Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra được tạo bởi đúng 3 chữ số khác nhau.
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 11 TỈNH BÌNH ĐỊNH
( Khóa ngày 18 - 3 – 2017)
Lê Quang Dũng – Trường THPT số 2 Phù Cát
Bài 1 : (6 điểm)
a) Giải phương trình : tan2 12 2sin (2 ) 1
x
π
b) Chứng minh rằng : 1 2
(2 1)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện : sinx≠0
Biến đổi : 12 12 2sin (2 ) 2
cos x sin x x 4
π
Đặt 1 2sin (2 ), 1 1
4
, phương trình :
2 2 ( 1) 2
1
3 2
3 4 0
t + t − = t=1 Khi đó : sin (2 ) 1
4
x+π =
4
x= +π k k Zπ ∈
C + C + +L C ≤ n C +C + +L C ( Cauchy –Schwarz)
Mà 1 2 n 2n 0 2n 1
C +C + +L C = −C = − nên 1 2 n (2n 1)
Bài 2 : ( 3 điểm ) Cho dãy số : { }x xác định bởi n
1
* 2
1
1
, (2 1) 2
n
x
n N x
=
Đặt
1 1
2 1
n
i n
i i
x u
x
+
=
+
∑ , Tính limu n
Hướng dẫn giải
Ta có :
2 1 (2 1) 2 1 (2 1) 1
n
u
2 1
(2 1)
2
n
x
1
2x n+ + =1 (2x n+1) +(2x n+1), Đặt v n =2x n+1, ta có
2
1
3
v
n N
=
∈
, Giả sử a=limv n ≥3 là hữu hạn =>
a a= + => =a a vô lý nên
limv n = +∞,Khi đó :
3
n
u
= − = − => lim 1
3
n
Bài 3 : ( 4 điểm ) Từ tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 , lấy ngẫu nhiên một số Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra được tạo bởi đúng 3 chữ số khác nhau
Giải :
Số có 5 chữ số : n( ) 9Ω = 5,Gọi A là biến cố “ số được chọn có đúng 3 chữ số khác nhau”:
3
8.5!
( ) 9
2!
C
n A = ,Xác suất cần tìm là :
3 8 4
.5! 1120 ( )
9 2! 2187
C
Bài 4 : Cho tam giác ABC , có ba góc nhọn ,(AB<AC) và đường cao AD,BE,CF đồng quy tại H,
P là giao điểm của đường phân giác trong góc A và BC , M,N lần lượt là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác APD với CA, AB , Chứng minh rằng :
a) Các đường thẳng AD,BM,CN đồng quy
Trang 2b) cos2 cos2 cos2 1 DEF
ABC
S
S
∆
∆
Hướng dẫn giải
a) Ta có : DB=ADcotB , DC=ADcotC=>
cot cot 2
A
MC = PM.cotC; MA = PM.cot
2
A
=>
cot cot 2
A
NA = PN.cot
2
A
; NB = PN.cotB => cot 2
cot
A NA
Khi đó : DA MC NA 1
b) Ta có : AEF cos2
ABC
S
A
V
, CDF cos2
ABC
S
B
V
, CDE cos2
ABC
S
A
V
cos cos cos AEF CDE 1 DEF
S
∆
Bài 5 : Cho hình chóp SABCD , có đáy ABCD là hình bình hành , M là trung điểm SC , (P) chứa AM cắt SB,SD lần lượt tại B’,D’ khác C , Chứng minh rằng : 4 ' ' 3
Giải :
Gọi O là giao điểm của AC,DB và I là giao điểm của AM, SO :Khi đó : 2
3
SI
SO =
Xét tam giác SBD : ' ' 1 ' '
3
SB D
SBD
∆
∆
2 ' ' 1
3S∆SBD ≤S∆SB D ≤ 2S∆SBD=> 4 ' ' 3