ĐAI CUƠNG ĐH

Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính.. Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản: tính định thức, làm việ

Môn học cung cấp các kiến thức cơ bản của đại số tuyến tính Sinh viên sau khi kết thúc môn học nắm vững các kiến thức nền tảng và biết giải các bài toán cơ bản: tính định thức, làm việc với ma trận, bài toán giải hệ phương trình tuyến tính, không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, tìm trị riêng véc tơ riêng, đưa dạng toàn phương về

chính tắc

Ma trận

Định thức

Hệ phương trình tuyến tính Không gian véc tơ

Phép biến đổi tuyến tính Trị riêng, véctơ riêng

Dạng toàn phương

Không gian Euclide

Đi học đầy đủ (vắng 20% trên tổng số buổi học bị cấm thi!) Làm tất cả các bài tập cho về nhà.

Đọc bài mới trước khi đến lớp

Đánh giá, kiểm tra.

Thi giữa học kỳ: hình thức trắc nghiệm (20%)

Thi cuối kỳ: hình thức tự luận + điền kết quả (80%)

2 Ngô Thu Lương, Nguyễn Minh Hằng Bài tập toán cao cấp 2

4 Meyer C.D Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, 2000.

5 Kuttler K Introduction to linear algebra for mathematicians,

6 Usmani R Applied linear algebra, Marcel Dekker, 1987.

7 Kaufman L Computational Methods of Linear Algebra ,2005.

8 Muir T Theory of determinants, Part I Determinants in general

9 Golub G.H., van Loan C.F Matrix computations 3ed., JHU, 1996.

10 Nicholson W.K Linear algebra with applications , PWS Boston,

0.1 – Dạng đại số của số phức

-0.2 – Dạng lượng giác của số phức

0.4 – Nâng số phức lên lũy thừa

0.5 – Khai căn số phức

0.6 – Định lý cơ bản của Đại số

0.3 – Dạng mũ của số phức

Không tồn tại một số thực nào mà bình phương của nó là một

số âm Hay, không tồn tại số thực x sao cho x 2 = -1

Định nghĩa số i

Số i, được gọi là đơn vị ảo, là một số sao cho

i 2 = -1

Bình phương của một số ảo là một số âm Ký tự i được chọn để

ký hiệu một số mà bình phương của nó bằng –1.

Ở thế kỷ thứ 17, người ta định nghĩa một số ảo

Định nghĩa số phức

Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo, khi đó

z = a + bi được gọi là số phức Số thực a được gọi là

phần thực và số thực b được gọi là phần ảo của số phức z.

Tập số thực là tập hợp con của tập số phức, bởi vì nếu cho b

= 0, thì a + bi = a + 0i = a là một số phức.

Phần thực của số phức z = a + bi được ký hiệu là Re(z)

Phần ảo của số phức z = a + bi được ký hiệu là Im(z)

Tất cả các số có dạng 0 + bi, với b là một số thực khác không được gọi là số thuần ảo Ví dụ: i, -2i, 3i là những số thuần ảo.

Số phức ghi ở dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số

của số phức z.

Nói cách khác, hai số phức z 1 = a 1 + ib 1 và z 2 = a 2 +ib 2 bằng

nhau khi và chỉ khi a 1 = a 2 và b 1 = b 2

Cho a + bi và c + di là hai số phức, khi đó

Phép cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i Phép trừ: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i

Định nghĩa phép nhân hai số phức.

Cho z1 = a + bi và z2 = c + di là hai số phức, khi đó

z1.z2 = (a + bi) (c + di) = (ac – bd) + ( ad + bc)i

Vậy dạng đại số của số phức là: z = -4 + 19i.

= 2.3 + 2.2i + 3.5i + 5i.2i

= 6 + 19i + 10(-1)= -4 + 19i

Cộng, trừ, nhân hai số phức:

Khi cộng (trừ ) hai số phức, ta cộng (trừ ) phần thực

và phần ảo tương ứng.

Nhân hai số phức, ta thực hiện giống như nhân hai

biểu thức đại số với chú ý i2 = −1.

z = (2 + 3i) (4 - 2i) = 2.4 – 2.2i + 3i.4 – 3i.2i

= 8 – 4i + 12i – 6i2 = 8 – 4i + 12i – 6(-1)= 14 + 8i.

Cho z và w là hai số phức; và là hai số phức liên hợp

Giải

)5

)(

5(

)5

)(

23

(5

2

3

i i

i

i i

125

210

3

+

++

126

1313

Viết ở dạng Đại số

Lưu ý: So sánh với số phức.

Trong trường số phức không có khái niệm so sánh Nói một

cách khác, không thể so sánh hai số phức z1 = a1 + ib1 và z2

= a2 + ib2 như trong trường số thực Biểu thức z1 < z2 hoặc z2 ≥

z1 không có nghĩa trong trường số phức C ngoại trừ chúng ta

định nghĩa khái niệm so sánh một cách khác

sin

ϕϕ

trục thực

trục ảo

2 2mod( ) | | z = = z a + b

Định nghĩa Môdun của số phức

Môdun của số phức z = a + bi là một số thực dương được định nghĩa như sau:

là khoảng cách từ điểm (a, b) đến gốc tọa độ.

là khoảng cách giữa hai điểm (a, b) và (c,d)

| z w − = | ( a c − ) + − ( b d )

Góc được gọi là ϕ argument của số phức z và được ký hiệu là

ϕϕ

1 1(cos 1 sin );1 2 2(cos 2 sin 2)

1 2 1 2(cos( 1 2) sin( 1 2))

z z× = r r ϕ ϕ+ +i ϕ ϕ+

Nhân hai số phức ở dạng lượng giác: môđun nhân với nhau và

argument cộng lại

Phép chia hai số phức ở dạng lượng giác

=

i z

2 i

z = e π

Định nghĩa phép nâng số phức lên lũy thừa bậc n

-Ví dụ Cho z = 2 + i Tính z5.

= +

5 ( 2 i )

z

= +

+ + +

+ +

5

4

4 5

3 2

3 5

2 3

2 5

4

1 5

5

0

5 2 C 2 i C 2 i C 2 i C 2 i C i C

= + +

− +

− +

Lũy thừa bậc n của số phức i:

i i

i3 = 2 ⋅ = (−1)⋅ = −

1)

1()1(

2 2

4 = i ⋅i = − ⋅ − =

i

i i i

i

i5 = 4 ⋅ =1⋅ =

1)

1(1

2 4

6 = i ⋅i = ⋅ − = −

i

i i

i i

i7 = 4 ⋅ 3 =1⋅(− ) = −

111

4 4

8 = i ⋅i = ⋅ =

i

Lũy thừa bậc n của i

Giả sử n là số tự nhiên, khi đó i n = i r , với r là phần dư của n

chia cho 4

Cho z = 1 + i.

a) Tìm z3; b) Tìm z100.

[ (cos r ϕ + i sin )] ϕ n = rn(cos n ϕ + i sin n ϕ )

Ví dụ Sử dụng công thức de Moivre’s, tính:

a) (1 + i)25 b) ( − 1 + i 3 )200

20

17) 2 12

(

) 3

sin 4

(cos 2

Bước 2 Sử dụng công thức de Moivre’s:

) 4

25 sin 4

25 (cos )

2 (

)]

4

sin 4

(cos 2

(cos 2

212

Định nghĩa căn bậc n của số phức

Căn bậc n của số phức z là số phức w, sao cho wn = z,

Ví dụ Tìm căn bậc n của các số phức sau Biểu diển các nghiệm lên trên mặt phẳng phức.

3 8

1

i i

+

c)

6 13

i i

Giải câu b)

b) Viết số phức ở dạng lượng giác:

Sử dụng công thức:

4 4

Nhà bác học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1855) chứng minh rằng mọi đa thức có ít nhất một nghiệm

Số nghiệm của một đa thức

Đa thức P(z) bậc n có đúng n nghiệm kể cả nghiệm bội

(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)

1) Tìm đa thức bậc 3 với hệ số thực nhận z 1 = 3i và z 2 = 2+i

Giải Bởi vì đa thức với hệ số thực và 2 + i là một nghiệm, theo

hệ quả ta có 2 –i là một nghiệm

P(z) có thể phân tích thành (z – (2 + i))(z - (2 – i)) =

= z 2 – 4z + 5 P(z) có thể ghi ở dạng

P(z) = (z 2 – 4z + 5)(z 2 + 9)

z 2 + 9 có hai nghiệm 3i và –3i Vậy ta tìm được cả 4 nghiệm của P(z) là 2 + i, 2 – i, 3i, -3i.

(sử dụng hệ quả của định lý cơ bản)

Tìm tất cả các nghiệm của biết

2 + i là một nghiệm

Ví dụ

4536

144

)(z = z4 − z3 + z2 − z +

P

Giải phương trình sau trong C

Ví dụ Giải các phương trình sau trong C

0 1

5 + − i =

z

a)

0 1

2 Dạng Lượng giác của số phức

)sin

(cos)]

sin(cos

2(cos

)sin

(cos

n

k i

n

k r

z i

r

k n

1 , ,

3 , 2 ,

z = +