Phương pháp tính trong kỹ thuật part 8 potx

MỞ ĐẦU Khi giải các bài toán cơ học, ta thường phải tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng trên miền D với các điều kiện biên khác nhau.. Phương hướng chủ yếu để giải các bài toá

" — 3q/4

sự2

——”

s4

Hinh 71

Giải:

Để tìm nghiệm của (1) và (2) theo phương pháp sai phân, ta chia đấm thành 4 đoạn bằng nhau với:

h=—

4

Viết phương trình sai phân của phương trình (1) cho 3 diém 1, 2, 3 bên trong dầm

ta được:

3

Mp -2M, +M, =~ 902

h2

M, - 2M, + My = aa

Bagh?

4

Điều kiện biên: tại hai đầu dầm mômen uốn bằng không Mạ=M, = 0

Giải hệ phương trình trên ta tìm được:

M, = 0,625qph? = 0,0391qg/;

M,= oh? = 0,0625qy??;

M; = 0,873q,h? = 0,0547q,/2

M, - 2M, + M,= -—

Để xác định độ võng của dầm, ta viết phương trình sai phân của phương trình (2) cho các điểm 1, 2, 3 như sau:

h? 2

- 2y, + y = — (0,625q,h*

Yor “¥i t+ Yo EI ( oh”)

hề

- 2y + y3 = — (qoh”

Yi- 42 t Ys Ey (qph)

hề

9 - 2y3 + Ys = —: (0,873qch”

Y2> 293 + Ya= FF O873qgh")

99

Các điều kiện biên: tại hai đầu đầm độ võng bằng không yạ= y„ = 0

Giải hệ phương trình trên ta được:

v,=-L187 20% ~ 000463 đe”,

yr =-1,749 401” ~.o006g Sel,

yee 1311 2% =~ 0.00813 42

Nếu giải bằng phương pháp chính xác ta được:

of"

y= -0,0043 22" EI y, = 0,00652 92"; y, = - 0,00486 Ge EJ EJ

Sai số lớn nhất e ~ 10

Vi du 3: Phuong trình vi phân của đầm trên nền đàn hồi:

4

Trong đó: y là độ võng của dầm;

-_ k]à hệ số nền;

-_ q là cường độ tải trọng phân bố

Hãy tìm độ võng của dầm trên nền đàn hồi có độ dài /, chịu tải trọng phân bố theo

quy luật tam giác với q„„„ = qạ như hình vẽ 7.2

Giải:

Để tìm độ võng của đầm theo phương pháp sai phân ta chia đầm thành 4 đoạn bằng

nhau: h = !

4

a Sai phan hoá phương trình vi phan (3)

Yin 729 FY

h

Ta đã có công thức: y;=

% 3q

qự2

Gl

2 4 0% E777 1S EEE 2 SOC EEE 3 SSOP EF 4 5 8

Hinh 7.2

100

a

Do đó: y, =1 20D, ~2y7+Y,)=

1 Feline 2y, + y,)— 2ú ~ 2y, tYii) Ôi — 2V, ¡+ i2]

1

Vì vậy phương trình sai phân của phương trình (3) là:

4

h

Via Fis + OY; — 4y tyi¿ = CRY, +) (5)

Goi B= We là độ cứng tương đối của nền thì phương trình (5) được viết lại là:

B’ hẺ yia~4yi+| 6+ Wi 4 yt Va Fed (6)

Trong đó: n là số đoạn chia của dầm;

q¡ là cường độ tải trọng tại điểm thứ ¡

Nếu giả thiết B = 4 và n = 4 thì theo (6) phương trình sai phân tại các điểm là:

- Tại điểm 0:

y ›—4y + 7y; TÂY, ty,=0

- Tại điểm I:

ph

Y- — 4ya + Ty, — 4y, + Vy = By oo

- Tai diém 2:

4

h

- Tai diém 3:

h*

yi ~4y.+Ty,-4y ty, = Đo

- Tại điểm 4:

4

h

1 4y,4Tys-4yo+y, =o

Ya THY LVF YS + Vo mm

b Sai phân hoá các điều kiện biên

Điểu kiện biên tại hai đầu đầm (điểm 0, điểm 4) là mômen uốn và lực cất bằng không:

101

M=EJSŸ=0;Q- ““-gJSŸ-o (8)

1

2n* [¥i407 2¥ia FYI CY; — 2 + Yi wid

hay YP = 515 Yaa Vir +2 Vial

- Tại diém 0:

Yo=O>y_,-2yg+y, =O >y_ = 2yy-y,;

yo =O->y, —2y, +2y,-y., =0

> Yn =Y¥2.-2y, +2y_, =y —4y, -4¥_

- Tại điểm 4:

yí =0->Y,~2y,+Y; =Ú—>Y, =2Y,—Y,;

y7=0->y,-2y,+2y;—y, =0

—Y, =2y;—2yy+Y; =4y, T4yy+Y;

c Tim nghiệm

Thay giá trị độ võng tại các điểm ảo: -2, -1, 5, 6 vào hệ phương trình (7) ta được:

3yo- Ay, + 2y; =0

h -2yu+Ôyi- 4y;+yy = EB -0,25q,

h

Yo- 4y¡+ Ty2- 4y3+ Ys = EI -0,50q;

ht

y.- 4y;+ÔY;-2y, = mg 5u

hỶ

2y; Y2~ - FYat 4y;+3 Vs Ey “Wo = Giải hệ phương trình trên ta tìm được:

doh* qah*

= 0,007 3¥, = 0,245 ;

102

qạh! qoh* qoh*

7 = 0,493 “2 _; y, = 0,751 2; y,=

Lực cắt va mômen uốn tại điểm ¡ được xác định theo công thức sau:

a ~2Y¡u+2V, 1V,

a= 2) =EI vu? TH Xin Y2),

M, = EJ dy =EI C -2Y¡ FV )

Vi du tai diém 2:

Q= ah (1,00 - 1,502 + 0,490 - 0,007) = 0,009Sqgh

Mz = qoh?(0.751- 0,986 + 0,245) = 0,010qch?

Vi du 4: Xác định tân số dao động riêng của dầm có tiết diện ngang không đổi, khối lượng phân bố đều m, một đầu ngàm, một đầu gối tựa đơn giản

Giải: Phương trình vi phân dao động riêng của đầm có dạng:

‘

ef £2) omy

Trong đó: E là môđun đàn hồi của vật liệu;

J là mômen quán tính tiết điện ngang của dầm;

œ là tần số dao động riêng của dầm;

y là độ võng của dầm

Hình 73 œˆ2mh*

Dat 2 = và dùng công thức (4) dé sai phân hoá phương trình vi phan (9) ta được phương trình sai phân:

Yi-aT—4Yy(- +(6—À)yi —ÁYyjvi +Yi¿¿= 0 (10)

103

Chia đầm thành 4 đoạn bằng nhau

Điều kiện biên tại gối tựa đơn: yạ = 0; Mụ = 0

hay vạ = 0, y”ạ = 0 —> Vị 2yu +y =Ú + V.j=- Yy q1) Điều kiện biên tai dau ngam: y, = 0; y',=0 hay y,=0; ys-y,=O>ys=y, (12)

Khi thay các điều kiện biên vào các phương trình sai phân (10) tại các diém 1, 2, 3 ta

được hệ phương trình:

—yi+(6—À)y, 4y; +yy =0

—4y, +(6-A)y, —4y, =0

yịT 4y; +(6—)yš Tyạ= 0

Sau khi rút gọn ta được:

(S-Ady, -4y2 +¥, =0

—4y, +(6-A)y, -4y,=0

y, ~4y,+(7-A)y, =0

Đây là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Để tồn tại dao động riêng tức là dé cho các chuyển vị tại các nút không đồng thời bằng không thì định thức ma trận các hệ số của hệ phải bằng không:

5-A -4 I -4 6-% -4]=0

1 -4 7-4

Đây là phương trình bậc 3 đối với 2 Giải phương trình ta tìm được 3 nghiém 2), As, Ay

Tần số dao động riêng của đầm được xác định theo công thức:

Bài tập

1- Tìm nghiệm gần đúng của các phương trình vị phân sau bằng phương pháp chuỗi

Taylor:

be ytay? ai,

4)y`=Xx +V ;y()= 2;

b) y' = cos(x + y), y(0) = 0;

104

e)y =e +x, yl) =0

2- Tìm hai xấp xỉ liên tiếp của nghiệm phương trình vị phân sau:

a)y`= XỶ - y`, y(0) = 0;

b)y'=2x- I+yŸ y(0) = I

3- Dùng phương pháp Ơle tìm nghiệm bằng số của các phương trình vi phân trên

đoạn |a, bị với bước h = 0,I:

ay'= Jay, y= La=0,b=1;

by=xty’, yO)=0,a=0,b=1

4 Dùng phương pháp Ơle cải tiến tìm nghiệm bằng số của các phương trình vi

phân sau:

a)y'=x+y%, y(0) =0, h=0,03 Tìm y(0,3)?

b)y = L+x - ý), y(0) = 1, h=0,02 Tìm y(0,L)2

5- Ap dụng phương pháp Runge - Kutta với bước h = 0,2 tim nghiệm của các phương trình vi phân trên đoạn [a, bỊ:

a)y'=y-x,y(0)=1,5,a=0,b=l;

b)y'= Ý—y?,y()=la=l,b=2

X

6- Tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau bằng phương pháp chuỗi Taylor:

y=xy+#z

freee y(O) = 0; z(0) =1

7- Áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn tìm nghiệm của bài toán biên sau:

a) xy" + xy' = 1; y() =0, y(14) = 0,0566 với bước lưới h = 0,1;

b)y” - (+ x9)y =-1, y1) = y0) =0

Đáp số

II 1x” 3x) 27 x!

1 A4) ÿy=_—+—X+—-T+—.e+d CS +

ee

c) Y= 20-1426 = D8 + 264-9" + D1 tee

105

106

Mey Ye 3 63

5

b) y, = 1+ x? x

a) y, = 1, yz = 1,005000, y; = 1,010025, y, = 1,025175,

ys = 1,045679, y, =1,07821, y, =1,103976,

Ys = 1,142615, yo =1,188320, y,9 =1,241794

b) yị =0, y2 = 0,001, y; = 0,005, y, = 0,014002,

ys = 0,030022, y, = 0,055112, y, = 0,091416,

Yg = 0,141252, yo = 0,207247, yj = 0,295542

a) 0,0451;

b) 1,0047

a) y(1) = 3,36;

b) y(2) = 0,80

abyax- 4 4x3 XG

3

24

a) Yo = 0; y, = 0,0046 ; y, = 0,0167;

y = 0,0345; y, = 0,0566

Chương VIII

GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG

PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HẠN

8.1 MỞ ĐẦU

Khi giải các bài toán cơ học, ta thường phải tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng trên miền D với các điều kiện biên khác nhau Thí dụ:

- Phuong trinh Laplaxo (Laplace): Au = s : + eu =0

Ôx“ dy”

- Phuong trinh truyén ahiét: “= 22 eu

- Phuong trinh day rung: £ " =a’ a `

Người 1a thường tìm nghiệm chính xác của các phương trình trên đưới đạng một tích phân hay một chuỗi Tuy nhiên, phạm vi những bài toán giải được theo cách này rất

hẹp, đòi hỏi phải có những kiến thức nhất định về giải tích hàm, hàm phức Đó là một

khó khăn đối với những người làm công tác kỹ thuật

Phương hướng chủ yếu để giải các bài toán phương trình đạo hàm riêng là dùng các

phương pháp gần đúng, trong đó phương pháp sai phân hữu hạn có ứng dụng rất rộng rãi Phương pháp này có ưu điểm là khá tổng quát, cho phép tầm lời giải gần đúng của một lớp khá rộng các bài toán biên, trong các miền có hình dạng tuỳ ý, với các điều

kiện biên khác nhan

Khi giải các bài toán phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp sai phân hữu

hạn ta phải tiến hành các bước sau:

- Bước thứ nhất: rời rạc hoá miền D Thay miễn D liên tục bằng một số hữu hạn các

điểm gọi là các nút của lưới sai phân Ta sẽ tìm nghiệm của bài toán chỉ tại các nút này

Tuỳ từng bài toán cụ thể, ta có thể chọn các lưới sai phân khác nhau, đơn giản nhất là

lưới hình vuông, hình chữ nhật

- Bước hai: sai phân hoá phương trình đạo hàm riêng Thay các đạo hàm riêng của hàm cần tìm bằng các tỷ sai phân, như vậy ta đã chuyển phương trình đạo hàm riêng thành mot

hệ các phương trình đại số, mà ẩn số là giá trị của hàm cần tìm tại các điểm nút

107

- Bước ba: sai phân hoá các điều kiện biên Thay các điều kiện biên bằng các phương trình đại số có chứa giá trị của hàm tại các nút gần biên hay ở ngay trên biên

Tập hợp các phương trình đại số khi sai phân hoá phương trình đạo hàm riêng và các

diéu kiện biên được gọi là một lược đồ sai phân

- Bước bốn: giải hệ phương trình đại số tìm giá trị của hàm tại các điểm nút Đó là nghiệm gần đúng của bài toán

Tất nhiên, khi tiến hành 4 bước trên ta phải chọn lưới sai phân và xây dựng lược đồ

sai phan sao cho:

- Hệ phương trình đại số có nghiệm duy nhất;

- Nghiệm gần đúng của bài toán hội tụ về nghiệm chính xác với tốc độ hội tụ cao

(khi bước lưới ngày càng nhỏ), hay nói cách khác, lược đồ sai phân ổn định;

- Khối lượng tính toán là ít nhất

Sau đây ta sẽ áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn để giải một số bài toán phương trình đạo hàm riêng thường gặp

8.2 BAI TOAN DIRICHLE (DIRICIILET)

8.2.1 Bai toan

Tim ham u (x, y) trên miền D thoả mãn phương trình:

av =o 42? Ley (8-1)

ôx ôy

và thoả mãn điều kiện biên:

với mọi (x, y) trên biên S cha mién D

Trong đó (x, y) là ham lién tuc trén S

8.2.2 Giải bài toán

a) Roi rac hoá miền

Trong mật phẳng Oxy chứa miền D, ta xây dựng hai họ đường thẳng song song:

X=xa+ih; 1=0, +1,1+2,

y=yu+fi jJ=0,+l1,+2,

Giao điểm của các đường thẳng này là các điểm lưới (nút Tập hợp các điểm lưới gọi là lưới sai phân, h được gọi là bước lưới theo x và là bước lưới theo y

108

Ta chia các điểm lưới M, = (;, y,) nam trong miền D thành hai loại:

- M, là "điểm trong" của D nếu 4 điểm lân cận nó: Miij 3 Ming 3 Mijas Mi jer déu nam trong D

- Mụ là điểm biên nếu nó không phải là "điểm trong" (các điểm được đánh đấu* trên

hinh 8.1)

b) Sai phân hoá phương trình dạo hàm riêng

Tương tự như khi giải phương trình vi phân bằng phương pháp sai phân, ta cũng thay các đạo hàm riêng bằng các tỷ sai phân

Nếu ký hiệu u (x,, y,) = u,, ta có:

(2) ~ tu C Buii (8-3)

ex), j 2h

ey ‘i 2l

au je — 2807 + Ui (8-6)

Thay các giá trị gần đúng của các đạo hàn riêng vào (8-1) ta được phương trình sai phân:

mmị — “H¡, EW i=Lj Uy =20,, #0, a =f, (8-7)

Trong đó: f, = f(x,, y,)

©) Xấp xỉ các điều kiện biên

Nếu miền D là hình vuông hay hình chữ nhật, ta chọn lưới sao cho biên S nằm trên lưới sai phân Khi đó giá trị của hàm tại các điểm trên biên ui = @¡ đã biết,

Nếu miền D là miền bất kỳ được bao bởi biên S là đường cong, thì giá trị của hàm tại các điểm biên được tính qua giá trị của hàm tại các điểm trong và điều kiện biên

theo phương pháp nội suy tuyến tính

du, thu,

8-8

109

Š;up ~ huc

u =P

6,-h Trong đó: A', c' là những điểm nằm trên biên S;

ỗ =AA: ô,=CC;

uạ =@(A'); uẹ =@(C)

a) Giải hệ phương trình tìm nghiệm Hình 8.2

Tập hợp các phương trình (8-7), (8-8) của các điểm lưới lập thành một hệ phương

trình đại số tuyến tính Giải hệ phương trình này ta sẽ tìm được giá trị cua ham u(x, y) tại các điểm lưới

Nếu miền D là hình chữ nhật và / = h thì hệ phương trình này đơn giản nhất Khi đó

(8-7) có đạng:

u,,+u,,,+u i+Lj lj ijel +u,,„— 4u,, = hỶf i j Ụ (8-9)

Nếu f(x, y) = 0 thì phương trình (8-1) được gọi là phương trình Laplaxơ, phương trình sai phân tương ứng có đạng:

8.2.3 Sai số

Sai số khi thay thế phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân được

đánh giá như sau:

2

6

Trong đó:

4u lat

Chú ý: Sai số của nghiệm gần đúng tìm được bằng phương pháp sai phân là do các

nguyên nhân sau gây ra:

- Thay thế phương trình đạo hàm riêng bằng phương trình sai phân;

- Xấp xỉ các điều kiện biên;

- Hệ phương trình sai phân được giải bằng các phương pháp gần đúng

110

Vi dụ 1: Biến dạng đàn hồi của tấm mỏng hình vuông dưới tác dụng của tải trọng phân bố đều được mô tả bằng phương trình Poátxông:

3

u ôổ°u

TA

ðy?

với điều kiện biên u(x, y)ls = 0

Tìm nghiệm của bài toán bằng phương pháp sai phân Biết cạnh hình vuông bằng I

và bước lưới h = / = 1/4

Giải:

Do tính chất hoàn toàn đối xứng của bài 0 9 0

toái a chỉ cần xác định giá trị của ham u(x, y)

tại các điểm: (1 L), (1, 2), (2, 1), (2, 2) là đủ

Phương trình sai phân cho các điểm đó là:

Uj, + Uy, ~ 4uy, = - 0,0625 12 22 3.2

tạ; + 2u;, - 4u,, = - 0,0625

2u; + 2u; - 4u;; = - 0,0625

- đuu + 2u,; = - 0,0625 Hình 8.3

2u¡,- 4u; + tạ; = - 0/0625 4u; - 3u¿; = - 0.0625

Giải hệ trên ta được:

ui =0,0429; uy; = tại = 0/0547; uy; = 0,0703

Yí đụ 2: Tìm chuyển vị và nội lực của tấm vuông, chu vi gối tựa đơn, cạnh a, chịu tải trọng phân bố hình thang như hình 8.4 Biết chuyển vị của tấm thoả mãn phương trình:

ul, eu 2u q a

ô ` Øx ly! ay? D

Trong đó: q là cường độ tải trọng phân bố;

D là độ cứng chống uốn của tấm;

U là chuyển vị của tấm

111