Chuyên đề tiếp tuyến

Viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR : Cm luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định 3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của Cm đi qua 1... Tìm toạ độ t

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

(m − 1)x + m

x − msong song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục

Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành

x 0 =

y| =

m 2 − m3m + 1

, m ∉ 0, − ,14

m3m +

Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị y =

vuông góc với đường thẳng y = x + 2006

|

 x 0 + 2 

 x 0 − 1 

3(x 0 − 1) 2

 x 0 +

2 

 x 0 −

1 

⇔  0

(a − 1)x 0 − 2(a + 2)x 0 + a + 2 = 0

 x 0 ≠

g(x ) = (a − 1)x20 0 + a + 2 = 0 ⇔ 

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

x 2 − 3x + 6

x − 1(C) , tìm toạ độ tiếp điểm

, đồ thị (C) Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số

Cho hàm số y = mx3 − (m − 1)x 2 − (m + 2)x + m − 1 , (Cm)

1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1

2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

3Cho hàm số y = −x 4 + 2x 2 − 1 , đồ thị (C) Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻđược 3 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) ∈ Oy , (d) là đường thẳng qua A dạng : y = kx + a

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ :

 −x 4 + 2x 2 − 1 = kx + a





−4x3 + 4x = k

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

⇔ −1 − a = 0 ⇔ a = −1 Khi đó 3x 4 − 2x2 = 0 ⇔ x = 0 ∨

x = ±

23

Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1)

Cho hàm số y = x3 − 3x 2 + 2 ; đồ thị (C)

1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y = k(x − 1) là tiếp tuyến của (C) khi hệ

x3 − 3x 2 + 2 = k(x − 1)

 2

có nghiệm ⇔ (x − 1)3 = 0 ⇒ x = 1 ⇒ k = −3

Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : y = − 3x + 3 kẻ đến (C)

2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y = − 3x + b

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ :

x3 − 3x 2 + 2 = −3x + b

 2

b = x3 − 3x 2 + 2

x = 1 ⇒ b = 3 ⇒ (T) : y = −3x + 3(T) ≡ (d) vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A

x 4 5

2 21.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ x M = a CMR hoành độ các giao điểm của

x 4 5 3

2 2 2

52

2 2 2

2.Qũy tích trung điểm K

Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : x 2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 có

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

 2 2

7 5

2 2 và giới hạn bởi 1 ≠ x ≤ 3

Cho hàm số y = −x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 có đò thị là (Cm).Định m để các tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại A và

B điểm cố định vuông góc nhauĐiểm cố định A(-1,0) B(1,0) và y| = −4x3 + 4mx

⇒ y A = 4 − 4m ; y B = − 4 + 4mTiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau ⇔ y | A y | B = − 1

3 5

4 4

x + 1

x − 1được đúng 1 tiếp tuyến đến (C)

Gọi A(0,a) ∈ Oy ⇒ (d) qua A có phương trình y = kx + aHoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ

4

Gọi M(x0,y0) ∈ y = x ⇔ M(x 0 ,x 0 ) ⇒ tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng y = k(x − x 0 ) + x 0 (d)

x − 1

x + 1Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép ⇔ kx 2 + (k − kx 0 + x 0 − 1)x + x 0 − kx 0 + 1 = 0

k ≠ 0

2 2 (2)

 x K = −Khi đó a ; x y K K K ≤ 3; x K = −  + ≠ x 1 4 + 9x 2

Vậy quỹ tích trung điểm K là đường congXét⇒ = + a −Phương trình hoành độ của (d) và (C) 1 = 0 a ⇔ ⇔ a (a = 1 −⊗ = → − ⇔ 1)x (4 (1 − 2 − + 4m)(4m 4x 2(a x + 0 ) k 2 + = 1)x 2 0 − − ⇒ 4) 2(x + x a = − y = ⇒⊗ 2 + = − + 1 3)k1 kx ' A(0,1)có nghiệm kép   ⇒ x = = − 4 m 0 (1) 0 2a + + x (x kx | | 9x −− (x+ = ∨ − 0 0 x (1) 1 2 0 + − = = m kx + 1) = + 2 = a = 0 0 ⇔ 

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc 4

⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa 1 +1.k 2 4  1 1.k 2  = tan = 1 ⇔   = 1

Gọi M(0,m) ∈ Oy Phương trình qua M có hệ số góc k là y = kx + m (d)

Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là :

Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4

Qua A(a, 4)

Có hệ số góc là k

có dạng: y = k(x − a) + 4Và mọi đường thẳng (T1) và (T2) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng :

Do (T) là tiếp tuyến của đồ thị (C) ⇔ x 2

x − 1 = k(x − a) + 4 có nghiệm kép

⇔ (1 − k)x 2 − (4 − ka − k)x + 4 − ka = 0 có nghiệm kép khác

x 2 + x + 2

x − 1góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thị

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

x 2 − 3x + 2xtuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau

Gọi M(1,m) ∈ x = 1 Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : y = k(x − 1) + m

Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ

Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành

Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : y = k(x − m)

+

1 0 m +

>

0

 m

≠ 0

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

 2Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và  3

 x 1 x 2 = − 3mKhi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì k 1 = 3x 1 + 6x 1 , k 2 = 3x 2 + 6x 2 , k 3 = 0

2 2

1 1

27 3 ,0

 27 

2x 2 − x + 1

x − 1với Ox góc 450 Viết phương trình tiếp tuyến đó

Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 là tiếp tuyến có hệ số góc k = ± 1

2(x − 1)2

x −

 9 

3x

2 − 6x

= k

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2.Gọi A(a,-2) ∈ y = − 2

Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình y = k(x − a) − 2

Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là:

⇔  ⇔ 

5 3



⇔ 

  a ≠ 2

5 3

(m − 1)x + m

x − mđịnh tại 1 điểm cố định khi m: thay đổi

, m ≠ 0 Chứng minh rằng (Cm) tiếp xúc 1 đường thẳng cố

Gọi (x0,y0) là điểm cố định mà (Cm) đi qua khi

y0 =

 a < − 1 ∨ a >

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

 x + y − 1 = 0

 x 0 (y 0 + 1) = 0

∨ 

Điều kiện ∀m ≠ 0 ; x 0 ≠ m nên A(0,1) thỏa bài toán

Vậy A(0,1) là điểm cố định mà (Cm) đi qua

−m 2 −m 2

2 2 = −1 ; ∀m ≠ 0Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là y − y A = y | (0) (x − x A )

3 ∧ a ≠ 2 thỏa bài toán

Cho hàm số y = x 4 − 4x3 + 3 , có đồ thị là (C)

1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thị song song với tiếp tuyến vừa kể Cho biết hoànhđộ tiếp điểm

3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình :

x 4 − 4x3 + 8x + m = 0

1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng y = ax + b (d)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: x 4 − 4x3 + 3 = ax + b

3. x 4 − 4x 3 + 8x + m = 0 ⇔ x 4 − 4x 3 + 3 = 8x − m + 3

Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa (C) : y = x 4 − 4x3 + 3

(d 1 ) ∩ Oy = {0, − 1} , (d) ∩ Oy = {0,3 − m}

(d 2 ) ∩ Oy = {0,8}

(3m + 1)x m − 2 + m

x + m1.Với giá trị nào của m thì giao điểm của đồ thị với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song vớiđường thẳng y = x – 20 Viết phương trình tiếp tuyến ấy

2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định

3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua

1 (Cm) ∩ Ox : (3m + 1)x 0 − m 2 + m = 0 ⇔ x 0 =

m 2 − m 13m + 1 3

mNghiệm phương trình+∞

8-1  〈 = −〈 +  +2 4〈 = 0

   tiếp tuyến : yĐồng nhất thức 2 vếa = − = −88x〈  =  ⇔  − 1 (d 3 − 1 ) b = −1

  hoành độ tiếp điểm :B , 0 , (T 〈 =(x 5 5 1 + − m) 4m 3 ; 2  = ) : y 1(d) : 8x =; m + x 3 ≠ − 2x 0; m −  ⇔  = 3 1 3 m 1⇒ − ≠ − y + ⇔  |0 3 3 = 3 

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

2.Gọi đường thẳng cố định là y = ax + b

Phương trình hoành độ giao điểm :

Những điểm mà (Cm) không qua là A(1,a) ; 2 < a < 10

Cho đường cong y = 3x − 4x3 ; đồ thị (C)

1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3)

2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúngvuông góc nhau

1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x0 là hoành độ tiếp

f ( x 0 ) = 0 thỏa k1.k2 = -1 ⇔ (3 − 12t12 )(3 − 12t 22 ) = −1

2

 0 + t )2 − 2t t t

⇔ 9 −điểm , khi đó ta có :  36 (t1 2 1 1t  +(a − 144t 10a1 22 +3x 9)m = − 0 −⇔ 4x1 Với t + (2 3 2 = −[ k(x(a 3a) − 0 1 2 − 3)(b là 2 nghiệm của f2 1) − + 8(2 − 3ĐKTX :⇔⇔  1) ⇔ 33x −f − (  0 −x 0   3a) b 0 12x − 2a(b ) x a = 0a =  =x = 4x = > 2x 0 0 0 ; k = 0 = 9 −3 0 = 2 ; k k ⇔ ⇔  − 1) k(x =∀ a (2 3 ; y](x = − m > ∨m − − 0 1 ) + ⇔  = 0 = 3a)x a)24 ; y (b 3x a −3(3m < − − − 2 2 0 9a + 1) 12x = − + 22 (*) + = 1)x − 0 0 824x = 3a − k + = m 27 0 2 + m 3

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Gọi (Cm) là đồ thị y = f (x) =

tiếp tuyến đó vuông góc với

x 2 + (1 − 2m)x − m

x −1Giải

Hãy xác định giá trị m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và 2

y ' = f '(x) =

x 2 + 2x + m

2 ; y = x − 2m + m

x + 1 ;(m ≠ 0)(Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : x 2 + (1 − 2m)x − m = 0 (1) có hai

nghiệm

 ⊗ = (1 − 2m) 2 − 4( − m) > 0 2

3 4

Nhận xét :

1) Nếu ko đặt điều kiện m ≠ 0 để tồn tại (Cm) là hàm hữu tỉ hoặc không nói rõ (Cm) cắt Ox có hai

nghiệm khác mẫu số (nghĩa là m ≠ 0 ) thì ắt hẳn ta nhận m=0 làm nghiệm thì kết quả sai.2) Thông thường các em quen dùng Viet cho y' Nhưng yêu cầu bài toán không đề cập y' để

f '( x1 ) f '( x2 ) = −1 trong Viet của phương trình bậc hai

1/ Cho hàm số y = x 4 − 2x3 − 3x 2 + 5 có đồ thị (C) Tìm phương trình tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại hai điểmphân biệt , tính toạ độ tiếp điểm

2/ Chứng minh rằng có 1 tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc (C) : y = x 4 + 4 x3 − 2x 2 + 7 x + 6 tại hai điểm phânbiệt Tìm toạ độ tiếp điểm

3/ Xác định a, b để (d) : y= ax+b tiếp xúc với đường cong (C) : y = x 4 − 6 x3 + x 2 + 26 x + 3 tại hai điểm

phân biệt Tìm toạ độ tiếp điểm

1 Xác định m để (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A, B.

2 Gọi M là giao điểm của (d) và trục Oy Tính theo m toạ độ của điểm N trên (d) thoả mãn hệ thứcuuur uuur

NA MA

NB MB

3 Tìm quỹ tích điểm N khi m thay đổi

1 Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d):

Cho hàm số : y = − x

3 + 3x 2 − 2 ; (C) Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ được một và chỉ một

tiếp tuyến tới đồ thị (C)

Gọi M 0 ( x0 , y0 ) ∈ (C ) → y0 = − x03 + 3x02 − 2 Phương trình đường thẳng (t) qua M có hệ số góc là k có dạng

−

x0 ) +

y0

với y0 = − x03 + 3x0 − 2

⇔ ( x − x0 )  −2x 2 + (3 + x0 ) x + x0 ( x0 − 3)  = 0

 x − x0 = 0 2

− x 0

2góc của tiếp tuyến là k = 3

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

Kết luận : Vậy có tiếp tuyến duy nhất của (C) là : y=3(x -1) với tiếp điểm M 0 (1, 0)

Cho đường cong y = − x3 + 3x + 2 tìm các điểm trên trục hoành sao cho từ đó vẽ được 3 tiếp tuyến vớiđường cong

Gọi M ( x0 , 0) ∈ Ox : Đường thẳng qua M có dạng y = k ( x − x0 ) ;(t)

(t) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm:

Viết phương trình tiếp tuyến chung của y = x 2 − 2x ; y = x3 + 2x − 4

Gọi y= ax+b là tiếp tuyến chung và giả sử x1, x2 là hoành độ tiếp điểm Với y = x 2 − 2x và

y = x3 + 2x − 4 Khi hệ sau có nghiệm

x − 2 Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị hàm số đi qua A (-6,5)

Phương trình đường thẳng qua A (-6,5) có hệ số góc là k : y = k ( x + 6) + 5 , (d)

(d) là tiếp tuyến của đồ thị (C)

k = −1

k = −

 4

1 4

1 7

4 2

4 + mx − 3x 2

4 x + m

vuông góc với tiệm cận

.Với giá trị nào của m thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm có hoành độ x = 0

4

⇒ tiếp tuyến tại x = 0 chỉ vuông góc TCĐ khi m = ±4

x + m − 41/ Định m nguyên để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

2/ Với m= 2 Tìm những điểm trên (H) mà tại đó tiếp tuyến của (H) lập với Ox 1 góc dương135 0 Viếtphương trình tiếp tuyến

ĐS: 1/ M 1 (1, 7), M 2 (2, 7), M 3 (3, 7)

2/ M1 (−3 ± 2 6); M 2 (5 ± 2 2)

x 2 + mx + m

x + 2điểm phân biệt và tiếp tuyến tại 2 điểm đó vuông góc với nhau

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt khi phương trình :

m > 4 Vậy với m< 0 V m > 4 thì đồ thị hàm số cắt trục

hoành tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành

độ x A , x B là nghiệm của phương trình : x 2 + mx + m = 0

Hai tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau ⇔ y ' ( A) y ' ( B ) = − 1

Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 1 có đồ thị là (Cm) Tìm m để đường thẳng (d) : y= -x+1 cắt (Cm) tại 3 điểmphân biệt A (0,1) , B,C sao cho các tiếp tuyến tại B và C của (Cm) vuông góc

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

 x = 0

Ta có : x3 + mx 2 + 1 = − x + 1 ⇔  2

Để (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt thì f(x) = 0

buộc có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ ⊗ ' f = m2 − 4 > 0 ⇔ m< -2 V m > 2

, x

(I )

Ta có hệ số góc tiếp tuyến tại B là : k1 = y ' ( x1 ) = (3x12 + 2mx1)

hệ số góc tiếp tuyến tai C là : k2 = y ' ( x2 ) = (3x2 2 + 2mx2 )

Để 2 tiếp tuyến tại B và C vuông góc thì: k1k2 = −1

⇔ x1x2 9 x1x2 + 6m( x1 + x2 ) + 4m2  = −1; (II )

Từ (I) và (II) ⇒ m2 = 5 ⇒ m = ± 5 thoả m< -2 Vm> 2

Vậy m = ± 5 thoả bài toán

Cho đường cong (Cm) : y = − x3 + mx 2 − m và đường thẳng (d k ) : y= k(x+1)+1 Tìm điều kiện giữa k và m

để (d k ) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt Tìm k để (d k ) cắt (Cm) thành 2 đoạn bằng nhau

(d k ) : y=k(x+ 1)+1 luôn qua A(-1,1) nên (d k ) có điểm chung (Cm) là A Phương trình hoành độ giao

điểm của (d k ) và (Cm) : − x3 + mx 2 − m = k(x+1)+1

 f ( x ) = x + mx + 1 = 0

và x⇔⇔ ( x ⊗ 1 2 g ( x) + là hoành độ của B và C thoả : g 1)  g( − >1) =   = ≠ x − (1 +k < m) x (m + − m 2m + 0 k − + 1 3) = 0  x x1 1 +x2 = x2 1 = m

I , 4 m3  của (Cm) khi đó toạ độ I thoả (d k ) : −m + m3 = k  +

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt

y ' =

x 2 + 2 +x 3 − a

( x + 1)2 ; x ≠ 1 tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác , góc phần tư thứ nhất y=x là đường

thẳng có phương trình : y= -x +m (t) với (t) là tiếp tuyến của(C) khi hệ sau cónghiệm

Gọi M(x0 , y0) là điểm bất kì thuộc mặt phẳng ; x0 ≠ 1

Đường thẳng qua M, có hệ số góc la k dạng : y = k( x – x0) + y0 ; (d)

Phương trình hoành độ của (d) và (C) là:

Điều kiện chung của hệ (1),(2) để có nghiệm x⇔ ≠ −1 là : 

y = -x – 3 ; y = -x + 3 Lần lượt tiếp xúc với (C) tại M 1   ; M 3 3 2  −   , 3 3  − , −

Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +1 ; có đồ thị là (Cm)

1 Chứng minh rằng với mọi m thì (Cm) luôn cắt đồ thị (C) : y = x3 + 2x2 + 7 tại hai điểm phân biệt

A và B Tìm quỹ tích trung điểm I của AB

2 Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0,1); D và E Tìm m để cáctiếp tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau

Vậy quỹ tích trung điểm I là đường cong : y = 4x3 + 4x2 +18x +9

2 Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và y = 1 là :

3 f(x) = (x – 2)2 + 2 x − a ≥ 3, đặt g(x) = (x -2)2 + 2 x − a − 3

ta cần chứng minh f(x) ≥ 3 <=> min g(x) ≥ 0 ; ∀x

* Nếu x – a ≥ 0 <=> x ≥ m ; khiđó g(x) = (x – 2)2 +2(x – a) – 3 có:

+

a +∞

x ≤ a => a ≥ 3 =>min g(x) = 2a – 8 ≥ 0 => a ≥ 4

Vậy a ≤ 0 ∨ a ≥ 4

m ≠Khi đó gọi xD , xE là hoành độ của D,E ta có : 

;0 ≠ m <