữu hạn

M, C, K Ma trận khối lượng, cản, độ cứng của cả hệ

U Véc tơ chuyển vị nút của cả hệ trong hệ tọa độ tổng thể

P Véc tơ tải trọng quy về nút của cả hệ

u e Trường chuyển vị của phần tử trong hệ tọa độ địa phương

U e Véc tơ chuyển vị nút trong hệ tọa độ của phần tử

N e =(N 1 , N 2 , ) Hμm dạng của phần tử hữu hạn

B e Ma trận quan hệ biến dạng – chuyển vị nút của phần tử

εe , σe Véc tơ các thμnh phần biến dạng, ứng suất của phần tử

D e Ma trận các hằng số đμn hồi của phần tử hữu hạn

M e , C e , K e Ma trận khối lượng, cản, độ cứng của từng phần tử

0

0 ; ε

P C Véc tơ tải trọng tập trung tại nút trong hệ tọa độ tổng thể

T e

Ma trận chuyển đổi các chuyển vị nút từ hệ tọa độ địa phương sang hệ tọa độ tổng thể

A Diện tích tiết diện thanh

I Mô men quán tính của tiết diện thanh

A e Diện tích phần tử tam giác phẳng

h Độ dầy của phần tử tam giác phẳng, phần tử tấm

i Số ảo i= ư 1

Kˆ Ma trận độ cứng động lực

Uˆ Véc tơ biên độ phức của chuyển vị nút

Pˆ Véc tơ biên độ phức của tải trọng quy về nút

ω Tần số dao động

ωi Tần số dao động riêng của hệ

λ Tham số động lực

Φe Biên độ của chuyển vị dọc trục hay chuyển vị ngang

*

e

q Biên độ của tải trọng dọc trục hay tải trọng ngang

Eˆ Môđun đμn hồi phức

K 1 , K 2 , K 3 , K 4 Các hμm Krylov

4 3 2

1 , e , e , e

R e1 , R e2 , R e3 , R e4 vμ Rˆ e Các thμnh phần vμ véc tơ ứng lực tại tiết diện thanh

Mở đầu

0.1 khái niệm về cơ học Môi trường liên tục

0.1.1 Đối tượng, mục đích vμ phạm vi của cơ học môi trường liên tục

Đối tượng của cơ học môi trường liên tục lμ những vật thể hữu hạn có cấu tạo vật chất liên tục vμ khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi trong thời gian

chuyển động Các vật thể nμy được gọi lμ các “môi trường liên tục” hay các

“continuum” Khái niệm “môi trường” được dùng để chỉ vật thể với ý nghĩa lμ kích

thước của vật thể lớn hơn rất nhiều so với kích thước của các hạt vật chất, các phân

tử, các mạng tinh thể cấu tạo nên vật chất Tính chất “liên tục” được hiểu lμ tại mỗi

điểm hình học trong không gian của vật thể, ta luôn có thể lấy ra được một phần tử vật chất bé tùy ý bao quanh điểm đó (hay lμ vật chất lấp đầy không gian vật thể) Mục đích của cơ học môi trường liên tục lμ thiết lập các tính chất chung vμ các quy luật chuyển động của môi trường liên tục như quy luật về lực do chất lỏng tác dụng lên các vật chuyển động trong nó; sự liên quan giữa tải trọng ngoμi vμ biến dạng của vật thể rắn, v.v

Nếu cơ học lý thuyết nghiên cứu cân bằng hay chuyển động của chất điểm, hệ chất

điểm rời rạc vμ vật rắn tuyệt đối thì cơ học môi trường liên tục lμ một phần rộng lớn của cơ học, nghiên cứu chuyển động của các môi trường có biến dạng như các chất khí, chất lỏng, vật rắn biến dạng vμ các môi trường đặc biệt như trường điện từ, trường bức xạ, trường hấp dẫn, v.v Các phương trình cân bằng hay chuyển động của cơ học môi trường liên tục lμ sự mở rộng các phương trình của cơ học lý thuyết Cơ học môi trường liên tục lμ cơ sở chung để phát triển lý thuyết đμn hồi, lý thuyết dẻo, lý thuyết từ biến, thủy động lực học, khí động lực học, nhiệt động lực học vμ nhiều ngμnh khác của vật lý vμ cơ học Tính chất chung vμ sự liên hệ mật thiết giữa các ngμnh cơ học vμ vật lý kể trên, mμ thoạt tiên tưởng như khác nhau, bắt buộc ta phải nghiên cứu chúng như một thể thống nhất

0.1.2 Nội dung vμ phương pháp của cơ học môi trường liên tục

Các nghiên cứu về cơ học môi trường liên tục phát triển theo hai hướng:

- Nghiên cứu tính chất cơ học của môi trường, tức lμ phát hiện vμ nghiên cứu các quy luật vật lý của môi trường khi chịu tác dụng của lực ngoμi

- Thiết lập các bμi toán cơ học thμnh các bμi toán toán học vμ phát triển phương pháp giải các bμi toán cụ thể

Bản thân việc giải quyết các bμi toán cụ thể của cơ học môi trường liên tục bằng toán học cũng được xem lμ cơ học môi trường liên tục Điều đó giải thích rằng thậm chí trong những trường hợp đơn giản nhất, các bμi toán của cơ học môi trường liên tục được đặt ra về mặt toán học cũng rất khó vμ không thể giải được một cách có hiệu quả bằng các phương tiện toán học hiện đại Do đó buộc phải thay đổi cách đặt bμi toán vμ tìm cách giải gần đúng dựa trên cơ sở các giả thuyết vμ các kiến thức cơ học khác nhau

0.2 Các giả thiết cơ bản của cơ học môi trường liên tục

0.2.1 Quan điểm hiện tượng vĩ mô

Cấu trúc của các phân tử vμ các lực tương tác giữa chúng rất phức tạp, không phải lúc nμo cũng biết được Ta không thể theo dõi chuyển động của từng hạt cơ bản, vì chúng rất nhiều vμ chưa biết trước lực tương tác giữa chúng với nhau Điều quan trọng lμ cần chú ý rằng, thông thường không cần thiết phải biết chuyển động của từng hạt cơ bản

Trên thực tế, ta chỉ cần một số đặc trưng trung bình quy ước dựa trên các quy luật

vμ các giả thuyết chung thu được bằng thực nghiệm trên các vật thể có kích thước vĩ

mô (hữu hạn) Đây lμ quan điểm hiện tượng vĩ mô - chỉ chú ý đến các quá trình, các

hiệu ứng vμ các tính chất quan trọng đối với vật thể hữu hạn mμ ta quan sát hoặc sử dụng trong những hiện tượng khác nhau của thiên nhiên vμ kỹ thuật

Một phương pháp khác nghiên cứu các môi trường vật chất đã được phát triển trong

vật lý lμ phương pháp thống kê dựa trên quan điểm xác xuất sử dụng các đặc trưng

trung bình từ tập hợp lớn các hạt Các phương pháp thống kê luôn dùng những giả thuyết bổ sung về tính chất của hạt, tương tác của chúng vμ giản ước các tính chất

vμ tương tác nμy Cần lưu ý rằng trong nhiều trường hợp không tồn tại cơ sở để xây dựng các phương pháp như vậy Tuy nhiên chúng không phải lμ phương tiện hiệu quả để giải các bμi toán, vì các phương trình tương ứng thu được vô cùng phức tạp

0.2.2 Giả thuyết về tính chất liên tục của môi trường

Tất cả vật chất cấu tạo từ các hạt riêng lẻ nhưng chúng có rất nhiều trong mọi thể tích bất kỳ mμ ta quan tâm, nên có thể xem gần đúng như môi trường chiếm chỗ không gian một cách liên tục

Giả thiết về tính liên tục của môi trường vật chất được đặt ra xuất phát từ quan

điểm vĩ mô Như vậy, “môi trường liên tục” hay “continuum” dùng để chỉ những vật

thể có cấu tạo vật chất liên tục vμ khoảng cách giữa các điểm của chúng thay đổi trong thời gian chuyển động

Việc lý tưởng hóa như vậy lμ cần thiết, bởi vì khi nghiên cứu chuyển động của môi trường liên tục, ta sử dụng công cụ tính toán lμ các phép tính vi phân vμ tích phân của các hμm liên tục

0.2.3 Giả thuyết không gian Euclide

Không gian lμ tập hợp các điểm được cho trước bằng những con số gọi lμ tọa độ của

điểm Không gian Euclide lμ không gian mμ trong đó ta có thể xây dựng một hệ tọa

độ Descartes duy nhất cho mọi điểm của không gian Vị trí các điểm của không gian

hoμn toμn xác định nhờ hệ tọa độ Descartes vuông góc duy nhất cho toμn bộ không

gian x, y, z Khoảng cách giữa hai điểm M 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ) vμ điểm M 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) bất kỳ xác

định theo công thức

( ) ( ) ( )2

2 1 2 2 1 2 2

x

Cơ học môi trường liên tục giả thiết không gian lμ Euclide ba chiều Cơ học xây dựng

trong các không gian Euclide gọi lμ cơ học Newton Kinh nghiệm chứng tỏ rằng

không gian vật lý thực trong phạm vi không lớn lắm với độ chính xác cao có thể xem

lμ không gian Euclide

Không phải bất kỳ không gian nμo đều có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất cho toμn không gian Để đơn giản ta xét không gian hai chiều Rõ rμng lμ trên mặt phẳng bao giờ ta cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất có hai tọa độ cho toμn mặt phẳng Trên mặt cầu bán kính cong của nó khác không, ta không thể vẽ một hệ có hai tọa độ, để khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên đó lμ độ dμi cung

đường tròn lớn được xác định bằng công thức (0.2.1) Trên mặt cầu chỉ có thể vẽ hệ tọa độ Descartes trong miền lân cận bé của mỗi điểm Trong trường hợp không gian

ba chiều cũng không phải lúc nμo cũng có thể vẽ một hệ tọa độ Descartes duy nhất cho toμn không gian

Để tránh nhầm lẫn giữa điểm của môi trường liên tục vμ điểm của không gian do

môi trường liên tục chiếm chỗ, ta dùng khái niệm “điểm” để chỉ vị trí trong không gian cố định, còn khái niệm “phần tử” hay “hạt” để chỉ vật chất chứa trong thể tích vô cùng bé của môi trường liên tục (chất điểm)

0.2.4 Giả thuyết thời gian tuyệt đối trong các hệ quy chiếu quán tính

Khái niệm thời gian liên quan đến thực nghiệm vμ rất cần thiết trong cơ học Mỗi hiện tượng cơ học bất kỳ luôn luôn được mô tả theo quan điểm người quan sát nμo

đó Nói chung, thời gian có thể phụ thuộc vμo hệ quy chiếu của người quan sát

Hệ quy chiếu, trong đó chuyển động tự do của các môi trường (lμ chuyển động của các vật hay môi trường không chịu tác động của lực ngoμi) xảy ra với vận tốc không

đổi, được gọi lμ hệ quy chiếu quán tính Nếu hai hệ chuyển động thẳng đều với nhau,