Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE.. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC.. Chứng minh rằng AMN đều.. d Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA
Đề chính thức
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày 15 tháng 4 năm 2017
Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính hợp lí
a) 7 18 4 5 19
25 25 23 7 23
b) 7 8 7 3 12
19 11 19 11 19 c) (-25) 125 4 (-8) (-17) d) 357 1910357 199 352
Câu 2: (3,0 điểm)
Tính giá trị các biểu thức sau:
2017 2015
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1 2
1
A
b B = 2x2 – 3x + 5 với .
2
1
x
2016
2015 15
13 2 2
0 2
2 2
3
y x y x y y x x y
Câu 3: (4,0 điểm)
1 Tìm x, y biết: 3 12 0
6
1 2
2
x
2 Tìm x, y, z biết: 3x42y 2z34x 4y2 3z và x + y + z = 18.
Câu 4: (3,0 điểm)
1 Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0.
2 Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101
Tính f(100)
Câu 5: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) Vẽ về phía ngoài tam giác
ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB
và DC
a) Chứng minh rằng: ADC = ABE
b) Chứng minh rằng: DIB = 600
c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng AMN
đều
d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm, AC=4 cm Điểm I nằm trong tam
giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến
BC Tính MB
- Hết
-PHÒNG GD&ĐT THIỆU HÓA MÔN TOÁN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
Năm học 2016 - 2017
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1
4 đ
a) 7 18 4 5 19
25 25 23 7 23
b) 7 8 7 3 12
19 11 19 11 19 = =
19 11 19 11 19 19 11 11 19 19 19
c) (-25) 125 4 (-8) (-17) = (-25) 4.125.(-8) (-17)
= (-100).(-1000).(-17) = -1700000
d) 357 1910357 199 352 = 7 10 9 2
35 19 19 35 =
35 35 35 7
a 1®
b 1đ
c 1đ
d 1đ
2
(3,0đ)
2017 2015
1 1
5 3
1 1 4 2
1 1 3 1
1 1 2
1
A
2017
2016 2015
2016
5
4 3
4 4
3 2
3 3
2 1
2 2 1
2017
2016 2017
2016 2015
2016
5
4 3
4 4
3 2
3 3
2 1
2 2
1
0,5 0,5
b Vì 1
2
x nên x = 1
2 hoặc x = -
1 2 Với x = 1
2 thì B = 2.(
1
2)
2 – 3.1
2 + 5 = 4 Với x = - 1
2 thì B = 2.(-
1
2)
2 – 3.(-1
2 ) + 5 = 7
Vậy B = 4 với x = 1
2 và B = 7 với x = -
1
2.
0,25 0,5 0,25
2016
2015 15
13 2
y x y x y y x x y x
2 13 3 2 15 1 1
3
6
1 2
2
x với x; 3y 12 0 với y, do đó:
6
1 2
2
x với x, y Theo đề bài thì
0 12 3 6
1 2
2
6
1 2
2
0 6
1
2x và 3y 12 0
12
1
x và y 4 Vậy
12
1
4
y
0,5 0,25 0,5
0,75
2 Ta có:
2
3 4 3
4 2 4
2
Suy ra:
Trang 3 0
29
6 8 12 6 8 12 4
3 4 2 9
4 2 3 16
2 3
4
x
4
2
y x y
x
(1)
0 2 4 2 4
3
4
x z x
z
(2)
Từ (1) và (2) suy ra .
4 3 2
z y x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
2 9
18 4 3 2 4 3
x
Suy ra: x = 4; y = 6; z = 8.
0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25
4
(3,0đ)
1 Ta có: x – 2xy + y – 3 = 0
2x – 4xy + 2y – 6 = 0 2x – 4xy + 2y – 1 = 5
2x(1 – 2y) – (1 – 2y) = 5 (2x – 1)(1 – 2y) = 5
Lập bảng :
Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Vậy x;y1 ; 2 , 3 ; 0 , 0 ; 3 , 2 ; 1
0,75
0,5
0,25
2 Ta có: f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + … – 101x + 101
= x10 – 100x9 – x9 + 100x8 + x8 – 100x7 – x7 + … – 101x + 101
= x9(x – 100) – x8(x – 100) + x7(x – 100) – x6(x – 100)+ … + x(x – 100) – (x – 101)
Suy ra f(100) = 1
0,5
0,5 0,5
Câu 5
a
I K
A
D
E
Ta có: AD = AB; DAC BAE và AC = AE
Suy ra ADC = ABE (c.g.c)
0,5
0,75 đ 0,25 đ
Câu
4.b
Từ ADC = ABE (câu a) ABE ADC ,
mà BKI AKD (đối đỉnh)
Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK = 600 (đpcm)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ
Trang 4Câu 4.
A
D
E
M
N J
Từ ADC = ABE (câu a) CM = EN và ACM AEN
ACM = AEN (c.g.c) AM = AN và CAM EAN
MAN CAE = 600 Do đó AMN đều
0,5 đ 0,5 đ
Câu 4
d
Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB BIJ đều BJ = BI và
JBI DBA = 600 suy ra IBA JBD , kết hợp BA = BD
IBA = JBD (c.g.c) AIB DJB = 1200 mà BID = 600
DIA
= 600 Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE
1
Câu 5
Vì I nằm trong tam giác ABC cách đều 3 cạnh nên I là giao 3
đường phân giác trong tam giác ABC
Tam giác ABC vuông tại A nên tính BC=5 cm
CM được CEI CMI CM CE
Chứng minh tương tự:AE=AD, BD=BM
Suy ra MB = (BC+AB-AC)/2 = 2
0.25 0.25 0,25 0,25