HÌNH HỌC HỌA HÌNH BÀI 1 - ĐIỂM

I – Đồ thức của một điểm 1– Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a Xây dựng đồ thức - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П1 vàП2.. b Các định nghĩa và tính chất- Mặt phẳng П

Bài 1 Điểm

I – Đồ thức của một điểm

1– Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a) Xây dựng đồ thức

- Trong không gian lấy hai mặt phẳng

vuông góc nhau П1 vàП2

- Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng

- Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang

- Gọi x là giao điểm của П1 vàП2

(x = П1∩П2 )

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng

П1vàП2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng

П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2

trùng vớiП1 Ta nhận được đồ thức của điểm

A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

A

A1

A2

Ax x

A

A1

Π1

Π1

Π2

A2

Π2

b) Các định nghĩa và tính chất

- Mặt phẳng П1: mặt phẳng hình chiếu đứng

- Mặt phẳng П2: mặt phẳng hình chiếu bằng

- Đường thẳng x : trục hình chiếu

- A1: hình chiếu đứng của điểm A

- A2: hình chiếu bằng của điểm A

- Gọi Ax là giao của trục x và mặt phẳng

(AA1A2)

- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một

đường thẳng vuông góc với trục x gọi là

đường dóng thẳng đứng.

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

A

A1

A2

Ax x

A

A1

Π1

Π1

Π2

A2

Π2

* Độ cao của một điểm

- Ta có: gọi là độ cao của

điểm A

- Quy ước:

+ Độ cao dương : khi điểm A nằm

phía trên П2

+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía

dưới П2.

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x

+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

A

A1

A2

Ax x

A

A1

Π1

Π1

Π2

A2

Π2

A A A

Ax 1= 2

* Độ xa của một điểm

- Ta có: gọi là độ xa của điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa dương : khi điểm A nằm

phía trước П1

+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía

sau П1

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian có đồ

thức là một cặp hình chiếu A 1 , A 2 Ngược lại

cho đồ thức A 1 A 2 , ta có thể xây dựng lại

điểm A duy nhất trong không gian Như vậy

đồ thức của một điểm A có tính phản

điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

A2

Π2

A A A

a)

A

A1

A2

Ax x

Π1

Π2

b)

A1

2– Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

a) Xây dựng đồ thức

- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng

П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi một

+ Gọi x là giao điểm của П1 vàП2 (y = П1∩П2)

+ Gọi y là giao điểm của П2 vàП3 (y = П2∩П3)

+ Gọi z là giao điểm của П1 vàП3 (z = П1∩П3)

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng П1,П2

vàП3 ta nhận được các hình chiếu A1 , A2 và A3

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng П2

quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3 quanh

trục z theo chiều quay được chỉ ra trên Hình 1.2.a

cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng với П1 Ta

nhận được đồ thức của điểm A trong hệ hai mặt

phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)

Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)

A

A1

A2

a)

A2

Π2

A1

Ax

A3

A2

Ay

Az

Π1

Π3

z

y

Π2

A3 z

y

y O

Az

Ay

Ay O

b) Các định nghĩa và tính chất

Bổ xung thêm các định nghĩa

và tính chất sau:

- Mặt phẳng П 3 : mặt phẳng hình chiếu cạnh

- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu

- A 3 : hình chiếu cạnh của điểm A

- Gọi

- Trên đồ thức:

+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường

thẳng vuông góc với trục x gọi là đường

dóng thẳng đứng

+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường

thẳng song song với trục x gọi là đường

dóng nằm ngang.

Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba

b)

A

A1

A2

a)

A2

Π2

A1

Ax

A3

A2

Ay

Az

Π1

Π3

z

y

Π2

A3 z

y

y O

Az

Ay

Ay

O

) AA (A z

Az

) AA (A y

Ay

) AA (A x

Ax

3 1

3 2

2 1

∩

=

∩

=

∩

=

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)

* Độ xa cạnh của một điểm

- Ta có:

gọi là độ xa cạnh của điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm

phía bên trái П3

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm

phía bên phải П3

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên

phải trục z

+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái

trục z

Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)

A

A1

A2

a)

A2

Π2

x

A

A1

Ax

A3

Ay

Az

Π1

Π3

z

y

Π2

A3 z

y

y O

Az

Ay

Ay

O

A A OA

A A A

Az 1 = y 2 = x = 3

A2

II – Cách chuyển từ tọa độ Đề các sang đồ thức

Hình 1.3a,b Chuyển từ tọa độ Decac sang đồ thức

b)

A

A2 x

Π2

z(+)

y(+)

y(+) O

Az

Ay

A1

A2

A3

O

y

a)

A1

- Trên đồ thức chiều dương trục x,y,z được xác định như hình vẽ 1.3b.

- Chọn trục hình chiếu x,y,z lần lượt tương ứng với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Các

Ví dụ: Chuyển từ tọa độ Đề các vuông góc sang đồ thức điểm A(3,4,5)

4

5

3

3

4 5

A

III – Một số định nghĩa khác

1– Góc phần tư

- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn

phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư.

+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất (I)

+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai (II)

+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba (III)

+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Hình 1.4 Góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π 1

Π 2 ( I )

( IV ) ( III )

( II )

x

A2

A1

Π 2

Π 1

Hình 1.5 Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

B2

B1

C1

C2

D2

D1

2 – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành

các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I (Pg1)

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành

các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)

Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng phân giác II, A thuộc góc

phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

Hình 1.6 Mặt phẳng phân giác I và II

A2

Π 1

Π 2

( I )

( IV ) ( III )

( II )

x

A2

A1

Π 2

Π 1

Hình 1.7 Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)

(Pg1)

(Pg2)

B1

B2

C1

=D2

D1

=C2

x

Ax Bx Cx Dx

IV- Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu cạnh của điểm đó trên đồ thức.

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

x(+) Ax

A2

A3 z(+)

y(+)

O

Az

Ay

Ay

Δ’

y(+)

x(+) Bx

B2

B3

z(+)

y(+)

O

Bz

By

By

Δ’

x(+) Cx

C1

C3

z(+)

y(+)

O

Cz

Cy

Cy

C2

Δ

Δ’

x(+) Dx

D2

D3 z(+)

y(+)

O

Dz

Dy

Dy

Δ’

y(+)

x(+) Ex

=E2

E3

z(+)

y(+)

O

Ez=Ey

E1

Δ Δ’

a)

d)

c)

e)

b)

y(+) y(+)

y(+)

By

Ey