Tich Phan So Phuc Full

Tìm nguyên hàm Fx... Nếu hàm số có chứa dấu ngoặc kèm theolũy thừa thì đặt u là phần bên trong dấu ngoặc 2.. Nếu hàm số có chứa mẫu số thì đặt u là mẫu số 3.. Nếu hàm số có chứa căn thức

Bài 2: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x 2 – 1

π

– 1 Vậy: F(x) = tanx – x + – 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính

a) ∫(4x 3cosx)dx3− (x4 – 3 sinx)b) x 3 x 1dx

3

x )

f ) dx4x

x + −x x

) e) (ex 12 )dx

Bài 2: Cho f(x) = sinx + cosx Tìm nguyên hàm

F(x) biết F( ) = -1(ĐS: F(x) = sinx – cosx – 2)

Bài 3: Cho f(x) = sin2x Tìm nguyên hàm F(x)

Bài 4: Cho f(x) = cosxcos3x Tìm nguyên hàm

F(x) biết f(x) bằng 0 khi x = 0 (sin 4x sin 2x

= – sinu + C = – sin(2 – x) + C

c) I = ∫(1 2x)− 2010 dx

Đặt: u = 1 – 2x ⇒ dx = du du du

u′ =(1 2x)− ′ =−2Khi đó: I = u2010.du 1 u du2010

=

′

Ghi nhớ

a ln x dxx

2

ln x dx2x

−

∫ Đặt u = lnx – 2

Bài 3: Tính:

a) I = ∫x(3x 2+2) dx 10

Đặt: u = 3x2 + 2 ⇒dx = du du

u′ =6xKhi đó: I = x.u 10 du 1 u du10

b ∫sin x.cosx dx4 Đặt u = sinx

(vì u′= cosx chứa thừa số cosx)

c 2 cosx dxsin x 3+

∫ Đặt u = sinx + 3 (vì u′= cosx chứa cosx ở tử)

3sin x dx(2 cosx 5)−

(vì u′= – 2sinx chứa sinx ở tử)

e sin x 2 3cos xdx∫ − Đặt u = 2 – 3cosx(vì u′ = 3sinx chứa thừa số sinx)

f sin x dx4cos x

(vì u′ = – sinx chứa sinx ở tử)

g 3 3 dx5x 2+

(vì u′ = – sinx chứa sinx ở tử)

(3x 2) dx− −

∫

Đặt: u = 3x – 2 ⇒dx = du du

u′ = 3Khi đó: I =

2

12

122

Đặt: u = sinx ⇒ dx = du du

u′ = cosxKhi đó: I = (1 u ).cosx.2 du (1 u )du2

∫ Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x):

4

ln x) e) sin x.cos xdx∫ ( 2 2

sin x hay −cos x

) f) ∫sin x.cosxdx2 ( 3

3sin x) g) ∫cos x.sin xdx4 ( 5

b) ∫2x x3 2−5dx (33 2 5 4

4(x − ) )

2

x

e + ) c) ∫e sin xdxcosx (−ecosx)

Bài 7: Tính

a) ∫cos xdx2 (1 1 2

2x+4sin x) b) ∫sin xdx3 (1 3

3cos x cosx− ) c) ∫cos xdx5 (

2

sin x sin xsin x− + )

−+ )

e) 2dx 2cos x.sin x

III TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG

2 xsin2x +

1

4cos2x + C = 1

= – (x2 + 1)cosx + 2xsinx + 2cosx + C = – x2cosx + cosx + 2xsinx + C

Suy ra: I1 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx + C

* Tính I2 = sin xdx∫ = – cosx + C

Vậy:I = I1 – I2 = – x2cosx + 2xsinx + 2cosx – cosx

= – x2cosx + cosx + 2xsinx + C

2

x(x −x)ln x− +x)

Bài 1: Tính các tích phân sau:

x cos( )dx

=

1cos5x.cos3xdx (cos2x cos8x)dx

=

1sin 7x.sin 2xdx (cos5x cos9x)dx

= 2

0

1 (1 cos2x)dx2

π+

0

1 (3sinx sin3x)dx4

1 (1 tan t)dt

1 tan t

π

++

4 0

dt t 4 40

a)

2 3

2 3 2

3 1

+ − + = + − + c)

2 2

2 2

43

/ /

sin x dxcos x

4 Nếu f(x) chứa a2 + x2 thì

đặt x = atant hay x = acott

1cos3xdx ( )

1 dx (ln 2)x(x 1)+

1 Nếu hàm số có chứa dấu ngoặc kèm theo

lũy thừa thì đặt u là phần bên trong dấu

ngoặc

2 Nếu hàm số có chứa mẫu số thì đặt u là

mẫu số

3 Nếu hàm số có chứa căn thức thì đặt u là

phần bên trong dấu căn thức hoặc cả căn thức

đó

4 Nếu tích phân có chứa dx

x thì đặt u = lnx

5 Nếu tích phân có chứa exdx thì đặt u = ex

6 Nếu tích phân có chứa dx

x thì đặt u = x

7 Nếu tích phân có chứa dx2

x thì đặt u =

1x

8 Nếu t.phân có chứa sinxdx thì đặt u = cosx

9 Nếu t.phân có chứa cosxdx thì đặt u = sinx

10 Nếu tp có chứa dx2

cos x thì đặt u = tanx

11 Nếu tp có chứa dx2

sin x thì đặt u = cotx

dx 2x 2 ln x =

Bài 3: Tính các tích phân sau:

a) I = ∫2 3x 2−0

c) I =

π+

∫0 6 1 4 sin x cos xdx =

1 6

2 0

(1 4sin x) cosxdx

π+

a)

1

5 0

7(3x 2) dx ( )

4

−

1 2 0

x dx ( ln 2)1

2 2 1

6x 1 dx (ln )13

++ −

∫

g)

1 2 0

ln x dxx

∫ (2) b)

2

e e

6 2 ln x dx (6 3 6)x

e dx(ln1 e)

++

ln2

x 3 x 0

175(2 e ) e dx( )

e dx (e e)

∫

x cosx 2 cosxdx

0

ππ

Khi đó: I =

2 0

1xsin 2x 1 sin 2xdx

2

ππ

− – 1

4= –

12

(1 x)sin x 2 sin xdx

0

ππ

xsin x 2 sin xdx

0

ππ

−

= – 2e− 1– (2e− 1– 2e0) = – 4e− 1 + 2 Tính I2 =

1 x 0

Bài 3: Tính các tích phân sau:

e14x 1

1

1 x

−+

1

e(2x x)ln x (2x 1)dx

xsin x 2 sin xdx0

ππ

− ∫

= 2

π

sin2

π

+ cos2

x

y f(x) lieân tuïc treân [a;b]

y g(x) lieân tuïc treân [a;b]

Giải: PTTT tại điểm I(3; 1) có dạng:

y = y′(x0)(x – x0) + y0

* y′= – 2x + 6 ⇒ y′(x0) = y′(3) = 0

Vậy: PTTT cần tìm là: y = 1

Ta có: – x2 + 6x – 8 = 1 ⇔– x2 + 6x – 9 = 0 ⇔x = 3Diện tích hình phẳng là:

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

ln x dxx

S =

2 2

đường:

a) y = x2 – 2, y = – 3x + 2 (125

6 )b) y = x4 + 2x2 + 3, y = 0, x = – 1, x = 3 (1192

15 )c) y = x2 – 12x + 36, y = 6x – x2 (9)

d) y = x2, y = x + 2 (9

2)e) y = x2 – 4x + 3, y = – x + 3 (9

2)f) y = – x3 + 3x2, y = 0 (27

4 )g) y = 2x2 – x2, y = x – 2, x = – 2, x = 1 (31

6 )h) y = x3 – 6x2 + 9x, trục hoành (27

4 )i) y = 2x3 + 3x2 – 1, trục hoành (27

32)j) y =

4 2

x

−

, y = 0, x = 1, x = e (1

2)c) y = cosx, y = 0, x = 0, x = 3

2

π

(3)d) y = xe , y = 0, x = 0, x = 1 ( 4 2 ex2 − )

e) y = ex, y = 2, x = 1 (e – 4 + 2ln2)

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường:

a) (C): y = x2 – 2x + 2, tiếp tuyến của (C) tại điểm

M(3; 5) và trục tung (32

3 )b) y =

2

x2x,y

Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh

ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

π

Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh

ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

0

π

Bài 3: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh

ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y =

−

4

x 4 , y = 0 và x = 0, x = 2, quay quanh trục Ox

216

Bài 5: Tính t.tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi h phẳng giới hạn bởi các đường: y = 4

x ,

y = – x + 5, quay quanh trục Ox

Giải: Ta có: 4

x= – x + 5 ⇔x2 – 5x + 4 = 0 ⇔ x 1

Bài 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh

ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 1: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra

bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay

14

π

)c) y = 4

Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra

bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường và quay

a) (3x – 2) + (2y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i b) (1 – 2x) – i 3 = 5 + (1 – 3y)i c) (2x + y) + (2y – x)i = (x –2y + 3) + (y +2x + 1)i

Bài 5: Trên mp tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu

diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:

Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:

a) ( 3 – 2i)(2 – 3i) = – 13i

b) (2 i 3)(− 1+i 3)

3 3i2

b) = −

+

6 i z

3 2i =

(6 i)(3 2i)(3 2i)(3 2i)

1 i =

( 8 3i)(1 i)(1 i)(1 i)

Ấn tiếp: SHIFT (Re Im) 10.i (phần ảo)

Vậy: (2 + 3i) + (– 5 + 7i) = – 3 + 10i

2) 570ES: MODE 2

Ấn: (2 + 3 SHIFT i ) + (– 5 + 7 SHIFT i)

= – 3 + 10i

⇔z + (2 – 3i)(4 – 3i) = (5 – 2i)(4 – 3i)

⇔z = (5 – 2i)(4 – 3i) – (2 – 3i)(4 – 3i) = 15 – 5i

Bài 13: Tìm các căn bậc hai phức của các số

sau: – 7; – 8; – 12; – 20; – 121

Giải: * Căn bậc hai phức của – 7 là: i 7±

* Căn bậc hai phức của – 8 là: i 8± = ±2i 2

* Căn bậc hai phức của – 12 là: i 12± = ±2i 3

* Căn bậc hai phức của – 20 là: i 20± = ±2i 5

* Căn bậc hai phức của – 121 là: i 121± = ±11i

Bài 14: Giải các phương trình sau:

a) z = – 3 + 5i (a = – 3, b = 5)b) z = 5i (a = 0; b = 5)

c) z = – 13 (a = – 13, b = 0)

Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:

a) z = (2 + 3i)(3 – i) + (2 –3i)(3 + i) (a = 18, b = 0)b) z = (2 + 3i)2 – (2 – 3i)2 (a = 0, b = 24)

c) z = 2 15i

3 2i

−+ (a =

2413

1 2i

− ++ (

85

5 )e) z = i – (2 + 4i) – (1 + 2i) ( 34 )

Bài 5: Tìm số phức liên hợp của các số phức sau:

2a

− ± ∆

=

(x = y = 0)d) 2x + 1 + (1 – 2y)i = 2 – x + (3y – 2)i

(x = 1

3, y =

3

5)

Bài 7: Trên mp tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện:

Bài 7: Thực hiện các phép tính sau:

a) (2 + 4i)(3 – 5i) + 7(4 – 3i) (54 – 19i)

b) (1 – 2i)2 – (2 – 3i)(3 + 2i) (– 15 + i)

23 14

i

5 − 5 )b) 3 i 4 3i

+ − −

+ − (

4 1i

29 29− )d) (4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6zi (18 13i

17 17− )

Bài 11: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau:

– 5; – 15; – 27; – 144; – 108; – 48; – 225ĐS: i 5± ; i 15± ; 3i 3± ; 12i± ;

i6 3

± ; 4i 3± ; ±15i

Bài 12: Giải các phương trình sau:

a) x2 + 16 = 0 ( 4i± )b) x2 – 2x + 2 = 0 (1 i± )c) x2 + x + 7 = 0 ( 1 i 27 1 3 3i

2

± )e) z4 – 8 = 0 (±48;±i 84 )f) z4 – 1 = 0 ( 1± ; i± )

Hết