C13 số phức www toantuyensinh com

Như thế, số -z được biểu diễn bởi điểm: Hùng và Dũng chơi trò chơi chọn các số phức đẻ tính tông... C Số kz được biểu diễn bởi điểm N cách M mét dean bang Ikl... 2 Giá trị tuyệt đối ha

Goi M 1a diém biéu dién sé phức z trong mặt phẳng phức Như

thế, số -z được biểu diễn bởi điểm:

Hùng và Dũng chơi trò chơi chọn các số phức đẻ tính tông

Nếu Hùng chọn được số 5 - 4i và Dũng chọn được số 3 + 2i thì tổng

hai số mà họ nhận được là:

288

10.3 Truhaisé iva 7 ta duce ket qua

Ao RNhòông trừ duoc He SE - ý

10.9 Cho hai so phue z va? lan duet duoc lieu dien bai hai vecta u

và 1 day chon eau sai trong các cậu sau

Aru #0 biéu dién cho so phuc z+ z

310 uw! bieudien cho si phucz z

Có 0.” biểu diễn chữ số phúc 2.z

Di Néugsadbithi u = OM voi Mia: b

10.10 Yet cde ket qua sau:

10.12 S6 nao sau day bang s6(2- iN3 + 4i1?

10.32 Nếu z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M thì:

(A) Số kz được biểu diễn bởi điểm N mà ON = kOM, (B) Số kz được biểu diễn bởi điểm N mà ON = kOM

(C) Số kz được biểu diễn bởi điểm N cách M mét dean bang

Ikl

390

(D) Ca ba cau trén déu sai

S6 z= a + bi la mot so thue khi va chi khi:

Số z= a + bị là một số thục hoặc là một số thuần ảo khi và chỉ

Phương trinh (1+ 2i)x = 3x =1 cho ta nghiệm:

Cho z = V172 +30i, z' = V172 - 301 khi đó, z.z' bằng

(A) một số thuần ảo (B) 1072

Xét các câu sau:

(1) Nếu z=Z thì z là một số thực

(2) Giá trị tuyệt đối (hay mô-đun) của một số phức z bằng

khoảng cách OM, với M là điểm biêu diễn của z

[=

WZ

(3) Giá trị tuyệt đối thay mô-đun) của một số phức z bằng só

291

Trong ba câu trên:

(A) Ca ba cau deéu đúng (Bi Chi co i cau dung

(C) Chi co 2 cau dung (D) Ca ba edu déa sa

10.30 Phan thue va phan do cua 86 (2—i)i(3 +i) Lan luot 1é

10.32 Trén mặt phẳng phức, nếu A(1; 2) thì điểm B déi xtng qua

trục tung của A là điểm biêu diễn của số phức:

10.33 Trên mặt phẳng phức, tập hợp các số z= x+ yi sao cho 7° 1a

số thực được biểu điễn bởi:

(A¿ đường có phương trình xy = 0

(B) đường có phương trình x = 0

() dường có phương trình y =0

(D) nửa mặt phẳng bờ là Ox

10.34 Nếu z=x+y¡ và a là số thực thì z”+a” bằng:

(A) (x -ai)(y +ai) (B) (z-al)(z+a:)

10.36 Xét hai khang dinh sau day:

(1) 86 i+(2-4i)-(3—2i) c6 phan thuc bang 1

cua

62) Binh phusng cu ‘eo phan ao bằng

Trong hai khang đính: !

ACa hài đéu dụng cRÍ Cá hài đều sài

còi SỐ phúc z = } cö duy nhất mót căn bậc hai

si Một số thực duang luôn có hai căn bậc hai

L1) Một số thực h < 0 luôn có hai cần bậc hai là V “bi và vh i

So cau sai trong † cau trên la

Sé-phtic z la so thuan ao khỉ và chỉ khi

(C4 ==Z ‘Diz= ki, vdi k la xö nguyên

Căn bậc hai của ( 3) là

Căn bác 1 của 1 lis

Cho số phức z = a + bi Khi đó:

Trong mặt phẳng phức, giả sử số phức a + bi được biéu diét là

(a, b) Cau nao sau day dung ?

10.50

294

(1) (a, b) + (a,b) = (a +a’, b+b’) (2)(a+b)i+(a+b)i=(a+a)+(b+bìI Trong hai khẳng định trên:

(4) Ta có thê viết a + 0i là a ; viết 0 + 1i là ¡

(5) a.i = (a + 01)(0 + 1U = (0 + a1) = ai

Trong các câu trên, số câu đúng là

(C)3 (Da

1051 Xét các câu sau:

(1) (a) + (bi) = (a + 01) (0+ b0 =a - bị (2) Vila + bil+((-a) +t bi) = 0 + 0i, nên ta nói

La) +(-b)i là số phúc liên hiệp của số a + bí

(3) Số đối của số ta + bị! là số (a + bil

(4) S6 déi của số bì là (bùi = — bí

Trong các câu trên, số câu đúng là

1052, Xét các câu sau:

(1) (a + bị) - (e + đi) = ta + bì) + (=c +(=đ)Đ) (23Ifa + bi! - (c+ dD =t(a =cl+(b- đìi

(3)a+(-bii=a-— bi

Số câu sai trong 3 câu trên là:

1053 So phuic lién hiép cua a + bi là

1054 Goi P 1a diém biéu dién cia sé phic a + bi trong mat phang

phic (còn gọi là mặt phẳng Gauss), khi đó, khoảng cách OP băng

(A) môdun của a + bi (Bi va -b

1055 Goi P là điểm biếu diễn của só phức a + bị trong mặt phẳng

phức Hãy xét các câu sau:

(1) môđun của a + bị là bình phương khoảng cách OP

(3) Nếu P là biểu diễn của số 3 + 1i thì khoảng cách từ O đến P

bằng 7

Trong hai câu trên:

(A) Chi c6 (1) dung (B) Chi co (2) dung

(C) Cả hai đều đúng (D) Ca hai déu sai

295

Trong hai cau trén:

(A) Ca hai déu dung (B) Ca hai déu sai

10.59 Xet cac cau:

(1) Cho z = a + bi Néu b = 0, số phức có dang z = ø la só thực,

néu a = 0, số phức bị được gọi là số thuần ảo

(2) Trong tập các số phức, tính chất của đơn vị ảo ¡ đã: trưng

bởi biểu thức i*= -1

296

63) Mor so phuc ¢ deu dace teu dien duoi dang z= a + ba,

trong đó ð, b là các số thúc tủy Ý Thing hiển điện này được gói là đang

da số của số phúc Z

cị: Với cách biếu điên dựa đụng đại số, phep công và nhàn các

sở phúc đúaec thục hien nhú phép công và nhàn cac nhì thúc bắc nhất

với lui viễng = Ì

a: ly oy

La = bi He 4 UL io gi hee da

ta cbaiee + dt ctacc- bịdi+ he + ad

Trong ä câu trên, số câu dung la

10.60 So phue z va so phúc liên họp 7 cua z thoa man:

(1) Tich cua z va Z là mốt số thuận áo

còi Tổng của z và Z là số phúc liên hiệp của số z + 7

Treng hai tinh chat duoe phat bieu tt) va 02) thi

(AiChi co! 1i dung tBì Chỉ có (2) đúng

(C4 hai deu dung (Di Ca hai déu sai

10.61 Cho hai so phuc 4.4, lần lượt được biểu diễn bởi hai điểm M

va N tren mat phẳng phúc Khi đó, (2, 2z,

(Alla so bang médun cia OM+ON

(Bilaso bang modun cua MN

(Cola se khong phu thuoe vao M,N (Di bang madun cua OM +ON

10.62 Trén mit phang phic tap hop cac sé 7=x+y¥i sao cho 7 la

số thực được biêu diễn bởi:

(A) duong co phuong trinh xy = 0

(CB) đường có phuống trình x = 0

CƠ) đường có phương trinh y = 0

(D) ntia mat phang bé la Ox

297

Nếu z=x+yi và a là số thực thì z”+a” bằng:

(A) (x-ai)(y +al) (B) (z—ai)(z + ai) (C) (y -ai)(y + ai) (D) (xt+y)(z-i)

Dem sé 5 + 2i chia cho số 2+¡ thì ta được số:

(1) Số ¡+(2-4i)—(3—2i) có phân thực bằng 1

(2) Bình phương của số x2 +3i có phan ảo bằng ~7

Trong hai khẳng định trên:

(A) Cả hai đều đúng (B) Cả hai đều sai

(3) Tén tai mét sé thuc không có căn bậc hai

Số câu sai trong 3 câu trên là:

Số phức z là số thuần ảo khi và chỉ khi

(C) z=-Z (D)z = ki, với k la sé nguysn

Cho phương trình bậc hai ax” +bx +c =0 Khi đó:

{A) Hai nghiệm của phương trình là

(B) Phuong trinh chi co nghiem khi A> 0

(C) Phuong trình luôn luôn có hài nghiệm

u

(D)z=3-i,w=-1+4+ 2i,z2+ we -243i

1071 Xét cdc khang dinh sau:

(1) Với hai số phức z, z, tuy y, ta c6 | z,.2,[ =]z, |] 2, |"

Trong hai khẳng định trên:

(A) Chi co (1) dung j (B) Chi c6 (2) dun,

10.72 Những căn bậc hai cua -5+12i la: ,

(C) -V5 + V12i v5 + Vi2i (D) ~¥5 + 123i WS - VTi

10.73 Xét các câu sau: `

(1) -2(cosa +isina) là dạng lượng giác của một số p¬ức tảo

đó

(2 Số J2 cos +isin = | là dạng lượng giác của số phưc 1 + i

(8) Số 3 có dạng lượng giác là ~2(cos7r + Ìsỉn x)

Số câu đng trong ba câu trên là:

10.76 Chon cau dung:

CÁ: Dang lượng giác của số —teost+isinơ) là chính SỐ

~(CosΠ+IsII0)}

(B¡ Daàng lượng giác của số =(cosz +isinœ) là số

—€0sữ ~Isind

(C5 8ỏ, - (cosœ +isinœ) không có dạng lượng giác

tD) Cá ba câu trên đều sai

300

Prong har khang dainty oa

CC hat deu ding tì: Ca hai đều sài

(Ci fr] eos) = oe | Psi | = 5 ~ là cần bac hai duy nhat

(Di hai can bac hai la

0s” #isin | va ar|:cosl —+m|+isin| —+m |Ì-

Ki hiệu z là số phúc liên hiệp của so phue z

Xót cac phát biêu sau:

(LEZ, Fxy =Sã(sữ

(2) 2) 4 +s

t3) Z2z= Vai +b? vdiz=a+ bi

(A) Chi có hai phát biểu “lì và (21 là đúng,

(B) Chi co hai phát bieu (1! và 23! là dung

iC) Chi co mot phát biểu dung trong 3 phát biêu trên

(In Khong có phát bieu nào dung trong 3 phat biéu trên

1081 Médun cua z= at bi, ki hieu fz! la:

301

10.82 C6 thé biéu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ bằng

điểm Mụa, b), góc @ giữa chiều dương của trục Ox và vectơd C\M được

(Ai ‘én hiệp của số phức z, kí hiệu là z

(B) Argument cua sé phiic z, kí hiệu la arg(z)

(C) góc của só phức z, kí hiệu là ang(z)

(D) góc quay của số phức z, kí hiệu là Q(z)

10.83 Xét một vài tính chất của môdun và Argument:

(1)|z|=lZ| (2) |2,.2, |=|2Z,|.12, | (3) |z" |=|z|" (4) arg(z,.22) = arg(z,) + arg(z,)

(1) arg] 21 | = z,} arg(z,) 2%) (2) arg(z") =(arg(z))

Trong hai phat biéu trén:

(A) Chỉ có (1) đúng (B) Chí có (2) đúng

(C) Cả hai đều đúng (D) Cả hai đều sai

10.85 Số phức z = a + bi có thể viết dưới dang z=r(cosp+ising),

Trong hai cong thức trên:

(A) Cả hai deu đúng (B) Cả hai đều s¿i.

C) Chi co (1) dung (D) Chi co (2) dung

10.87 Cho số phức dưới dạng luống gidc 7 =rcos@+ising) Luay

thùa từ nhiên của số phúc này (công thức Moirve) có dang:

(A) 2" =r"(cos(p") + ising’)

(B)w,= Ur(cos? +isin’), với k=1,2, n+ 1

(C) wy, = (C0SV, +isinwy,), vai

10.89 Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1 Chọn câu gai:

(A) Trong tập số phức, mỗi phương trình đại số bậc n đều có đúng r nghiệm

(B) Phuong trinh x" = 1 luôn có n nghiệm trong tập số thực

(C) Căn bậcn của số phức khác 0 bat kì đều có n giá trị

(D) Trong tập số phức, số 1 có hai căn bậc hai là 1 và -1

303,

B BAP AN VA HUGNG DAN

10.1 Chon iC) (441) +(5-71) =8-6i

10.9 Chon (C) u.u’ là dai lượng vô hướng (tức là một so) nen

không thể biểu diễn cho số phúc z.z'

10.30 Shon (D! Ta có

(2- DIG +i) = (1-17 )B4i) = (14 WGBsi) =3-24 Ti =14 71

10.31 Shon (Bi Viz = 2i+ 3234 2inén 7 =3-2i,suyra

: = ova tính được “š et

10.32 Shon (C)

10.33 Thon (A) Ta co 7) =(x+yi) 2x0 -y° +2xyi Nhu thé, 2? là

so thuckhi va chi khi xy = 0

305

(Baal =-7+6ơ2i đờ phan ao bing 6V2

Chon (C) Gia si x + yi la mot can bac hai cua i, ta co

Cõc cóu cún lại nởn sửa như sau:

(1) Số phỷe z = 0 cụ đỷng một căn bậc hai lỏ ễ

(9) Số phức z = 1 cụ hai căn bõc hai

t4) Một số thực b < 0 luừn cụ hai căn bậc hai lỏ

v=bi vỏ -V-bi

Chọn (C) (A) hiển nhiởn sai (B) vỏ (D) cụ phản đõc khong

đỷng (C: đỷng, thật vậy: z lỏ số thuần ảo khi vỏ chỉ khi phan thuc

Chon (A) Ta phai viờt dung:

(a+bi)+tat bis ='a+a+(b+b i

10.50 Chon (Di Cau‘ ti sai

10.51 Chon) Bi Cau tli va cau 221 sài, Ta phải có:

£1itai+ CD = ta +1 + (0 + bil =a + bi c2) Vị(a + bị + are bis= 0 + 01, nén ta noi

(-a)+( bội là số đổi cia sé a + bi

10,52 Chon (A) Khong co cau sar

10.53 Chon (B) So phue lien hiep cua a + bi laa +(-bii=a_ bi

10.54, Chon (A)

10.55 Chon (D) Phai sua lai

(1) médun cua a + bi la khoang cach OP

(2) Néu P la biểu điển của số 3 + 4i thi khoang cach ti O dén P

bang 134 dil =5

10.56 Chon (C) Ta có (2) sai, vì phải viết:

10.59 Chon (A) Câu (2) sai, nên chí có 4 câu đúng Phải viết lại:

ti Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng

biéu dién cho Z, —Z,, én |Z, —'7, | bang moédun cua MN

10.62 Chọn (A) Ta có z` =(x +yi} =xÌ=y +2xyi Như thế, 7? la

số thực khi và chỉ khi xy = 0

10.63 Chon (B) Ta co z? +a? =z’ —(ai)’ = (z—ai)(z+ai).

3i (S#2i(2-i)_10-SiF 41-2 13-i

10.65 Chon (B) Cả hai đều sai vì:

10.69 Chon (D)

10.70 Chon (C)

10.71 Chọn (A) Ta có (1) đúng, thật vậy, giả sử

Zz, =a, +b,i, Zz) =a, +b,i

Khi do z,.z, =(a,a, —b,b,) + (a,b, +b,a,)i, nén:

|Z,.Z, |= (aja, —b\b, + (a,b, + ba)’

Suy ra |z,.z, = (a,a, —b,b,)° + (a,b, +b,a,)° Khai trién va thu gon vé

phải ta được |z,.z; Í= (a, + b,) (a; +b„)°= |Zz¡ |z; Ï

Vậy (1) đúng Tuy nhiên, phải thêm điều kiện z,z0 thì

khẳng định (2) mới đúng Để chứng minh (2) đúng (trong điêu kiện

10.72 Chọn (B) Giả sử x + y¡ là một căn bậc hai của -5 +l2i, ta có

(x+yi) =-5+12i, hay

10.73 Chon Br Cau C2¡ đụng, nhúng (1) va (3) sai, vi theo dinh

nghia dang lucng giae cua mot so phuc phai cor > 0

10.74 Chon Av 1-31 c6 médun bang vl+3=2 va Argument la

Ù „ 5

góc @ sao cho cos@ = 3: S10 = li |: š „ta chọn tp =—— 14

ta

10.75 Chon 1 Ci Ta coz = cosa +isinu —a+hbi, trong do a=cosa

besinu nen Iz! = Vsin° a+cos’ a =]

10.76, Chon (D) Ca ba cau (A7, (B), (C) deu sai That vay, muốn viết

SỐ -(cosử +1sinơœ) dudi dạng lượng giác, ta phải viết:

cos( + 1) +isin(ie+ 1)

11/86 phuc cosu—isinu co dang luong gidc 1a

](cosa -isinu)

(2) (cosa@tisina)’ =cosa’ +isina’

10.77 Chon (D) Ca hai déu sai That vay:

L1) Số phức cosơ —isinơ có dạng lượng giác là

cos(-a@) + isin(-«)

(2) (cosatisina) =cos3a+isin3e

10.78 Chon (C) Ta co thé khai trién truc tiếp (I+i)`, hoặc đưa vẻ

dang lượng giác rồi dùng công thức Moivre:

Q) zz=a +b?

w, = Vr(cosy, +ISINN, ), VỚI wy = 2 ; «= 0, tao

10.89 Chọn (B) Câu (B) sai, vi chẳng hạn, phương trình x” = 1 chỉ có

nghiệm duy-nhất trong tập số thực là 1

Chú ý: Học sinh dễ làm rằng câu (D) sai Trong tập số thực,

số 1 có hai căn bậc hai là 1 và -1 Vì tập số thực là tập con của tập số

phức nên phát biểu (D) là đúng

310