Đa thức và phương trình hàm

Lời cảm ơnLời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo và cô giáo khoa Toán – Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tìnhgiúp đỡ trong suốt 4 năm em theo học tạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

Th.s Nguyễn Huy Hưng

Hà Nội – Năm 2016

Lời cảm ơn

Lời đầu tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy giáo

và cô giáo khoa Toán – Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tìnhgiúp đỡ trong suốt 4 năm em theo học tại khoa Toán và trong thời gianlàm khóa luận

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.s Nguyễn HuyHưng, người đã trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình làm khóaluận

Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng, song thời gian và kinh nghiệm bảnthân còn nhiều hạn chế nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếusót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, các bạn sinhviên và bạn đọc

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Phương Thanh

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướngdẫn tận tình của thầy giáo Th.s Nguyễn Huy Hưng

Trong khi nghiên cứu khóa luận này em đã tham khảo một số tài liệu

đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài "Đa thức và phương trìnhhàm" là kết quả của việc nghiên cứu, học tập và nỗ lực của bản thân,không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác Nếu sai em xinchịu hoàn toàn trách nhiệm

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Phương Thanh

Mục lục

1.1 Đa thức một ẩn 3

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 3

1.1.2 Bậc của đa thức 5

1.1.3 Phép chia có dư 5

1.1.4 Nghiệm của đa thức 5

1.1.5 Đa thức bất khả quy 7

1.2 Đa thức nhiều ẩn 9

1.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 9

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn 10

1.2.3 Đa thức đối xứng 11

1.3 Một số tính chất cơ bản của hàm số 12

1.3.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ 12

1.3.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn 12

1.3.3 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính 13 1.3.4 Đặc trưng hàm của một số hàm số sơ cấp 13

2 ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 16

2.1 Định nghĩa 16

2.2 Phương trình hàm đa thức một ẩn 16

2.3 Phương trình hàm đa thức nhiều ẩn 19

2.4 Xác định đa thức 21

2.4.1 Vấn đề 21

2.4.2 Sử dụng định lý Bezout 21

2.4.3 Sử dụng phương pháp hệ số bất định 22

2.4.4 Sử dụng phương pháp nội suy Newton 23

2.5 Xác định đa thức suy ra từ giá trị của chúng 24

2.6 Đa thức Chebyshev 28

3 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 31 3.1 Phương pháp hệ số bất định 31

3.2 Phương pháp thế 35

3.3 Phương pháp chuyển qua giới hạn 38

3.4 Phương pháp sử dụng tính chất nghiệm của đa thức 41

3.5 Phương pháp sử dụng ánh xạ 42

3.6 Phương pháp điểm bất động 44

3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ 47

3.8 Phương pháp sử dụng đạo hàm 50

3.9 Phương pháp xét giá trị 51

Kết luận 54

Tài liệu tham khảo 55

Lời mở đầu

Môn toán là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên, nó chiếmvai trò quan trọng trong các môn khoa học Không chỉ vậy, môn toáncòn có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lựctrí tuệ, rèn luyện các phẩm chất và tư duy của người học

Đại số là một bộ phận quan trọng của toán học, trong đó đa thức

là một khái niệm cơ bản và được sử dụng nhiều không những trongđại số mà còn sử dụng trong toán học cao cấp và toán ứng dụng.Phương trình hàm là một trong những vấn đề nghiên cứu của Đại

số Các dạng toán về phương trình hàm rất phong phú, bao gồm cácphương trình hàm một biến, hoặc nhiều biến Các bài toán về phươngtrình hàm thường xuất hiện trong toán sơ cấp hoặc trong các đề thihọc sinh giỏi trong và ngoài nước Đa thức và phương trình hàm cómối quan hệ chặt chẽ với nhau, tuy nhiên cho đến nay vấn đề đa thức

và phương trình hàm được trình bày rất ít, chưa được phân loại và hệthống chi tiết

Với những lí do trên em đã chọn đề tài: "Đa thức và phương trìnhhàm" làm đề tài nghiên cứu khóa luận của mình

Nội dung khóa luận gồm ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại một số kiếnthức về đa thức và phương trình hàm, trình bày một số khái niệm,tính chất sẽ được sử dụng trong các chương sau

Chương 2 Đa thức và phương trình hàm Chương này trình bày

một số dạng phương trình hàm đa thức là phương trình hàm đa thứcmột ẩn, phương trình hàm đa thức nhiều ẩn, các bài toán xác định đathức

Chương 3 Một số phương pháp giải phương trình hàm.Chương này trình bày một số phương pháp giải phương trình hàm vàcác ví dụ

Hà Nội, ngày 1 tháng 05 năm 2016

Sinh viên

Vũ Thị Phương Thanh

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị, kí hiệu là 1 Đặt

P = {(a0, a1, , an, )|ai ∈ A, ai = 0 hầu hết} Trên P xác định 2phép toán (+) và (.) như sau

• Phép cộng(a0, a1, , an, )+(b0, b1, , bn, ) = (a0+b0, a1+b1, , an+bn, )

• Phép nhân(a0, a1, , an, ) · (b0, b1, , bn, ) = (c0, c1, cn, )với ck = P

i+j=k

aibj, k = 0, 1, , n,

Khi đó P cùng với 2 phép toán (+) và (.) xác định ở trên lập thànhmột vành giao hoán có đơn vị 1 = (1, 0, , 0, ), và gọi P là vành đa

xn = (0, , 0

| {z }

n

, 1, 0, , 0, )Quy ước x0 = (1, 0, 0, )

Với mỗi phần tử α ∈ P , với mọi α = (a0, a1, , ak, ) ∈ P , tồn tại

Do đó thay cho P ta viết A[x] và gọi là vành đa thức của ẩn x, lấy

hệ tử trong A Mỗi phần tử thuộc A[x] gọi là đa thức một ẩn x, được

kí hiệu là f (x), g(x),

b, Chú ý: Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x) g(x)

Nếu r(x) 6= 0 thì ta gọi q(x) là thương, r(x) là dư trong phép chia

f (x) cho g(x) trong A[x]

1.1.4 Nghiệm của đa thức

Định nghĩa 1.1 Cho K là một vành giao hoán có đơn vị, A là vànhcon của của K Phần tử α ∈ K gọi là nghiệm của đa thức f (x) ∈ A[x]nếu và chỉ nếu f (α) = 0 Ta cũng nói α là nghiệm của phương trìnhđại số f (x) = 0 trong K

Nếu degf (x) = n > 1 thì phương trình f (x) = 0 gọi là phương trìnhđại số bậc n

b, Nghiệm bội

Giả sử k là một số tự nhiên khác 0 Một phần tử α ∈ A được gọi lànghiệm bội k của đa thức f (x) ∈ A[x] nếu và chỉ nếu f (x) (x − α)k

và không chia hết cho (x − α)k+1

c, Định lý Bezout

Cho vành đa thức A[x], A − trường f (x) ∈ A[x], α ∈ A Khi đó dưtrong phép chia f (x) cho (x − α) là f (α)

d, Hệ quả

Cho A là một trường tùy ý, phần tử α ∈ A là nghiệm của đa thức

f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi f (x) (x − α) trong A

e, Công thức Vi-et tổng quát

Cho f (x) = a0xn+ a1xn−1+ + an−1x + an ∈ A[x], A là một trường,degf (x) = n

Giả sử f (x) có n nghiệm α1, α2, α3, αn ∈ K với K là một trườngchứa A Khi đó

α1α2 αk+ + αn−k+1αn−k+2 αn = (−1)kak

a0

α1α2 αn = (−1)nan

a0Công thức trên gọi là công thức Vi-et

1.1.5 Đa thức bất khả quy

Định nghĩa 1.2 Cho A là một miền nguyên, f (x) ∈ A[x] gọi là đathức bất khả quy nếu f (x) khác 0, f (x) không khả nghịch và f (x)không có ước thực sự

b, Đa thức bất khả quy trên trường số phức

Định lý 1.2 Mọi đa thức bất khả quy trên trường số phức đều là đathức bậc nhất

Chứng minh: Giả sử f (x) = a0 + a1x + + anxn ∈ C[x], an 6= 0suy ra f (x) có n nghiệm trên C suy ra f (x) = a0(x − α1) (x − αn)

x − αi là các ước thực sự của f (x) Do đó f (x) bất khả quy khi và chỉkhi f (x) là đa thức bậc 1

c, Đa thức bất khả quy trên trường số thực

Định lý 1.3 Các đa thức bất khả quy trên trường số thực là các đathức bậc nhất và các đa thức bậc hai có định thức âm

• Nếu p(x) có nghiệm thực α thì p(x) chia hết cho đa thức hệ sốthực x − α Mà p(x) bất khả quy nên p(x) = β · (x − α) (β là một sốthực khác 0) Do đó p(x) là đa thức bậc nhất

• Nếu p(x) không có nghiệm thực và gọi α là nghiệm phức của nó

số phức liên hợp của α Khi đó số ¯α 6= α là nghiệm của p(x) và nghĩa

là p(x) chia hết cho đa thức (x − α) · (x − ¯α) = x2 − (α + ¯α)x + α ¯α

Đa thức này có hệ số thực Mà p(x) bất khả quy trên R nên p(x) =

β ·[x2−(α+ ¯α)x+α ¯α] (β là số thực khác 0), với ∆ = (α+ ¯α)2−4α ¯α < 0.Khi đó p(x) bất khả quy khi và chỉ khi định thức của nó âm

d, Đa thức bất khả quy trên trường số hữu tỉ

Định nghĩa 1.3 Đa thức p(x) = a0xn+ a1xn−1+ · · · + an−1x + an 6= 0với hệ số nguyên gọi là đa thức nguyên bản nếu những hệ số của nó

là những đa thức nguyên bản nên p không chia hết bởi tất cả những số

a0, a1, · · · , anvà b0, b1, · · · , bn Giả sử cho a0, a1, · · · , at−1, b0, b1, · · · , bs−1chia hết cho p, nhưng at không chia hết cho p và bs không chia hết hếtcho p Nhưng ct−s = atbs + at−1bs+1 + · · · + at−1bs−1 + · · · và vì ct+schia hết cho p và những tích at−1bs+1, · · · , at+1bs−1, · · · chia hết cho p,suy ra atbs phải chia hết cho p, điều này vô lý

Định lý 1.4 Nếu đa thức f (x) ∈ Z[x] là bất khả quy trên Z thì f (x)bất khả quy trên Q[x]

Chứng minhCho P (x) ∈ Z[x] bất khả quy trên Z Giả sử P (x) = Q(x).R(x),trong đó Q(x), R(x) là các đa thức hệ số hữu tỉ và 1 6 degQ(x) <degP (x), 1 6 degR(x) < degP (x) Do đó ta có thể viết lại

bd ∈ Z Suy ra P (x) = q.Q1(x).R1(x) ( trái với giả thiết

P (x) bất khả quy trên Z[x]) Vậy điều giả sử là sai, hay P (x) bất khảquy trên Z[x]

1.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Cho A là vành giao hoán có đơn vị, kí hiệu là 1 Khi đó ta xây dựngđược vành đa thức một ẩn A1 = A[x1], A1 là vành giao hoán có đơn

vị 1 Ta xây dựng được vành A2 = A1[x2] = A[x1][x2] = A[x1, x2] làvành đa thức của hai ẩn x1, x2

Tương tự ta có A3 = A2[x3] = A[x1, x2, x3] gọi là vành đa thức của

ba ẩn x1, x2, x3

Tương tự trên, ta xây dựng được vành

An = An−1[xn] = A[x1, x2, · · · , xn] gọi là vành đa thức n ẩn

x1, x2, · · · , xn trên A Các phần tử của A[x1, x2, · · · , xn], ký hiệu là

f (x1, x2, · · · , xn), g(x1, x2, , · · · , xn) , trong đó

1.2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn

Giả sử f (x1, x2, , xn) ∈ A[x1, x2, , xn] là một đa thức khác 0

f (x1, x2, , xn) = c1x1a11 xna1n + + cmx1am1 xnamn với các ci 6= 0,

i = 1, m và (ai1, , ain) 6= (aj1, , ajn) khi i 6= j

Ta gọi là bậc của ẩn xi đa thức f (x1, x2, , xn) là số mũ cao nhất

mà xi có được trong các hạng tử của đa thức Nếu trong đa thức

f (x1, x2, , xn) ẩn xi không có mặt thì bậc của f (x1, x2, , xn) đối với

nó là 0

Gọi ai1+ ai2+ + ain là bậc của hạng tử thứ i của f (x1, x2, , xn)

• Bậc của đa thức là số lớn nhất trong các bậc của các hạng tử củanó

Quy ước: Đa thức 0 là đa thức không có bậc hoặc có bậc là −∞

• Nếu các hạng tử của f (x1, x2, , xn) có bậc bằng nhau và bằng kthì f (x1, x2, , xn) gọi là một đa thức đẳng cấp bậc k hay một dạngbậc k Đặc biệt, nếu một dạng bậc nhất gọi là dạng tuyến tính, mộtdạng bậc hai gọi là dạng toàn phương, một dạng bậc ba gọi là dạnglập phương

c, Phương pháp đưa đa thức đối xứng về đa thức của các đathức đối xứng cơ bản: có hai phương pháp

Phương pháp hạng tử cao nhất

1.3.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn

Định nghĩa 1.6 Giả sử D(f ) là tập xác định của hàm số f và

kỳ của hàm số thì a gọi là chu kì cơ sở của hàm số

Định nghĩa 1.7 Cho b là số thực, b > 0

Hàm số f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn chu kì b trên M nếu

1.3.3 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính

• Hàm f (x) = tanx có tính chất

f (x + y) = f (x) + f (y)

1 − f (x)f (y) với x, y thỏa mãn x + y 6=

(2k+1)π 2

• Hàm h(x) = thx = e

x− e−x

ex+ e−x có tính chấth(x + y) = h(x) + h(y)

1 + h(x)h(y), ∀x, y ∈ R

• Hàm q(x) = cothx = e

x+ e−x

ex− e−x có tính chấtq(x + y) = 1 + q(x)q(y)

q(x) + q(y) , ∀x, y : x, y, x + y 6= 0

Chương 2

ĐA THỨC VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM

điều này vô lí Do đó chỉ có những đa thức bậc không thỏa mãn điềukiện bài toán.

Ví dụ 2 Hãy tìm tất cả những đa thức p(x) sao cho

xp(x − 1) = (x − 26)p(x)Lời giải

Giả sử p(x) là đa thức thỏa mãn điều kiện bài toán Hiển nhiên

P (x) chia hết cho x, nghĩa là p(x) = xp1(x), ở đây p1(x) là một đathức

Ví dụ 3 Hãy tìm những đa thức p(x) ∈ R[x] sao cho thỏa mãn điềukiện

p(x2) = [p(x)]2Lời giải

Cho p(x) là đa thức sao cho thỏa mãn p(x2) = [p(x)]2, và dạng chuẩntắc của p(x) là p(x) = a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an Khi đó

a0x2n+ a1x2n−2+ + an−1x2+ an = (a0xn+ a1xn−1+ + an−1+ an)2Suy ra an = a2n ⇔





an = 1

an = 0Nếu an = 1, mà cho an−1 = an−2 = = an−k+1 = 0, nhưng

an−k 6= 0(1 6 k 6 n − 1) Khi đó so sánh những hệ số trước xk trongđẳng thức trên, ta nhận được 0 = 2an−kan = 2an−k nghĩa là an−k = 0,điều này vô lí suy ra an = 0

Giả sử tồn tại hệ số am 6= 0, với m 6= 0 Nói cách khác, giả sử p(x) códạng p(x) = xn−k· · · q(x), ở đây q(x) không phải là đa thức hằng số

có hệ số tự do khác không Khi đó

x2(n−m)q(x2) = p(x2) = [p(x)]2 = x2(n−m)[q(x)]2

Nghĩa là q(x2) = [q(x)]2, điều này trái với giả thiết rằng q(x) không

là đa thức hằng số có hệ số tự do khác không, suy ra p(x) = a0xn

Do đó ta chỉ có a0x2n = a20x2n ⇒ a0 = 1 hay p(x) = xn

Ngược lại , dễ thấy mọi đa thức dạng p(x) = xn thỏa mãn điều kiệnbài toán Vậy các đa thức thỏa mãn điều kiện bài toán là p(x) = xn,

n = 0, 1, 2,

2.3 Phương trình hàm đa thức nhiều ẩn

Ví dụ 1 Hãy tìm tất cả những đa thức hai biến P (x, y) thỏa mãnđiều kiện

P (x + 1, y + 1) = P (x, y) (2.1)Lời giải

Nếu S(t) là đa thức một biến, hiển nhiên đa thức P (x, y) = S(x − y)thỏa mãn đẳng thức P (x + 1, y + 1) = P (x, y)

Ngược lại, cho P (x, y) là đa thức hai biến, mà nó thỏa mãn điều kiện(2.1) Kí hiệu Q(t, y) = P (y + t, y), dễ thấy rằng Q(t, y + n) = Q(t, y)với mọi số tự nhiên n Do đó cố định t, đa thức H(y) = Q(t, y) nhậnmột và chỉ một giá trị đối với mọi y Suy ra H(y) bằng hằng số,nghĩa là Q(t, y) là đa thức một biến t hay Q(t, y) = S(t) Khi đó

P (x, y) = Q(x − y, y) = S(x − y)

Ví dụ 2 Tìm tất cả các đa thức T (x, y) sao cho

T (x, y).T (z, t) = T (xz + yt, xt + yz), ∀x, y, z, t ∈ R (2.2)

Nếu P (x) có nghiệm phức x0 thì từ (2.3) ta được 1−x20 = 0 ⇔ x0 = ±1.

Từ đẳng thức (2.3), so sánh hệ số cao nhất ở hai vế ta được

P (x).P (x − 1) có hệ số của biến số có bậc cao nhất là −1 hoặc 1,kết hợp với đa thức P (x) chỉ có nghiệm là ±1 nên ta được P (x) =a.(1 + x)k.(1 − x)h (*), trong đó k + h = n, a ∈ {−1, 1}

Trở lại bài toán (2.2) Thay y = t = 0, x = z ta được

T (x, y).T (0, 0) = T (0, 0) suy ra T (x, y) = 1TH3: Nếu T (x, 0) = xn, thay t = 0 vào đẳng thức ban đầu suy ra

T (x, y).T (z, 0) = T (xz, yz) ⇔ T (xz, yz) = zn.T (x, y) (2.4)Với y 6= 0 ta có

2.4.2 Sử dụng định lý Bezout

Ví dụ 1 Tìm a, b ∈ R để đa thức 2x3 + ax + b chia cho x + 1 dư -6

và chia cho x − 2 dư 21

Lời giải

Đặt f (x) = 2x3+ ax + b Vì R là trường nên theo định lí Bezout ta có

f (x) : (x + 1) dư -6 suy ra f (−1) = −6 ⇔ −a + b = −4

Ví dụ 2 Cho đa thức f (x) = x4 + ax2 + b ∈ R[x] Tìm a, b biết Achia hết cho đa thức g(x) = x2 − 3x + 2 trong R







a + b = −14a + b = −16

Giả sử đa thức f (x) = ax3 + 12x2 + bx + 1 = [g(x)]3 nên

g(x) = mx + n, m, n ∈ R Do đó ax3+ 12x2+ bx + 1 = (mx + n)3 hay

ax3 + 12x2 + bx + 1 = m3x3 + 3m2x2n + 3mxn2 + n3

Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có

và −8x3 + 12x2 − 6x + 1

2.4.4 Sử dụng phương pháp nội suy Newton

Cơ sở lí luận: Để tìm đa thức f (x) bậc không quá n khi biết giá trịcủa đa thức tại n + 1 điểm là c1, c2, , cn+1, ta có thể biểu diễn p(x)dưới dạng

p(x) = b0+b1(x−c1)+b2(x−c1)(x−c2)+ +bn(x−c1)(x−c2) (x−cn)Bằng cách thế x lần lượt các giá trị c1, c2, , cn+1 vào biểu thức p(x)

ta lần lượt tính được các hệ số b0, b1, , bn

Ví dụ 1 Tìm đa thức bậc p(x) bậc 3 biết

p(0) = 10, p(1) = 12, p(2) = 4, p(3) = 1Lời giải

Cho x = 3, p(3) = −14 + 6a ⇒ a = 5

2Suy ra p(x) = 10 + 2x − 5x(x − 1) + 5

2x(x − 1)(x − 2)hay p(x) = 5

2.5 Xác định đa thức suy ra từ giá trị của chúng

2.5.1 Vấn đề: Một số đa thức nhận những giá trị đặc biệt nào đónhư chỉ nhận số hữu tỉ, số chẵn, số nguyên, tạo ra một lớp đa thứcđặc trưng hoặc có một số tính chất nào đó như phân tích được, chia