Đa thức và phân thức hữu tỉ dành cho học sinh chuyên toán

Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ I Vành đa thức một biến……….... Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ... MỞ ĐẦU Trong chương trình môn Toán ở bậc Phổ

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG -

NGUYỄN ĐỨC LAI – C00449

ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ DÀNH CHO HỌC SINH CHUYÊN TOÁN

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 60 46 01 13

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI HUY HIỀN

Hà Nội – Năm 2016

Trang 2

MỤC LỤC

Trang

Mục lục……….……… 1

Mở đầu ……… 3

Lời cảm ơn ……… 4

Chương 1 Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ I Vành đa thức một biến……… 5

I.1 Đa thức trong vành K X[ ] ……… 5

I.2 Tính chất của vành K X[ ] ……… 6

I.3 Phép đạo hàm……… ……… 6

I.4 Hàm đa thức……….……… 6

II Số học trong vành đa thức……….………… 7

II.1 Phép chia có dư………. 7

II.2 Đa thức bất khả quy……… ……… 8

II.3 Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức) ……… ……… 8

III Nghiệm của đa thức……… 9

III.1 Không điểm của đa thức……….……… 9

III.2 Tính chất của không điểm và đạo hàm……… ……… 9

III.3 Định lý Berzout……….….……. 9

III.4 Đa thức nội suy Lagrange……….……… 9

IV Phân thức hữu tỷ……….……….……… 9

IV.1 Các định nghĩa……….……… 9

IV.2 Phép phân tích một phân thức hữu tỷ……… 10

IV.3 Các phương pháp phân tích một phân thức hữu tỷ……….……… 10

IV.4 Ứng dụng của phép phân tích một phân thức hữu tỷ……… 10

Chương 2 Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ

Trang 3

I Bài toán số học của đa thức hệ số nguyên……….………… 11

I.1 Bài toán về tính chia hết của đa thức……….……… 11

I.2 Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy……….………… 12

I.3 Một số bài toán về đa thức Chebyshev……… ……… 14

II Nghiệm của đa thức……… 14

II.1 Tìm nghiệm của đa thức……….……… 14

II.2 Tính chất của nghiệm của đa thức……….…….…… 15

II.3 Nghiệm bội và đạo hàm của đa thức…… ……… 18

III Bài toán xác định đa thức……… ……… 19

III.1 Xác định đa thức khi cho biết nghiệm của đa thức …… …… ……… 19

III.2 Dùng phương pháp hệ số bất định ……… ….

20 III.3 Tìm đa thức khi biết một số giá trị của đa thức và đạo hàm…………. 21

IV Phân thức hữu tỷ……… ……… 23

IV.1 Phân tích phân thức hữu tỷ……… ………. 23

IV.2 Ứng dụng của phép phân tích phân thức hữu tỷ vào tính tích phân 23 Phần III: Kết luận ……….………

Tài liệu tham khảo……….….………

Trang 4

MỞ ĐẦU

Trong chương trình môn Toán ở bậc Phổ thông, học sinh được tiếp cận với

đa thức từ bậc THCS, đến THPT chuyên Bài toán về đa thức và phân thức hữu

tỷ xuất hiện trong hầu hết các cuộc thi Hiện nay, các tài liệu về đa thức cũng khá

đa dạng và phong phú Tuy nhiên, đa số đều khó đối với các học sinh mới bắt

đầu tiếp cận Vì vậy tôi lựa chọn các dạng toán điển hình về đa thức và phân

thức hữu tỷ để nghiên cứu và phục vụ cho học sinh các lớp chuyên toán phổ

thông

Luận văn gồm 2 chương:

Chương 1 Tóm tắt một số kiến thức chung về đa thức và phân thức hữu tỷ

Chương 2 Các dạng toán về đa thức và phân thức hữu tỷ

Hà nội ngày 15 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Đức Lai

Trang 5

Hà nội ngày 15 tháng 5 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Đức Lai

Trang 6

Với mọi dãy  a n n thuộc K , ta gọi I  {n ,a n  0} là giá của  a n n

Đa thức một biến, có hệ tử lấy trong K là dãy  a n n bất kỳ thuộcK có giá hữu hạn

Trang 7

Cho các đa thức P a n n K X[ ], Q b n n K X[ ] Ta gọi đa thức hợp của P và Q được viết là P Q hoặc P Q  và được xác định theo công thức

 

0

N n n n

Trang 8

, ,

P Q P Q P QP Q PQP Q

I.4.3 Định lý(Định lý Taylor đối với đa thức)

Cho đa thức P [ ],X N , thỏa mãn deg P N,   Ta có công thức

    

n N

n n

Là đơn Ánh khi và chỉ khi K vô hạn

II SỐ HỌC TRONG VÀNH ĐA THỨC

II.1 Phép chia có dư

II.1.1 Định nghĩa tính chia hết

Cho A P, là hai đa thức trong K X[ ] và  K

Ta nói A chia hết P( trong K X[ ]) và ký hiệu là A P, khi và chỉ khi tồn tại đa thức QK X[ ] sao cho P AQ

II.1.2 Tính chất của quan hệ chia hết

II.1.3 Phép chia Euclide

Trang 9

II.1.5 Tính chất của Ước chung lớn nhất(UCLN), Bội chung nhỏ nhất(BCNN)

II.1.6 Đa thức nguyên tố cùng nhau

II.2.2 Tính chất của đa thức bất khả quy

Mệnh đề 1

Mệnh đề 2

II.3 Phân tích đa thức( nhân tử hóa đa thức)

Trang 10

Định lý

Hệ quả

Mệnh đề

III NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

III.1 Không điểm của đa thức

III.4 Đa thức nội suy Lagrange

Trang 12

CHƯƠNG 2

CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC HỮU TỶ

I DẠNG 1 TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA ĐA THỨC HỆ SỐ NGUYÊN

I.1 Bài toán về tính chia hết của đa thức

Bài toán I.1.1

Cho   4 3 2

P x x  x ax bx Tìm tất cả các giá trị của a b c, , để P x 

viết thành bình phương của một đa thức

Tìm phần dư trong phép chia 100

Chứng minh rằng với mọi giá trị của n , đa thức    2 1 2

Tìm tất cả các giá trị của n để đa thức   2

Bai toán I.1.6

Cho đa thức P x , biết P x  chia cho x 2014 và x 2015 lần lượt dư

,

a b Tìm phép dư trong phép chia P x  cho x 2014x 2015

Chứng minh rằng UCLN của x m 1 và x n  1 là  , 

1

UCLN m n

x 

Trang 13

I.2 Chứng minh đa thức khả quy, bất khả quy

Cho P x  [ ]x và có bậc n lẻ, nhận giá trị bằng 1 hoặc  1 tại n giá trị nguyên khác nhau Chứng minh rằng P x  [ ]x bất khả quy trên [ ]x

Cho P x  thỏa mãn xP x   1 x 2014  P x và P2014 2014! Chứng minh rằng   2 

1

f x P x  bất khả quy trên [ ]x

Cho a n, nguyên và p là một số nguyên tố thỏa mãn p a  1 Chứng minh rằng   n



  bất khả quy trong [ ]x

Cho a m n, , nguyên dương, p là số nguyên tố thỏa mãn p a 1 Chứng minh rằng đa thức   m n

Trang 14

Chứng minh rằng nếu P x Q x R x Q x        , ,R x  [ ],x Q x   ,R x const thì

 

deg Q x  deg R x  2n Từ đó chỉ ra P x  bất khả quy trên [ ]x

Cho đa thức f x  trên [ ]x có bậc n Nếu tồn tại ít nhất 2n 1 số nguyên, phân biệt m sao cho f m  nguyên tố thì f x  bất khả quy trên [ ]x

Chứng minh rằng đa thức    2 2

1

n

P x  x x  bất khả quy trên [ ]x

Cho số nguyên tố p 5 Tìm số các đa thức bất khả quy trên [ ]x của đa thức có dạng P x x p px k px l  1,k l k l; ,  {1, 2, 3, ,p 1}

Chứng minh rằng nếu p là một số nguyên tố thì đa thức   1

Cho số nguyên tố p và số nguyên a không chia hết cho p Chứng minh rằng đa thức   p

P x x  x a bất khả quy trên [ ]x

Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đa thức P x x n 4 khả quy trên [ ]x là n chia hết cho 4

Trang 15

Cho n ,n 4, chứng minh rằng   3 2

5

n

P x x x x  x bất khả quy trên [ ]x

I.3 Một số bài toán về đa thức Chebyshev

Các bài toán về đa thức Chebyshev tương đối khó với đa số học sinh, với mục đích giới thiệu cho các học sinh chuyên mới tiếp cận với đa thức nên tôi chọn lọc một số bài toán thường gặp của đa thức Chebyshev

a) Cho   2

2

f x  x bxc Tìm các số b c,  để với mọi x  [ 1;1] thì f x   1 b) Cho   3 2

Bài toán I.3.3 (Ứng dụng đa thức Chebyshev giải phương trình bậc cao)

Giải các phương trình sau

a) 5 3

10 20 18 0

x  x  x  b) 5 3

a a

  Hãy tính giá trị của 4

II DẠNG 2 NGHIỆM CỦA ĐA THỨC

II.1 Tìm nghiệm của đa thức

Bài toán II.1.1

Tìm tất cả các nghiệm của đa thức sau với a a   1 0.

   2  2 2  3 2  2 2 3

P x  a a x  x  x x a  a

Trang 16

n nghiệm dương Hãy tìm tất cả các nghiệm của đa thức trên

II.2 Tính chất của nghiệm của đa thức

Cho đa thức Cho đa thức   1

Chứng minh rằng mọi đa thức bậc chẵn với tất cả các hệ số lẻ đều không

Chứng minh rằng tích hai nghiệm thực của đa thức   4 3

1

P x x x  là nghiệm của đa thức   6 4 3 2

Trang 17

Cho 3 số thực a b c, , thỏa mãn điều kiện *

,

a b  c  n Chứng minh rằng tồn tại 3 số nguyên p q r, ,  sao cho a b c, , là 3 nghiệm của phương trình

0.

x  px qx r 

Cho P x  [ ]x Chứng minh rằng nếu P 0 và P 1 đều lẻ thì P x không

có nghiệm nguyên

Cho P x là đa thức nguyên và P x  1 có nghiệm nguyên là x1, P x  2

có nghiệm nguyên là x2, P x  3 có nghiệm nguyên là x3 Chứng minh rằng

Trang 18

Cho đa thức với hệ số nguyên là P x  Thỏa mãn tất cả các số

   0 ; 1 ; ,

P P P m  1 đều không chia hết cho m m;  ; m 2 thì P x  không có nghiệm nguyên

Cho f x  [ ]x có ít nhất 2 nghiệm thực Chứng minh rằng

    ' 

P x  f x  f x cũng có ít nhất 2 nghiệm thực

Cho P x  [ ]x Chứng minh rằng nếu   2  3 là nghiệm của P x  thì

 

P x cũng nhận 2  3 làm nghiệm

Trang 19

Cho đa thức P x  bậc 4 có 4 nghiệm dương phân biệt Chứng minh rằng đa thức   2   2    

a a n

II.3 Nghiệm bội và đạo hàm của đa thức

Cho các đa thức   3 2   3 2

P x x  x  x Q x x  x  x Chứng minh rằng các đa thức đã cho có một nghiệm duy nhất và hãy tính tổng 2 nghiệm của chúng

Cho đa thức monic P x , degP x  n 1, có n nghiệm thực là x x1; 2; ;x n Chứng minh rằng

Cho đa thức f x  có bậc là n Các số a b, thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

Trang 20

Cho đa thức f x  có 3 nghiệm là a b c, , ;a b c và phương trình

có nghiệm thuộc khoảng  a c;

x với mọi số tự nhiên n 1

III DẠNG 3 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐA THỨC

III.1 Xác định đa thức khi cho biết nghiệm của đa thức

Bài toán III.1.1

Tìm tất cả các đa thức P x  [ ]x nhận 3

x   làm nghiệm Chứng minh rằng degP x  6

Xét tập hợp các đa thức P x  khác hằng, thỏa mãn điều kiện

Trang 21

Tìm tất cả các đa thức P x   x có bậc n, có n nghiệm thực và thỏa mãn     2 3 

Tìm tất cả các đa thức P x   x , là monic bậc 2, sao cho tồn tại đa thức

Cho 4 số nguyên tố khác nhau p p1, 2, p3, p4 Chứng minh rằng không tồn tại đa thức Q x  bậc 3 có hệ số nguyên thỏa mãn

Tìm tất cả các đa thức P x  với hệ số thực thoả mãn phương trình

 2 2 

P x  P x với mọi x thuộc

Trang 22

với mọi giá trị thực của x

Tìm tất cả các đa thức P x  hệ số nguyên thỏa mãn  2   2

16P x  P 2x  với mọi giá trị thực của x

với mọi giá trị thực của x y,

Cho a 0, ,b c n 1,n Chứng minh rằng tồn tại nhiều nhất 1 đa thức

 

P x có hệ số thực bậc n thỏa mãn  2     2  

P ax   bx c a P x bP x c với mọi giá trị thực của x

III.3 Tìm đa thức khi biết một số giá trị của đa thức và đạo hàm của nó Bài toán III.3.1

Tìm tất cả các đa thức P x   x thỏa mãn P a     P b P c  a b c  

với mọi số nguyên a b c, ,

Trang 23

Tìm tất cả các đa thức P x   x thỏa mãn P 7 5, P 5 7 và P 12

không chia hết cho 35

Tìm tất cả các đa thức P x  bậc n thỏa mãn điều kiện

Tìm tất cả các đa thức P x   x Thỏa mãn điều kiện

Tìm tất cả các đa thức P x P x P x P x1       , 2 , 3 , 4 sao cho với mọi x y z t, , , 

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất 1 đa thức P x  có dạng

Tìm tất cả các đa thức P x bậc n thỏa mãn điều kiện sau

Trang 24

 1   2 1,

P x P x  x  x

IV DẠNG 4 PHÂN THỨC HỮU TỶ

IV.1 Phân tích phân thức hữu tỷ

x F

1

x F x

2 1

x x F

Trang 25

KẾT LUẬN

Luận văn đã thu được những kết quả sau:

- Trình bày tóm tắt lý thuyết chuyên đề đa thức và phân thức hữu tỷ

- Cung cấp hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp để học sinh thử sức với nhiều cấp độ khác nhau

Các bài toán trong luận văn chủ yếu được trích ra từ các tài liệu ôn thi học sinh giỏi quốc gia, Quốc tế, từ các đề thi học sinh giỏi THPT quốc gia, Quốc tế

và khu vực

Thực tế, các nội dung của luận văn này đã được dạy cho học sinh các lớp chuyên Toán và có nhiều phần, bài toán làm tại liệu cho học sinh chuyên trong những năm gần đây và thu được những kết quả khá tốt

Hi vọng luận văn sẽ là một tài liệu bổ ích cho giáo viên và học sinh

chuyên Toán

Tác giả

Trang 26

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Garrett Birkhoff-Saunders Maclane, Tổng quan về đại số hiện đại(Bản dịch

tiếng việt), NXB Đại học và trung học chuyên nghiệp, Hà Nội 1979

[2] Ngô Thúc Lanh, Đại số và Số học NXB Giáo dục 1987

[3] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục, Hà Nội 1995

[4] Jean-Marie Monier, Giáo trình toán, tập 5 Đại số 1,Bản tiếng việt, NXB

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	0,99 MB