trắc nghiệm toán 11 chuyên đề giới hạn

Tác giả: PHẠM TRẦN LUÂN TP Hồ Chí Minh Biên tập: Lê Bá Bảo Huế  y f x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.. b Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng

Tác giả: PHẠM TRẦN LUÂN (TP Hồ Chí Minh) Biên tập: Lê Bá Bảo (Huế)

 y f x  liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

 y f x  liên tục trên đoạn a b;  nếu nó liên tục trên khoảng  a b; và

   lim

b a

Hàm số liên tục trên khoảng  a b;

a) Hàm số đa thức liên tục trên tập số thực 

b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của nó

 Định lí 2

Giả sử y f x  và y f x  là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó:

Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:

Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn a b;  và f a f b    0, thì phương trình f x 0 có

ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng  a b ;

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x 0

VD 2 Xét tính liên tục của hàm số   neáu

neáu

2

1

11

Vậy hàm số liên tục tại điểm x0 1

VD 3 Xét tính liên tục của hàm số   khi

khi

1

12

VD 4 Xét tính liên tục của hàm số   khi

Vậy hàm số liên tục tại điểm x0 1

Dạng 2 Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng

Nếu x1 thì f x 5

Ta có:

 f 1 5;

Suy ra hàm số gián đoạn tại điểm x1

Vậy hàm số trên liên tục trên mỗi khoảng ;1 , 1;   và gián đoạn tại điểm x1

Vậy hàm số liên tục trên đoạn[ 1;1]

Dạng 3 Tìm tham số để hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng

VD 1 Tìm giá trị của tham số m để hàm số   khi

khi

22

Vậy m0 thì hàm số liên tục tại điểm x2

VD 2 Tìm giá trị của tham số m để hàm số     khi

m m

2 3

5 4

11

( )

1

12

x x

    f x  không tồn tại đạo hàm tại x0 3

Vậy hàm số f x  không liên tục tại x0 3

Bài tập 3: Cho hàm số nÕu

2 3

1 1

Kết luận: Hàm số f x  liên tục trên 

Dạng 4 Chứng minh phương trình f x 0 có nghiệm  a b ;

VD 1 Chứng minh rằng phương trình x32x 5 0 có ít nhất một nghiệm

Hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] và f   0 f 2 0

Suy ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x0 0; 2

Vậy phương trình x32x 5 0 có ít nhất một nghiệm

VD 2 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Mặt khác: Hàm số f liên tục trên  nên liên tục trên đoạn [ 1; 0]

Suy ra phương trình f x 0 có ít nhất một nghiệm x0  1; 0

Bài giải: Gọi f x( )x17 x111  ( )f x liên tục trên 

f(0) = –1, f(2) 2 17211 1 2 (211 6   1) 1 0  f(0) (2) 0f 

Bài tập 2: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất 2 nghiệm: 2 x3 5 x2   x 1 0

Bài giải: Đặt f  x 2 x3 5 x2   x 1 f x liên tục trên ( ) 



 

 phương trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc  0;1

Kết luận: Phương trình có ít nhất 2 nghiệm thuộc 1;1

Bài tập 3: Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 5 nghiệm: x5 5 x3 4 x   1 0

Bài giải: Đặt f  x x5 5 x3 4 x   1 f x liên tục trên ( ) 

  

11;

 ,  1; 3 là các khoảng rời nhau đôi một, suy ra phương trình có ít nhất 5 nghiệm phân biệt Mặt khác, (1) là phương trình bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm

Kết luận: Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt (đ.p.c.m)

Bài tập 4: Chứng minh phương trình x36x  1 2 0 có nghiệm dương





 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong  0;1 (đ.p.c.m)

Bài tập 5: Chứng minh rằng phương trình x510x3 100 0 có ít nhất một nghiệm âm

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm âm c  10; 0

Bài tập 6: Chứng minh rằng phương trình x2cosx x sinx 1 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  0;

Bài giải:

Gọi f x x2cosx x sinx1  f x  liên tục trên 

 0 1,   2 1 0    0 0

f  f       f f  

 phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc  0;

Bài tập 7: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm thực với mọi m :

b) Hàm số f x( )m4 m 1x2017x532 là hàm đa thức nên liên tục trên , do đó hàm số liên tục trên đoạn 0 2; 

Suy ra (0) (2) 0,f f   m  nên phương trình f x 0 có một nghiệm thuộc khoảng  0; 2 nên

phương trình luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m

f) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn

g) cã Ýt nhÊt 3 nghiÖm ph©n biÖt trªn

1(0) 0

2

01

Bài tập 2: Chứng minh rằng nếu: 2a3b6c0 thì phương trình: ax2bx c 0 có ít nhất một nghiệm trên  0;1

b x c

( 1) (1)( 1) (1)

(1) áp dụng bất đằng thức Cauchy: (2)

Dấu bºng xãy ra khi , vậy với thì dấu bºng ở (2) không xãy ra

100(0) 0

( )

, ,( )

Do lim nên tồn tại tuỳ ý sao cho:

Tương tự: lim nên tồn tại tuỳ ý sao cho:

Từ đó suy ra: ycbt

a Dựng định nghĩa xột tớnh liờn tục của hàm số f(x)x32x1 tạix0 3

b Xột tớnh liờn tục của hàm số y  g x  tại x0 2, biết

a khi

khi

2

0( )

2

x x

x x

a Hàm số f x( ) 1x2 liên tục trên đoạn  1;1

b Hàm số f x( ) x1 liên tục trên nữa khoảng   1; 

c Hàm số

2

1( )

1

f x

x



 liên tục trên khoảng 1;1 

d Hàm số f x( ) 8 2 x2 liên tục trên nữa khoảng  2; 2

e Hàm số ( )f x  2x1 liên tục trên nữa khoảng 1;

 gián đoạn tại điểm x0.

Bài 7 Tìm số thực m sao cho hàm số:

khi

2

1( )

Bài 8 Chứng minh các phương trình sau có nghiệm trên :

a sinx x 1 b sinx2 tan 2x2

Bài 9 Hàm số y f x  liên tục trên a b;  có f a f b    0thì phương trình f x 0 có

nghiệm thuộc khoảng  a b; hay không ? Cho ví dụ

Bài 10 Hàm số y f x  liên tục trên a b; có f a f b    0thì phương trình f x 0 có

nghiệm thuộc khoảng  a b; hay không ? Cho ví dụ

Bài 11 Cho các hàm số

6

1)

x x

f và g x tanxsinx Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục

Bài 12 Chứng minh rằng phương trình:

a x2cosx x sinx 1 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng  0;

b x3  x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1

c 2x36x10 có ít nhất hai nghiệm

d cos x x có nghiệm

e x33x 1 0 có ba nghiệm

f x2 1 2x2 có ít nhất hai nghiệm phân biệt

g 2x2  x 1 sinx có ít nhất hai nghiệm phân biệt

Bài 13 Chứng minh rằng phương trình

a x43x25x 6 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng  1; 2

b x53x45x 2 0 có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng 2; 5

a Chứng tỏ rằng f   1 f 2 0 nhưng phương trình f x 0 không có nghiệm thuộc khoảng 1; 2

b Kết quả trên có mâu thuẫn với hệ quả không? Vì sao?

Bài 16 Xét tính liên tục của các hàm số:

a     khi

khi

2 2

1

1

x x

f x

x x

52

x

x x

, 0

2

x x x

Cần bổ xung hêm điều kiện gì để khẳng định trên chắc chắn ?

Bài 21 Hàm f x liên tục trên các khoảng a b;  và b c;  thì có thể khẳng định được chắc

chắn nó liên tục trên khoảng  a c hay không ? Vì sao ? ;

Bài 22 Chứng minh rằng phương trình:

a 2x36x 1 0 có ít nhất hai nghiệm ;

b cos x x có nghiệm

c x3  x 1 0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1

Bài 23 Dùng định nghĩa , chứng minh các hàm số sau liên tục trên 

02,

Câu 4 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ 1; 4] sao cho f( 1)  3, f(4) 5 Có thể nói gì về

số nghiệm của phương trình ( ) 8f x  trên đoạn [ 1; 4] :

A Vô nghiệm B Có ít nhất một nghiệm

C Có hai nghiệm D Không thể kết luận gì

Câu 5 Hàm số

khikhikhi

A Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm thuộc đoạn [-1;0]

B Liên tục tại mọi điểm x thuộc R

C Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = -1

D Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0

Câu 6 Hàm số

os khi

khi khi

A Liên tục tại mọi điểm x thuộc R

B Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 0

C Liên tục tại mọi điểm trừ điểm x = 1

D Liên tục tại mọi điểm trừ các điểm x = 0 và x = 1

5.3



Câu 10 Cho hàm số  

khi

khi khi

A mọi điểm thuộc  B mọi điểm trừ x0

C mọi điểm trừ x1 D mọi điểm trừ x0 và x1

Câu 11 Hàm số f x có đồ thị như hình bên không liên tục

tại điểm có hoành độ là bao nhiêu?

A.x0

B x1

C x2

D x3

Câu 12 Cho hàm số

x

2 2

2 ,( )

Câu 15 Cho hàm số f x( )x31000x2 0,01 Phương trình f (x)=0 có nghiêm trong khoảng

nào trong các khoảng sau đây?

I (-1;0) II (0;1) III (1;2)

A Chỉ I B Chỉ I và II C Chỉ II D Chỉ III

Câu 16 Cho hàm số

x 1x

0 x < 1

0<0 sin x

2 2

A f x  liên tục trên  B f x  liên tục trên \ {1}

C f x  liên tục trên \{0} D f x  liên tục trên \{0;1}

Câu 17 Cho hàm số  

khi khi khi 1

A Hàm số liên tục tại mọi x

B Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ x0

C Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ điểm x1

D Hàm số liên tục tại mọi điểm trừ hai điểm x0 và x1

0

x x

Câu 20 Tìm khẳng định đúng trong hai khẳng định sau:

I f(x)=x33x21 liên tục trên  ; II f(x)=

2

11

x  liên tục trên khoảng 1;1III ( )f x  x2liên tục trên khoảng 2;

A Chỉ I B Chỉ I và II C Chỉ II và III D Chỉ I,III

x x

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số không xác định tạix 2 B Hàm số không xác định tạix0

C Hàm số liên tục tại x0 D Hàm số liên tục tại x 2.

Câu 39 Cho hàm số   5 4 khi 1

A mọi điểm thuộc  B mọi điểm trừ x  1

C mọi điểm trừ x  3 D mọi điểm trừ x  và 1 x  3

HẾT

ĐÁP ÁN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Trong tài liệu này, tác giả có sử dụng phần lí thuyết và một số câu hỏi của quý thầy cô

Team Huế (CLB Giáo viên trẻ TP Huế), sách trắc nghiệm 2007, tài nguyên Page Toán học Bắc

hồi để cùng tác giả hoàn thiện nội dung trên Xin cảm ơn! Xin tặng các Thầy Cô và các em học sinh chuyên đề này!