134 đề HSG toán 7 huyện hoằng hóa 2016 2017

6,0 điểm Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC.Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của.. Chứng minh rằng AMN d Chứng minh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 16/03/2017 Câu 1 (4,5 điểm)

a) Tính giá trị của biểu thức 4 2 :2 3 3 :2

7 5 3 7 5 3

A     

b) Tính giá trị của biểu thức B2x2 3x1với 1

2

x 

c) Tìm 3 số , ,x y z biết rằng: ;

3 7 2 5

x  y y  z và x   y z 110

Câu 2 (4,5 điểm)

a) Tìm tập hợp các số nguyên x biết rằng: ,

4 : 2 7 3 : 3, 2 4,5.1 : 21

b) Tìm x biết: , 1 1 1 1 1 11

x    x x  x   x  x

c) Tính giá trị của biểu thức C2x55y32015tại ,x y thỏa mãn:

 20

x  y 

Câu 3 (3,5 điểm)

a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của

nó tỉ lệ theo 1: 2 : 3

b) Tìm tất cả các số tự nhiên a b sao cho:, 2a 37 b 45  b 45

Câu 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB AC.Vẽ về phía ngoài tam giác

ABC các tam giác đều ABD và ACE Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của

AB và DC

a) Chứng minh rằng : ADC  ABE

b) Chứng minh rằng: DIB600

c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE Chứng minh rằng

AMN

d) Chứng minh rằng IA là phân giác của DIE

Câu 5 (1,5 điểm)

Cho 20 số nguyên khác 0: a a a1, 2, 3, ,a20có các tính chất sau:

* a1là số dương

*Tổng của ba số viết liền nhau bất kỳ là một số dương

*Tổng của 20 số đó là số âm

Chứng minh rằng: a a1 14 a a14 12 a a1 12

ĐÁP ÁN Câu 1

a A     

b) Vì 1 1

x    x

Với 1

2

x thì

2

2 3 1 0

A     

 

 

Với 1

2

x  thì

2

A      

Vậy A0với 1

2

x và A3với 1

2

x 

3 7 6 14 2 5 14 35 6 14 35

x   y x y y  z y  z  x y  z

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

110

2

6 14 35 6 14 35 55

2.6 12; 2.14 28; 2.35 70

Vậy x 12,y 28,z 70

Câu 2

a)Ta có: 4 : 25 5 7 41 18 7 2 7 5

9 18  9 41     Lại có:

Do đó 5 2

5

x 

   mà x      x  4; 3; 2; 1

b) Nhận xét: Vế trái của đẳng thức luôn 0 nên vế phải 0 11x  0 x 0 Với x0ta có:

1 10

Vậy 10

11

x

x  y    x y  với mọi ,x y

Kết hợp  

20

20

2

y y



Giá trị của biểu thức C2x5 5y32015tại x1,y 2 là:

 3 5

2.1 5 2 2015 2057

Vậy C2057

Câu 3

a) Gọi a b c là các chữ số của số có ba chữ số cần tìm Không mất tính tổng , , quát, giả sử a  b c 9, ta có: 1   a b c 27

Mặt khác do số cần tìm là bội của 18 nên là bội của 9

Do đó a      b c 9 a b c 18   a b c 27

Theo đề bài ta có:

a b c a b c

  

Như vậy a b c  chia hết cho 6, nên a  b c 18

Từ đó suy ra a3,b6,c9

Do đó số phải tìm là bội của 18 nên chữ số hàng đơn vị chẵn

Vậy hai số cần tìm là 396,936

b) Nhận xét : với x0thì x  x 2x

Với x0thì x  x 0.Do đó x x luôn là số chẵn với b

Suy ra 2a 37 là số chẵn 2alẻ  a 0

Khi đó b45  b 4538

Nếu b45, ta có:  b 45 b 4538 0 38(ktm)

Nếu b45, ta có: 2b4538 b 64(tm)

Vậy   a b,  0;64

Câu 4

a) Ta có: ADAB DAC, BAEvà AC AE ADC ABE c g c( )

b) Từ ADC  ABEABE ADC mà BKI  AKD(đối đỉnh)

Khi đó xét BIK và DAK suy ra BIK DAK 60 (0 dfcm)

c) Từ ADC  ABECM EN ACM,  AEN

( )

ACM AEN c g c AM AN

0

60

MAN CAE Do đó AMN đều

d) Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ IB BIJđềuBJ BIvà

0

JBI DBA IBA JBD kết hợp BABD

0

IBA JBD c g c AIB DJB

0

60

DIA

  Từ đó suy ra IA là phân giác của DIE

Câu 5

Ta có:

J

N

M

K

I

E

D

A

B

C

 1 2 3  10 11 12 13 14  15 16 17  18 19 20

13 14

0

Mặt khác, a12 a13 a14  0 a12 0

Từ các điều kiện a1 0;a12 0;a14 0 a a1 14a a14 12a a1 12(dfcm)