Phương pháp tình trong kỹ thuật điện

Phương pháp tình trong kỹ thuật điện. 1. FDM – Tính phân bố trường nhiệt trên đường dây Giải quyết bài toán có điều kiện biên hỗn hợp (điều kiện biên loại 3), phương trình vi phân 2. FDM – PHÂN BỐ ĐIỆN THẾ GIỮA 2 BẢN TỤ SONG SONG 3. FDMFEM – GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ -o0o -

TIỂU LUẬN

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TRONG KỸ THUẬT ĐIỆN

GVHD: PGS TS Vũ Phan Tú Học viên: Phan Đình Khải MSHV: 1670347

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 01 NĂM 2017

1 FDM – Tính phân bố trường nhiệt trên đường dây

1.1 Phương pháp Crank-Nicholson:

Giải quyết bài toán phân bố trường nhiệt trên dây dẫn trong không gian một chiều dùng phương pháp Crank-Nicholson

Giải phương trình Parabolic:

Xấp xỉ sai phân:

( )

Điều kiện biên có thể tính theo công thức:

Ma trận vuông và và vector r đã biết trước, ta có thể tính ra các biên

Với được tính:

Tương đương với:

Tương tự ta tính được

1.2 Thực hiện bằng chương trình Matlab:

% Matlab Program 7: Heat

Diffusion in one dimensional

wire within the

% Crank-Nicholson Method

clear;

% Khai báo thông số không gian và thời gian

% Khai báo cái điều kiện ban đầu

maxk = 2500; % Số khoảng chia thời gian

n = 50.; % Số khoảng chia không gian

cond = 1/2; % Độ dẫn nhiệt

b = cond*dt/(dx*dx); % Parameter of the method

% Khởi tạo nhiệt độ ban đầu của đường dây

for i = 1:n+1

x(i) =(i-1)*dx;

u(i,1) =sin(pi*x(i));

end

%Nhiệt độ ban đầu là biến u(i,1) có dạng sin

% Nhiệt độ tại biên (T=0)

for k=1:maxk+1

u(1,k) = 0.;

u(n+1,k) = 0.;

time(k) = (k-1)*dt;

end

%Tại T=0, nhiệt độ tại biên bằng 0

% Khai báo ma trận M_right and

M_left

aal(1:n-2)=-b;

bbl(1:n-1)=2.+2.*b;

ccl(1:n-2)=-b;

MMl=diag(bbl,0)+diag(aal,-1)+diag(ccl,1);

aar(1:n-2)=b;

bbr(1:n-1)=2.-2.*b;

ccr(1:n-2)=b;

MMr=diag(bbr,0)+diag(aar,-1)+diag(ccr,1);

Ma trận

Ma trân tương tự

% Giải phương trình ma trận

for k=2:maxk % Time Loop

uu=u(2:n,k-1);

u(2:n,k)=inv(MMl)*MMr*uu;

end

figure(1)

plot(x,u(:,1),'-',x,u(:,100),'-

',x,u(:,300),'-',x,u(:,600),'-')

title('Temperature within the

Crank-Nicholson method')

xlabel('X')

ylabel('T')

figure(2)

mesh(x,time,u')

title('Temperature within the

Crank-Nicholson method')

xlabel('X')

ylabel('Temperature')

% Vẽ đồ thị

1.3 Kết quả:

2 FDM – PHÂN BỐ ĐIỆN THẾ GIỮA 2 BẢN TỤ SONG SONG

2.1 Cơ sở lý thuyết

Trong lý thuyết tĩnh điện cổ điện, điện trường liên quan với điện thế thông qua phương trình sau:

Mặt khác, điện trường lại liên quan đến mật độ điện tích theo phương trình sau:

0

( ) E x E y E z

diverg E E





Theo giả thuyết mật độ điện tích ρ = 0 C.m-2 nên ta có:

( ) 0

diverg E E

  

Thay điện trường trong phương trình thứ (1) vào phương trình thứ (3) ta có:

2

.[ grad U( )] ( )U || || U U 0

Phương trình trên chính là phương trình Laplace, thể hiện trong miền 2D ta được:

2 2

2 2 0

  

2.2 Phân tích bài toán với FDM

Giải quyết bài toán phân bố điện thế giữa 2 bản tụ tiết diện vuông đặt song song với nhau, cách điện bằng chân không với các thông số như sau:

- Hai bản tụ được đặt trong hộp vuông, kích thước 200x200 mm2

- Chiều dài mỗi bản tụ là 160 mm

- Khoảng cách giữa hai bản tụ song song là 80 mm

- Điện áp đặt lên bản tụ thứ nhất là 220V; điện áp đặt lên bản tụ thứ hai là -220V

- Giả sử mật độ điện tích giữa hai bản tụ là ρ = 0 C.m-2

Phương trình (5) là phương trình Eliptic, với giả thiết bề mặt của hộp vuông là kín và điện thế phân bố ở khắp các phía trong hộp được xác định ổn định và đồng nhất, ta có điều kiện biên Neuman cho bài toán như sau:

U x y  U xL y U x y  U x yL  (6)

Ngoài ra ta còn biết được điện thế tại các bản tụ, với bố trí các bản tụ ta có:

[ ]

[ ]

Phương trình (5) được giải bằng cách chia lưới thành LxL điểm, sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn với chuỗi Taylor bậc hai theo trục x và y ta được:

Cộng các phương trình lại, dùng xấp xỉ sai phân ta được lời giải cho bài toán như sau:

2.3 Thực hiện bằng chương trình Matlab

Để giải bài toán, ta thực hiện đoạn code như sau:

% Điều kiện ban đầu

L=200; % Kích thước ma trận và cũng là số điểm chia

trận 0

tụ (1)

tụ (2)

count=1; % Biến đếm số vòng lặp

tolerance=6.00; % Xác định dung sai = 6

norm_diff=100*rand(1);% Sai số dừng vòng lặp, ban đầu là ngẫu nhiên

% Thực hiện vòng lặp

while norm_diff>tolerance % Thực hiện vòng lặp khi sai số lớn hơn dung sai

khi lặp

for i=2:L-1 % thực hiện 2 vòng lặp Jacobi

for j=2:L-1

% Điều kiện để tiếp tục vòng lặp

if U(i,j)==220 || U(i,j)==-220

continue;

end

% Lời giải phương trình Laplace với FDM-2D

U(i,j)=(U(i-1,j)+U(i+1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1))./4;

end

end

Norm2=norm(U); % Giá trị lớn nhất của U sau mỗi lần lặp

cũ

count=count+1; % Xác định số vòng lặp

end

% Hiển thị số vòng lặp

fprintf(' Number of iterations N=%d\n',count);

% Vẽ kết quả phân bố điện thế trong hộp vuông

surf(U);shading interp; colorbar;

xlabel(' Lx');

ylabel(' Ly');

zlabel(' Potential, in Volts');

title (' Electric potential of the parralel plate

Capacitor');

view(-54,6);

% Vẽ điện trường tĩnh tạo ra do 2 bản tụ

[Ex,Ey]=gradient(U);

figure, contour(U,'LineWidth',2);

hold on, quiver(Ex,Ey,4), hold off

% Thể hiện điện trường tĩnh rõ ràng hơn

figure,contour(U,'LineWidth',2); hold on, quiver(Ex,Ey,4), hold

off;

zoom(3);

axis([10 40 130 160]);

2.4 Kết quả:

3 FDM-FEM – GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KIỆN BIÊN LOẠI 3

3.1 Phân tích bài toán

Giải quyết bài toán có điều kiện biên hỗn hợp (điều kiện biên loại 3), phương trình vi phân như sau:

Miền xác định:

Điều kiện biên:

tại x =2 Lời giải giải tích:

u = x2

Phân tích bài toán điều kiện biên loại 3 cũng tương tự như bài toán điều kiện biên

Dirichlet và điều kiện biên Neuman Chỉ khác ở các biên, do đó ta cần phải sử đổi một

số điểm như sau:

- Xấp xỉ sai phân biên đạo hàm ta có:

Như vậy ma trận [A] và [F] phải thay đổi như sau:

Phân tích tương tự như trên, với phương pháp FEM-1D ta cũng cần thay đổi ma trận

[K] và [b] như sau:

Trong đó: α, β là hệ số của phương trình vi phân

M là số phần tử, M = n-1

3.2 Thực hiện với chương trình Matlab

Để giải bài toán, ta thực hiện đoạn code như sau:

% Khai báo biến x, hàm U, miền khảo sát a-b, giá trị biên

ua-ub

% hàm giá trị f, số điểm khảo sát n

function [x,U]=two_point(a,b,ua,ub,f,n)

clear

clc

% -Khai báo ban đầu -

n=24; % Số điểm khảo sát

a=-1; % Cận dưới của hàm số

b=2; % Cận trên của hàm số

ua=1;

% -Các hệ số của hàm số -

A=-1;

B=0;

C=2;

% -FDM bậc 2 -

h=(b-a)/(n-1); % Khoảng chia Delta x

h1=h*h; % Delta x bình phương

A1=sparse(n,n); % Định nghĩa ma trận A

F=zeros(n,1); % Định nghĩa ma trận F

% -Thực hiện vòng lặp xác định ma trận A -

for i=2:n-2

A1(i,i)=(C*h1-2*A)/h1; % Định nghĩa số hạng A(i,i)

A1(i,i+1)=(A+h*B/2)/h1; % Định nghĩa số hạng A(i,i+1) A1(i+1,i)=(A-h*B/2)/h1; % Định nghĩa số hạng A(i+1,i) end

% Các giá trị của ma trận A chưa được xác định trong vòng lặp

A1(1,1)=1;

A1(2,1)=(A+h*B/2)/h1;

A1(n-1,n-1)=(C*h1-2*A)/h1;

A1(n-1,n)=(A+h*B/2)/h1;

A1(n,n-1)=-1/h; % Giá trị xác định từ ĐKB loại 3

A1(n,n)=3+1/h; % Giá trị xác định từ ĐKB loại 3

% Thực hiện vòng lặp xác định hàm giá trị f -

for i=2:n-1

x(i)=a+(i-1)*h; % Xác định giá trị biến x trong mổi

phép lặp

F(i)=-2+2*x(i)^2; % Hàm giá trị f theo đề bài

end

% Các giá trị hàm f chưa được xác định trong vòng lặp - F(1)=ua;

F(n)=16;

% Xác định hàm cần tìm U1 theo FDM -

U1=A1\F;

U1=U1';

% -Khai báo ban đầu FEM bậc 1 -

N=n;

l=(b-a)/(N-1);

% -FEM bậc 1 -

K11=sparse(N,N); % Định nghĩa ma trận độ cứng K

F11=zeros(N,1); % Định nghĩa ma trận hàm giá trị f

b11=zeros(N,1); % Định nghĩa ma trận b

% Thực hiện vòng lặp xác định ma trận độ cứng K -

for i=2:N-2

K11(i,i)=-2*A/l+2*C*l/3;

K11(i,i+1)=A/l+C*l/6;

K11(i+1,i)=A/l+C*l/6;

end

% Các giá trị của ma trận K chưa được xác định trong vòng lặp -

K11(1,1)=1;

K11(2,1)=A/l+C*l/6;

K11(N-1,N-1)=-2*A/l+2*C*l/3;

K11(N-1,N)=A/l+C*l/6;

% Thực hiện vòng lặp xác định ma trận b

for i=2:N-1

x(i)=a+(i-1)*l;

F11(i)=-2+2*x(i)^2;

b11(i)=F11(i)*l;

end

% Các giá trị của ma trận b chưa được xác định trong vòng lặp -

b11(1)=ua;

b11(N)=F11(N-1)*l/2+16;

% Xác định hàm cần tìm U11 theo FEM -

U11=K11\b11;

U11=U11';

% -

% -Nghiệm chính xác -

% Thực hiện vòng lặp xác định nghiệm chính xác u -

for i=1:m4

x(i)=a+(i-1)*h4;

u(i)=x(i)^2;

end

% Giá trị biên của nghiệm chính xác -

u(1)=ua;

u(m4)=4;

% -In kết quả -

k=a:h4:b;

i=a:h:b;

z=a:l:b;

t=a:1/(n-1):b;

WW=spline(z,U11,t);

plot(k,u,'k',i,U1,'b',z,U11,' rs','LineWidth',2,'MarkerEdgeColor','r','MarkerFaceColor','g', 'Mark

erSize',5);

xlabel('x direction');

ylabel('u(x)');

title('Comparison Between Analytic, FD and FE Numerical

Solutions');

grid on;

legend('Analytic Solution','2nd-Order FD Solution','1st-Order

FE

Solution');

% - -

3.3 Kết quả