dl dao ve dấu tam nthức bậ 2

t5 Định lý đảo về dấu tam thức bậc haiI.. Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai II.. So sánh một số với các nghiệm của một tam thức bậc hai... phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt

Bảng xét dấu tam thức bậc hai

∆ < 0

af( x) > 0, ∀ x ∈ R

af( x) ≥ 0, ∀ x

∆ = 0

∆ > 0 Phương trình f( x) = 0 af( x) > 0, ∀ x ∈ (- ∞ ; x1) ∪ ( x2; + ∞ )

af( x) < 0, ∀ x ∈ ( x ;x )

∈ R

t5 Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai

I Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai

II So sánh một số với các nghiệm của một

tam thức bậc hai

định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax+ bx + c (a≠ 0), ∝ ∈ R

I - Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

* f(x) có hai nghiệm phân biệt x, x (x <x)

1) Định lí:

* x < ∝ < x.

Chứng minh.

• Giả sử ta có: ∆≤ 0

a f (∝ ) < 0

, khi đó theo bảng xét dấu của tam thức f(x)

Ta có : a.f(x) ≥ 0 , ∀x ∈R Nên a.f(∝ ) ≥ 0 , ∀∝ ∈R (trái giả thiết)

( p \ c )

Hệ quả 1.

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) ⇔ ∃α : a.f(α) < 0

Ví dụ1: Chứng minh rằng với mọi m, phương trình sau luôn

có hai nghiệm phân biệt: x2- (2m2 +1+ 2m2+1) x+2m2 = 0

- 2m2+1

⇒ a.f(1) < 0 với mọi m ⇒ Theo hệ quả 1 phương trình luôn

có hai nghiệm phân biệt

f(1) =

Ta có a = 1

Giải:

1- (2m2 +1+ 2m2+1) +2m2 =

Hệ quả 2.

Cho f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Và hai số α, β∈ R (α < β)

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm,

f(α).f(β) < 0 (1)

⇔

Chứng minh.

f(α)f(β) < 0

⇔ af(α) af(β) < 0 ( 1)

Ta có với a ≠ 0 :

⇔

a.f(α) < 0 a.f(β) > 0 a.f(α) > 0 a.f(β) < 0 Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x1 < x2 Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x < x

⇔

1nghiệm thuộc (α, β), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [α, β]

*Theo định lý đảo:

và x1 < α < x2 < β (2)

Ví dụ 2: Cho tam thức bậc 2

f(x) = x2 – 1+mx( x+4) với m ≠ -1 (1)

Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt ∀m

Bài giải :

f(0) = -1 ; f(-4) = 15

⇒ f(0).f(-4) <0 với ∀ m

Theo hệ quả 2 ⇒ Phương trình f(x) = 0 luôn có 2 nghiệm phân biệt ∀ m

(1) ⇔ f(x) = (1+m) x2 + 4m x -1

Ví dụ 3

X2+ (m+2) x +3m - 4 = 0

Giải: áp dụng đ.l đảo: a =1 ; f(-3) =-1 ⇒ af(-3) <0 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x1 ; x2 ( x 1 < x

2 )Và: x1 < -3 < x2

Ta có: a = 1 + m ≠ 0

CMRằng: số - 3 thuộc khoảng hai nghiệm của phương trình sau:

Ví dụ 4: Cho phương trình: f(x) = 2x2 + ( 2m - 1)x + m + 1 = 0

Tìm m để phương trình có một nghiệm thuộc khoảng ( 1; 3)

- nghiệm kia ngoài đoạn [- 1; 3 ]

Bài giải

Theo hệ quả 2

phương trình có một nghiệm ∈ (-1; 3) nghiệm kia ngoài đoạn [ -1; 3 ]

⇔ f(-1).f(3) < 0 (*)

⇔ ( 4 - m)(7m + 16) < 0

⇔ m∈(-∞,-16/7) ∪ ( 4, ∞)

f(-1)= 4 - m ; f(3) = 7m + 16

(*)

Định lý:

Cho tam thức bậc hai ƒ(x)= a x2 + bx +c (a ≠ o) ;α ∈R

Nếu:aƒ(α)< o thì : + ƒ(x) có hai nghiệm phân biệt x < x

+Và x < α < x

2 1

Cho tam thức bậc hai : Và ,β ∈R ( β)

PT ƒ(x) = o có hai nghiệm phân biệt, một nghiệm nằm trong (α, β), nghiệm kia nằm ngoài [ α, β ] ⇔ ƒ(α) ƒ(β) < o

ƒ(x) α α <

Hệ quả1:

ĐK cần và đủ để P.T.Bâc hai có hai nghiệm: x ,x (x x )

L.à : ∃ α ∈R : aƒ(α) < o

<

áp dụng:

Bài toán2:

Xác định m để P.T.bậc hai có một nghiệm ∈(a,b), nghiệm kia ngoài đoạn [a,b] ⇔ ƒ(a) ƒ(b )< 0

* aƒ(α)< 0 (Đ.L đảo -H.quả 1)

* ƒ(α) ƒ(β )< 0 (H.quả 2)

Nếu aƒ(α :)< 0 ⇒ x < α < x (Đ.L đảo )

So sánh một số với các nghiệm của phương trình bậc hai:

Bài toán3:

CM phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt:

Bài toán1:

Xin ch©n thµnh c¶m ¬n

c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o