SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOPHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT Hướng dẫn chấm có 04 trang I.. Một số chú ý khi chấm bài - Đ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2016-2017
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN-THPT
Hướng dẫn chấm có 04 trang
I Một số chú ý khi chấm bài
- Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách Khi chấm thi giám khảo cần
bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic
- Thí sinh làm bài theo cách khác với đáp mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương
ứng với thang điểm của đáp án
- Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số
II Đáp án – thang điểm
Câu 1 (3,0 điểm) Cho hàm số ( ) 2
1
x
y f x
x
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị H của hàm số đã cho.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị H và đường thẳng : 2 5
2
d y x c) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình f f x( ( )) f x 2 0
3,0
a)
* Tập xác định: D \ 1
* Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
2
3 0, 1
x
Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 1 và 1;
0,25
+ Giới hạn và tiệm cận: xlim y lim y 1, lim y x x 1 , lim yx 1
Đồ thị H có tiệm cận ngang là y , tiệm cận đứng là 1 x 1 0,25 + Bảng biến thiên:
x 1 +
y
y
+ 1
0,25
* Đồ thị:
Đồ thị cắt trục tung tại điểm 0; 2 , cắt trục hoành tại điểm 2;0
y
0,25
2 1
Trang 2x
b) Hoành độ giao điểm của H và đường thẳng 5
: 2
2
d y x là nghiệm của phương trình
2
x
x
x
1
; 1
4
0,25
Diện tích hình phẳng cần tìm là
1
1
4
2
x
x
1 2
1 4
7
3ln 1 2
55 3ln3
c) Điều kiện
1
*
x
x
x
Phương trình đã cho tương đương
2
2 0
1
f x
f x
f x
0,25
5
Câu 2 (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
60 ,
ABC hai mặt phẳng SAC và SBD cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng
SAB và ABCD bằng 30 0
a) Tính thể tích của khối chóp S ABCD theo a
b) Gọi J là điểm thỏa mãn CD 4CJ
và H là hình chiếu của J trên mặt phẳng SAB Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BHJ theo a
2,0
I -1 O
Trang 3a) Gọi O là giao điểm của AC và BD,M I, lần lượt là trung điểm của AB AM Do tam giác,
ABC đều cạnh a nên CM AB OI, AB và 3, 3, 2 3
Vì SAC và SBD cùng vuông góc với ABCD nên SOABCD
Do ABOI ABSI Suy ra SAB , ABCD OI SI, SIO 300 0,25 Xét tam giác vuông SOI ta được 0 3 3
0,25
Suy ra . 1 1 2 3 3 3
b) Giả thiết suy ra , ,J O I thẳng hàng và H thuộc SI
2
2
a
Do đó
S HJ HB S IJ AB Hạ HK IJ HK ABCD
sin 60
8
a
0,25
a
Câu 3 (1,5 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A3; 2; 2 và mặt phẳng
( ) :P x y z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua , A vuông góc với P và cắt
các trục Oy Oz, lần lượt tại M N (khác , O) sao cho OM ON
1,5
Gọi M0; ;0 ,a N0;0;b , trong đó ab 0 Ta có AM ( 3;a2;2), AN ( 3; 2;b2)
0,25
Q có véc tơ pháp tuyến là n Q [AM AN, ] (2 a2b ab b a ;3 ;3 );
P có véc tơ pháp tuyến là n P (1; 1; 1) 0,25
( )P ( )Q n P n Q n n P Q 0 ab a b 0 1
0,25
2
Trang 4Từ 1 và 2 suy ra a b 2 0,25
Câu 4 (1,5 điểm) Cho số thực a 17 Hãy xác định số nghiệm của hệ phương trình sau
log log 1
1,5
Nhận thấy nếu x y là nghiệm của hệ thì ; x1,y1 Đặt log3x t t 0 , suy ra
1
3 ,t 2 t
x y Ta có phương trình
1
Số nghiệm của hệ đã cho bằng số nghiệm dương của phương trình *
Xét hàm số
1
9t 8t
f t a trên 0; Ta có
1
2
8 ln8
9 ln 9t t
f t
t
Trên 0; thì y 8 ln81t và 2
1
y t
là các hàm nghịch biến và chỉ nhận giá trị dương
Vì thế, trên khoảng đó
1
2
8 ln 8t
y
t
là hàm đồng biến
0,25
Hơn nữa, do 1 1 18 ln 9 ln 2 256 ln 27 ln16 0
2
0 0
f t Ta có
0
lim lim
t
0,25
Từ bảng biến thiên suy ra phương trình * có đúng hai nghiệm dương Vậy hệ đã cho có tất cả
