Hệ thống điều khiển tự động, kỹ thuật lập trình PLC, CADCAM (proengineer)

Đặc trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới Cartesian, mà không phụ thuộc vào hình dạng của vật thể.. Có khá nhiều phương thức khá

Trang 1

MỤC LỤC

Trang tựa TRANG Quyết định giao đề tài

Lý lịch khoa học i

Lời cam đoan ii

Cảm Tạ iii

Mục lục iv

Danh sách các bảng vi

Danh sách các hình vii

Chương 1: GIỚI THIỆU 5

Chương 2: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG 8

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH 10

Chương 4: CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA 27

Chương 5: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 36

Chương 6: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

Trang 2

LÝ LỊCH KHOA HỌC

I LÝ LỊCH SƠ LƯỢC:

Họ & tên: HUỲNH NGỌC THÁI Giới tính: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 1983 Nơi sinh: Tiền Giang

Quê quán: Tiền Giang Dân tộc: Kinh

Chỗ ở riêng hoặc địa chỉ liên lạc: 26/6 – Hàng Tre – Khu Phố Mỹ Thành - Quận 9 - TPHCM

Điện thoại cơ quan: Điện thoại nhà riêng: 0986222850 Fax:

Ngành học: CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY

Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Thi tay nghề 4/7, Lý thuyết cơ

sở (Sức bền vật liệu), lý thuyết chuyên môn (Nguyên lý cắt gọt kim loại) Ngày & nơi bảo vệ đồ án, luận án hoặc thi tốt nghiệp:

Người hướng dẫn:

2 Đại học:

Hệ đào tạo: Đại học liên thông chính quy Thời gian đào tạo từ 09/2006 đến 09/2008

Nơi học (trường, thành phố): ĐHSP KỸ THUẬT TPHCM

Ngành học: CƠ KHÍ CHẾ TẠO MÁY

Tên đồ án, luận án hoặc môn thi tốt nghiệp: Hệ thống điều khiển tự động, Kỹ thuật lập trình PLC, CAD/CAM (proengineer)

Trang 3

Trường TCKT LƯƠNG THỰC THỰC PHẨM VĨNH LONG

-Giảng dạy thực hành tiện Giảng dạy lý thuyết chuyên môn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tp Hồ Chí Minh, ngày 18 tháng 01 năm 2014

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

Huỳnh Ngọc Thái

Trang 4

CẢM TẠ

Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Khoa Xây Dựng và Cơ Học Ứng Dụng và Khoa Cơ Khí Chế Tạo Máy trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật TP Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn thầy TS Phan Đức Huynh, dù rất

bận rộn với công việc giảng dạy nhưng thầy vẫn luôn dành thời gian quan tâm, hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận

văn Tôi cũng chân thành cám ơn thầy Nguyễn Hoàng Sơn (Đại học Tôn

Đức Thắng) đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu

Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và người thân đã động viên, khuyến khích trong suốt quá trình nghiên cứu

Trang 5

MỤC LỤC

Chương 1: GIỚI THIỆU 5

1.1 Phương pháp biên nhúng: 5

1.2 Nhiệm vụ của luận văn: 6

Chương 2: TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG 8

Phương pháp biên nhúng: 8

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG CHO BIÊN CỨNG CỐ ĐỊNH 10

3.1 Phương trình động lượng: 10

3.2 Phương pháp số: 12

3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian: 12

3.2.2 Giải vật thể: 13

3.2.2.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ: 13

3.2.2.2 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm cosin: 13

3.2.2.3 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin 14

3.2.2.4 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin: 14

3.2.2.5 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 1 14

3.2.2.6 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm e: 14

3.2.2.7 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 3: 15

3.2.2.8 Cấu trúc hàm Dirac delta 6 điểm: 15

3.2.3 Giải hệ phương trình Navier-stokes 15

3.2.3.1 Xử lý phi tuyến độ nhớt và giới hạn mật độ lực 16

3.2.3.2 Hiệu chỉnh áp suất 16

3.2.3.3 Lưới so le 17

3.2.3.4 Đạo hàm xấp xỉ 18

3.2.3.5 Điều kiện biên: 22

3.2.3.6 Phương trình Poisson: 23

3.2.4 Biên cứng 25

Chương 4: CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA 27 4.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm:

Trang 6

Chương 5: KẾT QUẢ TÍNH TOÁN 36

5.1 Số liệu tính toán và lập trình: 36

5.1.1 Biên trụ tròn: 36

5.1.2 Biên dạng phức tạp: 37

5.2 Kết quả tính toán: 40

5.2.1 Kết quả qua biên trụ tròn: 40

5.2.1.1 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ: 40

5.2.1.3 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin: 43

5.2.1.4 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin 44

5.2.1.5 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 1: 45

5.2.1.6 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm e: 47

5.2.1.7 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 3: 48

5.2.1.8 Hàm Dirac delta 6 điểm: 49

5.2.2 Biên dạng phức tạp: 51

5.2.2.1 Hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ: 51

5.2.2.3 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin: 54

5.2.2.4 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm arcsin: 56

5.2.2.5 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm đa thức bậc 1: 57

5.2.2.6 Kết quả hàm Dirac delta 4 điểm hàm e: 59

5.2.2.7 Kết quả hàm Dira delta 4 điểm hàm đa thức bậc 3: 61

5.2.2.8 Kết quả hàm Dirac delta 6 điểm: 62

5.3Nhận xét: 64

5.3.1 Đối với biên trụ tròn 64

5.3.2 Đối với biên dạng phức tạp (airfoil) 66

Chương 6: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 68

6.1 Kết luận 68

6.2 Hướng phát triển: 68

TÀI LIỆU THAM KHẢO 70

Trang 7

DANH SÁCH CÁC BẢNG

TRANG

Bảng 5.1 : Các hệ số tính toán cho biên trụ tròn 37

Bảng 5.2 : Các hệ số tính toán cho biên phức tạp 39

Bảng 5.3: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng của biên trụ tròn 64

Bảng 5.4: Số strouhal của biên trụ tròn 65

Bảng 5.5: Kết quả hệ số lực cản Cd và hệ số lực nâng Cl 66

Bảng 5.6: Số strouhal của biên dạng phức tạp 67

Trang 8

DANH SÁCH CÁC HÌNH

TRANG

hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng 8

Hình 3.1: a) biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng b) rời rạc eulerian (chấm sáng) và lưới lagrangian (chấm đen) 12

Hình 3.2: Lưới so le 18

Hình 5.1: Kích thước tính toán của biên dạng airfoil 39

Hình 5.2: Đường dòng tại Re=200 40

Hình 5.3: Hình dạng xoáy tại Re = 200 40

Hình 5.4: Áp suất cho biên trụ tròn 41

Hình 5.5: Hệ số lực cản và hệ số lực nâng 41

Hình 5.19: Hình dạng xoáy tại re = 200 46

Trang 9

Hình 5.34: Dòng chảy qua biên dạng phức tạp 51

Hình 5.36: Áp suất cho biên dạng phức tạp 51

Hình 5.37: Hệ số lực cản 52

Hình 5.38: Hệ số lực nâng 52

Hình 5.39: Dòng chảy qua biên dạng phức tap 52

HÌnh 5.40: Hình dạng xoáy tại re = 200 53

Hình 5.46: Áp suất cho biện dạng phức tạp 55

Trang 10

hình 5.72: Hệ số lực cản 63

Trang 11

Theo đó cần phải tìm ra một phương pháp mà việc chia lưới là đơn giản hơn để phân tích một cách có hiệu quả cho việc tính toán, và hiện nay nhiều nước và nhiều nhà khoa học trên thế giới đang nghiên cứu một phương pháp mà việc chia lưới rất

là đơn giản bằng cách chia lưới trực tiếp trên các ô vuông của lưới Cartesian Phương pháp đó có tên là “Phương pháp nhúng biên” (Immersed Boundary Method)

Phương pháp Immersed Boundary (IB) lần đầu tiên được sử dụng và phát triển bởi Peskin (1972) để nghiên cứu lưu lượng máu quanh van tim Đặc trưng phân biệt của phương pháp này là toàn bộ việc mô phỏng được tiến hành trực tiếp trên lưới Cartesian, mà không phụ thuộc vào hình dạng của vật thể Từ khi Peskin giới thiệu phương pháp này, thì nhiều phương thức tiếp cận về phương pháp này được đưa ra nghiên cứu và phát triển không ngừng Có khá nhiều phương thức khác nhau sử phương pháp lưới Cartesian, mà phát triển ban đầu là việc mô phỏng dòng chảy không nhớt trên lưới Cartesian khi được nhúng vào một vật thể có hình dạng phức tạp (Berger & Aftosmis 1998, Clarkeet 1986, Zeeuw & Powell 1991) Các phương pháp này sau đó đã được mở rộng để mô phỏng dòng chảy nhớt tỉnh (Udaykumar

Trang 12

triển bởi Andersone (1998) và Scardovelli & Zaleski (1999) Đối với phương pháp

IB thì các công trình nghiên cứu trong nước vẫn chưa lớn mạnh và còn mang tính khởi đầu

IBM đã được phát triển từ 1972 nên đã và đang có rất nhiều công trình nghiên cứu và bài báo về chúng Trong nghiên cứu này tác giả dựa trực tiếp vào các bài báo khoa học quốc tế và một số tài liệu đã có về IBM để tìm hiểu và phát triển

Sau khi nghiên cứu lý thuyết để tiện ích cho quá trình tính toán Tác giả sử dụng sự trợ giúp của phần mềm Matlab để tính toán và lập trình.IBM dường như là một thách thức: mã IBMs đã được sử dụng để mô phỏng dòng chảy thông qua các thuộc địa hình phức tạp san hô, xung quanh xe ô tô, linh kiện điện tử và các đối tượng rơi

tự do

1.2 Nhiệm vụ của luận văn:

Các nội dung nghiên cứu chính trong luận văn:

- Vận dụng IBM tính toán mô phỏng động học tương tác giữa lưu chất và biên dạng phức tạp (biên dạng airfoil) Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab tính toán và lập trình

- Tính lực nâng, lực cản, áp suất, vận tốc và mô phỏng dòng chảy qua biên dạng đơn giản (biên trụ tròn) và biên dạng phức tạp

- Xác định mức độ ổn định của dòng chảy với biên dạng trụ tròn và biên dạng phức tạp (airfoil) khi sử dụng các hàm Dirac delta 4 điểm và 6 điểm

- Cuối cùng, tác giả sẽ đưa ra các kết luận về kết quả thực hiện Nêu lên các vấn

đề đã giải quyết được, các vấn đề còn tồn đọng chưa được giải quyết và đề xuất hướng phát triển của đề tài

Chương 2: Tổng quan về IBM

Trang 13

Chương 3: IBM cho biên cứng cố định

Chương này tập trung vào các giải pháp của phương trình Navier-Stokes, bằng cách thực hiện rời rạc trong không gian và thời gian, và tập trung vào mô phỏng dòng chảy xung quanh biên cứng

Chương 4: Việc xây dựng các hàm Dirac delta

Chương này nói về việc xây dựng các hàm Dirac delta 4 điểm và 6 điểm sẽ được sử dụng trong IBM

Trang 14

Chương 2:

TỔNG QUAN VỀ PHƯƠNG PHÁP BIÊN NHÚNG

Phương pháp biên nhúng:

Phương pháp biên nhúng là phương pháp trong tính toán động lực học chất lỏng

và tương tác giữa chất lỏng và chất rắn Mô hình và mô phỏng hệ thống trong đó các cấu trúc đàn hồi (hoặc màng) tương tác với dòng chảy chất lỏng Phương pháp biên nhúng được thể hiện thông qua sự kết hợp giữa hệ lưới Eulerian (mô tả Eulerian) kết hợp với hệ lưới Largangian (mô tả Largangian)

Hình 2.1: Biểu diễn lưới chứa vật thể biên nhúng

Trong phương pháp này, các phương trình động lực học chất lỏng được sử dụng

để mô tả không chỉ cho chất lỏng mà còn cho chất rắn tương tác với nó Các phương trình chất lỏng được giải quyết trên một lưới cố định thông qua mô tả Eulerian và các lực đàn hồi được tính toán từ một lưới di động thông qua mô tả Larangian của vật thể đàn hồi nhúng Lưới vật thể di chuyển tự do với lưới của miền chất lỏng Hai mô phỏng Eulerian/Largangian được liên kết bởi một hàm Dirac delta Chức năng của hàm này được sử dụng để áp dụng các lực đàn hồi chất lỏng và nội suy vận tốc chất lỏng ở các điểm lưới đại diện vật thể đàn hồi

Trang 15

Lợi thế lớn của phương pháp này khi so sánh với các phương pháp số khác là

để mô phỏng một vật thể nhúng cố định hoặc di chuyển, với bất kỳ hình dạng hình học bất kì:

Ưu điểm của phương pháp IMB là sử dụng phương pháp chia lưới giống như phương pháp sai phân hữu hạn cho miền lỏng trên toàn miền hình học Chia lưới trên toàn miền có lợi hơn các phương pháp khác là có thể chia lưới cho các vật có cấu trúc phức tạp

Những ưu điểm chínhcủa IBMs là tạo lưới dễ hơn và không cần chia lưới lại khi vật thể thay đổi hay biên di chuyển khi có sự tương tác giữa chất lỏng và chất

rắn

Trang 16

Đề Các cố định Các phương trình tương tác của chương trình số phụ thuộc hàm xấp xỉ Dirac delta Chúng ta xét mô hình chất lỏng không nén được trong miền 

hai chiều có chứa một biên nhúng là một đường cong khép kín  (Hình 3.1a) Hình dạng của biên nhúng được cho bởi tham số:X s , t ,0sL b, X 0,t XL b,t Trong đó L blà chiều dài của đường cong, và X s, t là hàm vector xác định vị trí các điểm nút trên đường cong với chiều dài s và thời gian t Biên nhúng được cho

bởi một F, lực này chuyển thành lực vật thể f trong hệ phương trình Navier-Stokes

thông qua hàm Dirac delta Khi đó hệ phương trình Navier-Stokes equations được giải để xác định vận tốc dòng chảy của miền lưu chất  Khi đó biên nhúng tương tác với dòng lưu chất, vận tốc của nó phải phù hợp với điều kiện biên không trượt Phương trình động lượng của hệ thống được xác định như sau:

u

+Δ

=

∇+

∂

μ p ρ

Trang 17

nhớt của lưu chất Lực vật thể tác dụng lên miền lưu chất là

x x u X

u U

X

d t s t

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Phương trình (3.3) và (3.4) biểu diễn tương tác giữa biên nhúng và lưu chất Trong phương trình (3.3) lực vật thể được áp dụng cho lưu chất giống như biên nhúng Phương trình (3.4) thì biên nhúng được xác định bởi vận tốc miền lưu chất

Hai tính chất then chốt mà chúng ta cần áp đặt là xX s, t  (chương 4)

x X

Trang 18

3.2 Phương pháp số:

3.2.1 Rời rạc không gian và thời gian:

Phương pháp biên nhúng kết hợp Eulerian-Lagrangian bằng phương pháp sai phân hữu hạn tính toán cho tương tác giữa lưu chất và biên nhúng Một ví dụ thiết lập 2D với một biên nhúng là một đường cong khép kín được biểu diễn trong hình

3.1b Hai vấn đề của lưới tính toán: Một ô trung tâm lưới Đề Các cho biến Eulerian,

và một tập hợp các điểm nút cho biến Lagrangian

Cho miền lưu chất f [0,l x][0,l y] và N xN y

Lưới Eulerian với hh x h y là khoảng cách lưới, và h x h y l x/N x l y /N y Với

uij biểu thị giá trị biến u tại điểm thứ ij Chúng ta thiết lập N điểm lưới Lagrangian b

(Biên nhúng được chia thành sL b /N b) Với Fk là giá trị của biến F tại điểm lưới

thứ k Vị trí của điểm lưới thứ k Lagrangian là giá trị X k Chúng ta sử dụng biến phía trên để biểu diễn biến tại các bước thời gian; Như vậy un  x u x,nt và

 s s n t

Hình 3.1: a) Biểu đồ lưu chất – hệ thống biên nhúng b) Rời rạc Eulerian (chấm

sáng) và lưới Lagrangian (chấm đen)

Trang 19

3.2.2 Giải vật thể:

Lực vật thể được tính toán tại những điểm điều khiển Sau đó lực này được trải rộng trên những điểm lưới Đề Các bởi hàm Dirac Delta

   









 N b

k

k n j n

j h n

k

n

1

, ,

f  (3.8)

Với h x là hàm hai chiều Dirac, delta

























h

y h

x h

 x 12 (3.9)

Với  là hàm liên tục được xây dựng trong chương 4 như sau:

3.2.2.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm vô tỉ:

 



































2

, 0 2 1

, 4 12 7 2 5 8 1 1 0 , 4 4 1 2

3

8

1

2 2

r

r r

r

3.2.2.2 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm cosin:

1

( )

r

r r

r







 



(3.11)

Trang 20

3.2.2.3 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm hàm sin

Trang 21

3.2.2.7 Cấu trúc hàm Dirac delta hàm đa thức bậc 3:

u tại điểm lưới Đề Các sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn trong hệ thống lưới so le method [3] Trường vận tốc được nội suy để tìm ra vận tốc tại điểm điều khiển

k n

d

,

2 1 ,

1 , 1

1

X  (3.11)

3.2.3 Giải hệ phương trình Navier-stokes

Xét phương trình Navier-Stokes cho bài toán không nén được trong không gian hai

chiều (hệ phương trình (3.1)-(3.2)) là

Trang 22

2 2

2 2 2

2 2

v x

v y

v x

uv y

p t

v

f y

u x

u y

uv x

u x

p t

Chúng ta tìm lời giải tại  st

n 1 bước thời gian bằng ba cách tiếp cận sau:

3.2.3.1 Xử lý phi tuyến độ nhớt và giới hạn mật độ lực

Chúng tôi sẽ phải hạn chế một bước thời gian tương ứng với rời rạc bình phương đặc biệt, vì vậy các điều kiện phi tuyến về độ nhớt được xử lý như sau

n

n n

n n n

p t

u u u

Chúng ta hiệu chỉnh trường vận tốc trung gian ( 

u ) bởi gradient áp suất n 1

p để thực hiện tính không nén được

1 1

Trang 23

Áp suất được ký hiệu là n 1

p , phương trình trên được viết lại như sau:

p t

Đây là phương trình Poisson cho áp suất n 1

p tại thời gian  st

Khi giải phương trình Navier-Stokes, miền lưu chất f thường dùng lưới so le Đối

với lưới này thì áp suất p có vị trí giữa ô Vận tốc theo phương ngang u tại trung

Trang 24

Xét n xn y ô lưới, khi nói đến trường áp suất p, vận tốc u và v thì phải xét đến

những điểm bên trong và biên của ô lưới Bất cứ điểm nào nằm bên trong miền chính là những điểm bên trong, trong khi những điểm bên trên hoặc bên ngoài biên

là những điểm biên Như trong hình 3.2 chấm đen là điểm trung tâm, trong khi chấm sáng là điểm biên

Hình 3.2: Lưới so le 3.2.3.4 Đạo hàm xấp xỉ

, 1 ,

, 1 2

2 2

2

,

22

h

u u u

h

u u u

y

u x

Trang 25

1 , , 1 , 2

, 1 , ,

1 ,

2 2 2

2

,

22

h

v v v

h

v v v

y

v x

v

j j

x

, 1 ,

1 ,

Thành phần phi tuyến (sai phân trung tâm)

Thành phần phi tuyến là một không gian duy nhất, nơi mà sự rời rạc trên lưới so le

không làm việc trực tiếp Chẳng hạn như thành phần uv thì không được xác định trực tiếp khi mà u và v nằm ở hai vị trí khác nhau Việc giải quyết là làm cho các đối số lùi về một bước: Để cập nhật u, chúng ta cần u2/x và uv/y Nếu mà dòng chảy trên mỗi bước thời gian là so sánh chậm, chúng ta sử dụng rời rạc trung tâm lưới so le giống như trước đó Nó yêu cầu 2

u phải được xác định tại những

trung tâm của ô, và uv phải được xác định tại các góc của ô Chúng tôi có được số

liệu bằng cách nội suy giá trị của hai ô gần kề

Trang 26

 

2

1 , ,

 

2

, 1 ,

Tương tự cho các thành phần v Các chỉ số kí hiệu làm cho ý tưởng trở nên phức tạp

hơn trước đó Tất cả những gì chúng ta cần làm là nạp một giữ liệu mới giữa trung

bình hai điểm Sử dụng gạch ngang bên trên với mũ x chỉ dẫn số lượng giá trị trung bình theo phương ngang, và sử dụng gạch ngang bên trên vỡi mũ y chỉ dẫn số lượng

giá trị trung bình theo phương thẳng đứng Chúng ta có thể viết lại cho các thành phần phi tuyến như sau:

 

y

v u x

u t

v u

2

, 1 , 2

1 , ,

1 ,

2

1

,

, , 1 ,

2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i

j

i

x

v v

v u

u

v v

v u

Thành phần phi tuyến (sai phân tiến)

Khi một vấn đề đối lưu khuếch tán với một thành phần đối lưu cưỡng bức được rời rạc sử dụng phương pháp sai phân trung tâm Vấn đề ổn định được đặt ra khi

khoảng cách lưới h là quá thô Thì kết quả trong giải tích sẽ có sai số so với kết quả

số Phương pháp sai phân trung tâm là phù hợp nếu số lượng chuyển đổi không quá

Trang 27

lớn thì rời rạc sẽ gần hơn so với việc áp dụng sai phân tiến Chúng tôi sử dụng một

sự chuyển đổi tinh tế giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến bằng việc sử dụng một hệ số γ ∈ [0, 1] được xác định như sau:

1.2 max max ,max ,1

, , ,j j i j j

Tổ hợp tuyến tính giữa sai phân trung tâm và sai phân tiến được thực hiện đầy đủ theo các bước sau Tương ứng với số lượng trung bình, chúng tôi tìm các sai số như sau:

2

~ 2

~

2

~ 2

~

, 1 , 2

1 , ,

1 ,

2

1

,

, , 1 ,

2 1 ,

, 1 ,

2

1

j j

j y j

j j

y

j j i j i x j

j i

j

i

x

v v

v u

u

v v

v u

u u u

x

v u v

Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng điều này sẽ trở thành sai phân trung tâm cho γ=0

và bảo toàn cho sai phân tiến cho γ =1

Trang 28

3.2.3.5 Điều kiện biên:

Áp dụng điều kiện biên một cách chính xác đòi hỏi phải hết sức tỉ mỉ Từ một vài điểm nằm trên một biên của lưới so le trong khi các điểm khác thì biên nằm giữa chúng Tại những điểm nằm trên biên thì giá trị của nó được xác định trực tiếp, Như

u nằm tại biên phía tây và đông, và v tại phía bắc và nam của biên Chúng ta phải

xác định một giá trị giữa hai điểm là giá trị trung bình của hai điểm đó Biên phía

bắc nằm giữa những điểm với vận tốc u Cho hai điểm u,j vàu,j1, và quy định giá trị trên biên làu N Khi đó điều kiện biên là:

NORTH j

j NORTH

j

u u

i SOUTH i

i

u u

i j i EAST j

i

j

v v

v u

j WEST

j j

v v

v u

v v

2

, 1 ,

, , ,



SOUTH NORTH EAST WEST

v

u

(3.37)

 Điều kiện trượt tự do

Trong điều kiện biên trượt tự do, thành phần vận tốc pháp tuyến với biên sẽ bị triệt tiêu cùng với đạo hàm pháp tuyến của thành phần vận tốc tiếp tuyến với biên:

Trang 29

i SOUTH NORTH

j NORTH j

i EAST EAST j

WEST

v

u u

v

u u

v v

u v

v

u

 Điều kiện dòng chảy ra

Trong điều kiện biên của dòng chảy ra, đạo hàm pháp tuyến của hai thành phần vận tốc được cho bằng không tại biên:

0 , 1

,

1 , ,

1

, 1 ,

0

,

0

i SOUTH

i SOUTH j

NORTH

j i NORTH j

i EAST

j i EAST j

WEST

j

WEST

v v

u u

v v

u u

v v

u u

 Điều kiện dòng chảy vào

Trên biên của dòng chảy vào, vận tốc được xác đình một cách rõ rang, áp đặt điều kiện cho vận tốc pháp tuyến với biên

3.2.3.6 Phương trình Poisson:

Phương trình Poisson yêu cầu hệ thống tuyến tính được giải trên mỗi bước thời

gian Một trong những bước quan trọng nhất của code là xử lý toán tử Laplace

Trước tiên chúng ta phân tích Laplace cho bài toán một chiều Sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn bậc hai, chúng ta có thể xác định ma trận đạo hàm với cấu trúc như sau

1

121

12111

a

h

Trang 30

N N

N N N

N

f h

u u u

f h

u u u hg

u u

hg u

u

g h

u u

g h

u u

1 2

2 1 0

1 1

1 2

0 1

1

1 0 2 1

1

2

22

B A

B A,

Kronecker 2,1 2,2

2,11

,1

(3.43)

Khi đó đạo hàm ma trận có thể được tính như sau:

 ny ny nx nx

x Kronecker I , K L

Trang 31

Do đó:

 

y x

I K Kronecker K

, I Kronecker

L L y x

,

2 2 2 2

s p

x x u X

u U

X

d t s t

t t s t

s t

t

s

,,

,,,

Khi biên nhúng cứng, vấn đề chính là xây dựng một quy luật (ví dụ định luật Hooke cho lò xo) và không đặt trong một giới hạn cứng nhắc Điều đó có nghĩa là biến dạng nhỏ của một biên rất cứng Để giải quyết vấn đề này, chúng ta giả sử vật thể đàn hồi nhưng rất cứng Thành phần lực trong phương trình (3.47) chắc chắn rằng những điểm ở biên sẽ ở gần bề mặt vật thể theo định luật Hooke cho lò xo

 s t   s t e s 

X X

Trang 32

biên cứng thì giá trị của κ phải được chọn rất lớn Khi đó dịch chuyển của biên coi

Trang 33

Chương 4:

CẤU TRÚC HÀM DIRAC DELTA

Trong chương này, chúng ta xây dựng một hàm Dirac delta sử dụng kỹ thuật làm mịn Thực hiện cho hàm một chiều sau đó được mở rộng cho miền hai chiều Miền hai chiềuh được biểu diễn bởi các hàm một chiều (tỉ lệ với độ rộng của lưới h) như

x h

4.1 Cấu trúc hàm Dirac delta 4 điểm:

j

j r j

Trang 34

Phương trình (4.5) được viết lại như sau:

   

  01

00

j

j r j r

j r j j

r r

j r j r

r r

r

r r

r r r

r r

r

r r

2 2

11

2

011

11

22

odd 2/111

even 2/12

14

1161

10

1

4/111

2/10

10

1

011

2/11

2

2 2

Trang 35

011

2

2/111

2/12

2 2

r r

r

r r

2

22

11

2/111

2

/1

2

2 2

r r

11

2/111

r r

2/111

r r

122

2

12

11

2

12

122

2

12

11

r r

r

r r

12

2 2

Trang 36

Phương trình trên có hai căn thức sau:

8

4412

13

Trang 37

,

r

r r

2,

0

21

41272

5

8

1

10

44123

8

1

01

44123

8

1

12

41272

5

8

1

2,

0

2 2 2 2

,

0

21

,41272

5

8

1

10

,4412

3

8

1

2 2

r

r r

j

j r j

 

 r j  C

  2 cho mọi giá trị thực r, C phụ thuộc r (4.25)

Trang 38

00

j

j r j r

j r j j

r r

j r j r

Định dạng
Số trang	77
Dung lượng	2,46 MB