cơ học kỹ thuật tập 2 Đỗ Sanh

Nói theo cách khác, động lực học nghiên cứu mối quan hệ nhân — quả giữa các nguyên nhân gây nên chuyển động và các đặc trưng biểu hiện chuyển Trong cơ học lý thuyết, vật thể được mô tả d

TRUONG CAO DANG ,

CONG NGHE VA KINH TE

BAO LOC

_ NHA XUAT BAN GIAO DỤC

Chuong 1

CÁC KHÁI NIỆM VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT

CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

Động lực học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm nghiên cứu các

quy luật chuyển động cơ học của các vật thể dưới tác dụng của lực Như

đã biết, tính học chỉ nghiên cứu các quy luật cân bằng của vật rấn dưới tác dụng của các lực, còn động lực học nghiên cứu chuyển động của các

vật thể một cách toàn điện nhằm thiết lập các mối quan hé cé tinh chat quy luật giữa hai loại đại lượng : các đại lượng đặc trưng cho tác dụng

của lực và các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của vật thể Nói theo

cách khác, động lực học nghiên cứu mối quan hệ nhân — quả giữa các

nguyên nhân gây nên chuyển động và các đặc trưng biểu hiện chuyển

Trong cơ học lý thuyết, vật thể được mô tả dưới các đạng sau :

Chất điểm : cồn được gọi là vật điểm, là một điểm hình học có các

thuộc tính vật lý (cơ học); đó là quán tính và tương tác cơ học Chất điểm

là mô hình của các vật thể mà kích thước của nó có thể bỏ qua được do

nhỏ so với các vật thể khác hoặc không đóng vai trò gì trong quá trình

khảo sát chuyển động, ví dụ khi xác định tầm xa của viên đạn hoặc khi khảo sát chuyển động của các vật tịnh tiến có thể xem chúng là chất điểm

Cơ hệ : là tập hợp hữu han hoặc vô hạn các chất điểm trong đó

chuyển động của một chất điểm bất kỳ phụ thuộc vào chuyển động của

các chất điểm còn lại, nghĩa là chuyển động của các chất điểm phụ thuộc

vào nhau Nói khác đi, giữa các chất điểm của cơ hệ tồn tại các tương tác

cơ học Tùy thuộc vào bản chất của tương tác cơ học giữa các chất điểm,

cơ hệ được phân thành cơ hệ tự do và cơ hệ không tự do

Cơ hệ tự do là tập hợp các chất điểm mà mối tương tác cơ học giữa

chúng được biểu hiện thuần tuý qua lực tác đụng Nói khác di, cơ hệ tự do

là tập hợp các chất điểm tự do, tức là chất điểm mà đi chuyển của nó (di

chuyển vô cùng bé) từ.vị trí đang xét theo bất kỳ phương nào cũng không

bị cản trở Thái dương hệ là một thí dụ về cơ hệ tự do

Cơ hệ không tự do còn được gọi là cơ hệ chịu liên kết, là tập hợp các

chất điểm mà trong chuyển động của chúng, ngoài lực tác dụng, vị trí và

vận tốc của các chất điểm bị ràng buộc bởi một số điều kiện hình học và

động học cho trước được gọi là những liên kết Cơ cấu máy là một thí dụ

về cơ hệ không tự do

Vật rắn tuyệt đối : là một cơ hệ gồm vò số các chất điểm mà khoảng

cách giữa hai chất điểm bất kỳ của nó không đổi trong suốt thời gian

chuyển động Trong thực tế, các vật mà biến đạng của nó có thể bổ qua

ˆ đo bế hoạc đo không đóng vai trò quan trọng trong quá trình khảo sát

chuyển động, được xem là vật rắn tuyệt đối, thường được gọi tất là

1.1.2 Luc

Khái niệm lực đã được định nghĩa trong tinh hoc Dé la tac dung

tương hỗ cơ học giữa các vật thể Như đã biết, các đặc trưng của lực là

đường tác dụng, điểm đặt và cường độ của lực Lực được biểu diễn nhờ

vectơ lực Trong tính học chỉ liên quan với các lực hằng, trong động lực

học, lực nói chung là đại lượng biến đổi (biến đổi cả về độ lớn và Hướng)

Lực biến đổi có thể phụ thuộc vào thời gian, vị trí và vận tốc của chất

điểm và có thể phụ thuộc đồng thời vào các đại lượng đó Trong trường

hợp tổng quát, biểu thức của lực có dạng :

Các lực tác dụng lên cơ hệ có thể phân thành ngoại lực và nội lực Ngoại lực được ký hiệu Fe, là lực do các vật thể bên ngoài cơ hệ tác dụng lên các chất điểm thuộc cơ hệ Nội lực, được ký hiệu Fi, là lực do các ˆ chất điểm thuộc cơ hệ tác dụng lên lẫn nhau Các lực tác dụng lên cơ hệ

cũng có thể được phân thành lực hoạt động và lực liên kết Lực liên kết được ký hiệu R , là lực do các liên kết tác dụng lên các chất điểm của cơ

hệ Các lực không phải là lực liên kết, được gọi là lực hoạt động (còn

được gọi là lực đặt vào) và được ký hiệu E

Việc phân loại lực theo cách nào sẽ tùy thuộc vào phương pháp được

dùng để khảo sát cơ hệ

1.1.3 Hệ quy chiếu quán tính

Muốn khảo sát chuyến động của các vật thể trước hết phải chọn hệ

quy chiếu Cũng như tĩnh học, trong động lực học, hệ quy chiếu được chọn là hệ quy chiếu quán tính, đó là hệ quy chiếu mà trong đó định luật ' quán tính của Galilê được nghiệm đúng Vật lý hiện đại đã chứng minh

rằng, không có hệ quy chiếu quán tính Trong thực tế, tùy thuộc yêu cầu

về độ chính xác của bài toán khảo sát, người ta chọn các hệ quy chiếu quán tính gần đúng Trong thiên văn, hệ quy chiếu quán tính được chọn là

hệ trục toa độ có gốc ở tâm Mặt Trời và ba trục hướng đến ba ngôi sao cố

định Trong kỹ thuật, hệ quy chiếu quán tính được chọn thường là Trái

Đất Hệ quy chiếu được tượng trưng bởi hệ trục toạ độ gắn liền với hệ quy

chiếu (Trái Đất)

1.2 HỆ CÁC ĐỊNH LUẬT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC

1.2.1 Định luật thứ nhất (định luật quán tính)

Chất điểm không chịu tác dụng của lực nào sẽ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều

Trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính của nó :

Nhu vay theo định luật này, nếu không có lực tác dụng lên chất điểm

(chất điểm như vậy được gọi là chất điểm cô lập) thì có trạng thái

quán tính Nói khác đi, chất điểm cô lập sẽ bảo toàn trạng thái quán tính của mình cho đến khi chưa có lực tác dụng buộc nó thay đổi trạng thái

chuyển động Bằng cách như vậy định luật quán tính không những cho

một tiêu chuẩn về hệ quy chiếu quán tính mà còn phát hiện và khẳng định lực là nguyên nhân duy nhất làm biến đổi trạng thái chuyển động của chất điểm Đo đó, định luật quán tính là một trong những phát minh vi dai

nhất của con người

1.2.2 Định luật thứ hai (Định luật cơ bản của động

lực học)

Trong hệ quy chiếu quán tính, dưới tác dụng của lực, chất diểm chuyển động với gia tốc có càng hướng với lực và có giá trị tỷ lệ với cường độ của lực (H.1—L)

Như vậy định luật thứ hai được biểu thị bằng hệ thức :

Trong đó hệ số tỷ lệ m có giá trị Không

đổi, là số đo quán tính của chất điểm, được

gọi là khối lượng của chất điểm Định luật

thứ hai thiết lập mối quan hệ giữa lực tác

dụng và gia tốc mà chất điểm thu được dưới

Từ (1~2) khi F =0tacó a =Ôtức v= hằng vectơ (bao gồm cả

trường hợp v= 0), tức chất điểm cô lập sẽ có trạng thái quán tính Tuy

nhiên từ đó không thể nói rằng, định luật thứ nhất là hệ quả của định luật

thứ hai, bởi vì như trên đã nêu, định luật thứ nhất cho một tiêu chuẩn về

hệ quy chiếu quán tính mà trong đó định luật thứ hai được thiết lập

Khi viết (1-2) cho chất điểm rơi tự do trong trọng trường, ta có :

Công thức (1-3) thiết lập mối quan hệ giữa trọng lượng và khối

lượng của chất điểm

1.2.3 Định luật thứ ba (Định luật tác dung va phan

Dưới tác dụng đồng thời của một số lực, chất điểm có gia tốc bằng

tổng hình học các gia tốc mà chất điển có được khi mỗi lực tác dụng riêng biệt

Giả sử chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng của các

lựcFi,Ea, Fn Theo định luật thứ tư và áp dụng định luật thứ hai, chất

điểm chuyển động với gia tốc a được tính theo công thức :

Do dé:

ma = 5 Fk (1-5)

Điều đó có nghĩa là dưới tác dụng của các lực Fi,F2, ,Fn chat diém

sẽ chuyển động với gia tốc thoả mãn định luật thứ hai, trong đó lực tác

dụng lên chất điểm là hợp lực của hệ lực Ei,Ea, ,Fa Nói khác đi, trong

động lực học chất điểm cho phép sử dụng guy tắc hình bình hành lực đã

Định luật thứ năm cho phép áp dụng bốn định luật nêu trên, chúng

được phát biểu đối với chất điểm tự do, cho động lực học chất điểm

không tự đọ

1.3 HAI BAL TOAN CO BAN CUA DONG LYC HOC

Động lực học nhằm giải quyết hai bài toán cơ bản sau :

Bài toán thứ nhất:

Cho biết chuyển động của vật thể, hãy xác định lực đã gây ra chuyển

động đó

$Bài toán thứ hai:

Cho biết các lực tác dụng lên vật thể và những điều kiện đầu của

chuyển động, hãy xác định chuyển động của vật thể đó

là s ` :

Để tìm đơn vị tính tương ứng của đại lượng dẫn xuất lực, ta sử đụng

phương trình cơ bản của động lực học

V6i'm = Ikg ; a = 1m/s’ thi F = lkg 1m/s’ = 1kgm/s*, duge goi 1a

Niuton, ký hiệu N Vậy :

_ Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA

CHUYỂN ĐỘNG

2.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM

2.1.1 Phương trình vi phân chuuển động của chất điểm

Khảo sát chuyển động của chất điểm có khối lượng m chịu tác dụng

của lực F (trong trường hợp chất điểm tự do, chịu tác dụng của nhiều lực thì F là hợp lực của những lực đó, còn trong trường hợp chất điểm không

tự đo thì Flà hợp lực của lực hoạt động và lực liên kết)

Chọn một hệ quy chiếu quán tính Trong hệ quy chiếu này, chất điểm

sẽ chuyển động với gia tốc a, được xác định dựa vào định luật thứ hai (phương trình cơ bản của động lực học):

ma = F Goi T 1a vecto định vị của chất điểm trong hệ quy chiếu đã chọn Như đã biết từ phần động học : -

a=r

Do đó, phương trình cơ bản của động lực học chất điểm có thể viết

dưới dạng:

Phương trình (2-1) được gọi là phương trình vi phân chuyển động

của chất điểm trong dạng vectơ

2.1.2 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ Đề Các

Chọn hệ trục toạ độ Đề các Oxyz gắn vào hệ quy chiếu quán tính Khi chiếu hai vế của đẳng thức vectơ (2—L) lên các trục toạ độ, ta được :

mš = F,(t,x,y,z,X,Y,2)

my = F,(t,x,y,z,%,¥,Z) (2-2)

mz = F,(t,X,y.Z,%, 9.2)

Hé phuong trinh (2-2) duge goi là phương trình vi phân chuyển động

của chất điểm trong hệ toạ độ Đề các

Khi chất điểm chuyển động trong mặt phẳng hoặc dọc theo đường thẳng thì số phương trình giảm xuống còn tương ứng hai hoặc một

2.1.3 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

Khi chiếu hai vế của đẳng thức

vectơ (2—1) lên các trục toạ độ tự nhiên

(H.2-1) và dựa vào kết quả trong phần

Trong đó s và v tương ứng là toạ độ cong và giá trị của vận tốc v

của chất điểm ; p là bán kính cong của quỹ đạo, còn F;, F„, Fy lần lượt là các hình chiếu của lực F lên các trục tiếp tuyến, pháp tuyến chính và trùng pháp tuyến

11

Hệ phương trình (2-3) được gọi là các phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toa độ tự nhiên Các phương trình trên áp dụng thuận lợi khi biết quỹ đạo của chất điểm, đặc biệt đối với các bài toán của động lực học chất điểm không tự do

2.1.4 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm

trong hệ toạ độ cực

Khảo sát chất điểm chuyển động trong mặt phẳng

Khi chiếu hai vế của đẳng thức vectơ (2—1) lên trục hướng theo bán kính vectơ r và lên trục hướng vuông góc với vec†Ơơ I về hướng tăng của

góc œ và sử dụng các công thức tính gia tốc của chất điểm trong phần động học, ta có :

m(ð — po”) = Fp

Đó là phương trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ

độ cực, nó thường dùng để khảo sát chuyển động của chất điểm trong mặt phẳng

2.1.5 Bài toán thứ nhất của động lực học chất điểm

Bài toán Cho biết chuyển động của chất điểm, hãy xác định lực tác dụng lên chất điểm Trong trường hợp gia tốc của chất điểm đã cho, để

“giải bài toán, ta áp dụng trực tiếp phương trình cơ bản của động lực học

Nếu chuyển động được cho, không phải trực tiếp qua gia tốc mà qua quy

luật chuyển động của chất điểm thì đầu tiên phải tìm gia tốc của chất

điểm nhờ các công thức đã thiết lập ở phần động học, sau đó áp dụng phương trình cơ bản của động lực học

Ví du 2-1

Kéo một vật nặng có trọng lượng P đi lên nhanh dân với gia tỐc a (H.2-2) Hãy xác định sức căng của dây cáp

Bai giai

Khao sat vat nang, vat duoc xem như chất điểm Lực tác dụng vào vật nặng gồm lực P hướng xuống và lực kéo của dây cáp hướng lên Viết phương trình cơ bản của động lực học chất điểm : -

PẠ-T+P

Ề Khi chiếu hai vế của phương trình này lên

Từ đó :

nhanh dần thì gia tốc a sé hướng xuống và sức

căng trong dây cáp sẽ bằng :

Tìm áp lực của ô tô lên cầu tại đỉnh A, cho biết ô tô có trọng lượng P

và tại đỉnh A có vận tốc v Bán kính cong của cầu tại A là p (H.2-3)

Khảo sát chuyển động của ôtô, nó được xem như chất điểm

Các lực tác dụng lên ôtô gồm trọng lực P, các phản lực pháp tuyến

N và tiếp tuyến T (Áp lực của ôtô lên cầu có cùng độ lớn nhưng hướng

ngược chiều với phản lực pháp tuyến N )

Viết phương trình cơ bản của động lực học chất điểm (ô tô) ta được :

13

PT=P+N+T

Khi chiếu hai vế của đẳng thức

vecto nay lên trục pháp tuyến chính,

Một sàng vật liệu hạt dao động điều hoà thẳng đứng với biên độ

A = 5cm Hãy xác định tần số dao động của sàng để hạt được bật lên khỏi mặt sàng

Vì hạt nằm trên sàng nên hạt có gia tốc bằng gia tốc của sàng

Phương trình chuyển động của sàng có dạng :

x = Asin(wt + a) trong đó A là biên độ, œ là góc pha ban đầu, œ là tần số dao động

14

Do dé: a= X= -Ao’sin(at +a)

Vay phan lực của sàng tác dụng lên hại bằng :

2 N= Pl - AP singot + 0)

Khi hạt còn nằm trên mặt sàng (tức hạt chưa rời khỏi mặt sàng) thì :

N>0 Vậy điều kiện để hạt rời được khỏi mặt sàng sẽ là :

2.1.6 Bài toán thứ hai của động lực học chất điểm

Bài toán Cho biết các lực tác dụng lên chất điểm và các điều kiện

đầu của chuyển động (vị trí ban đầu và vận tốc ban đầu), hãy xác định chuyển động của chất điểm đó

Trong trường hợp này như đã biết, phương trình cơ bản của động lực

học cho phương trình vi phân chuyển động của chất điểm Để xác định chuyển động của chất điểm cân phải tích phân phương trình vi phân

chuyển động Nếu tìm được ‹các tích phân, chúng sẽ chứa các hằng tích

phân, chỉ cho biết lớp chuyển động, chưa cho biết đạng chuyển động cụ thể của chất điểm Muốn tìm dạng chuyển động cụ thể cần phải xác định các hằng tích phân nhờ các điều kiện đầu

Ví dụ 2-4

Một vật nặng có khối lượng m được treo vào đầu lò xo.có độ cứng c

nằm cân bằng tại vị trí 0 Kéo vật nặng lệch khỏi vi trí can bằng O với độ

+

15

lệch xạ và cho vật vận tốc dau v, huéng vé vị tri cân bằng 0 'Tìm chuyển

Bài giải

Khảo sát vật nặng được xem như chất

điểm Lực tác dụng lên chất điểm gồm

trọng lực P và lực đàn hồi lò xo Pix

Giả thiết rằng lực đàn hồi lò xo tỷ lệ

bậc nhất với độ dãn lò xo kể tir vi tri khong -

biến dạng, tức :

F,, = cỗ

trong đó õ là độ đãn của lò xo so với

trạng thái không biến dạng của nó

6, 14 do dãn của lò xo ứng với vị trí cân bằng (so với trạng thái không

biến dạng của lò xo), là toạ độ của chất điểm kể từ vị trí cân bằng tĩnh 0

k= ,/<

m

được gọi là tần số đao động riêng

Như đã biết phương trình ví phân trên có nghiệm tổng quát đạng :

A là biên độ của dao động, œ là pha ban đầu

Vậy vật nặng dao động điều hoà với biên độ A và tần số k

Chú ý rằng nghiệm tổng quát của phương trình vi phan chuyển động của chất điểm trên cũng có thể được viết dưới dạng :

X = C¡coskt + Cysinkt trong đó C¡, C¿ là hai hằng tích phân được xác định từ điều kiện đầu

Để tìm chúng, ta dựa vào biểu thức vận tốc của chất điểm :

X=~ C¡ksinkt + C;kcoskt_

Khảo sát chuyển động quả cầu được xem như

chất điểm Lực tác dụng lên chất điểm gồm trọng lực

và lực cản của không khí Fe = —Bv x mn °

Chọn trục Ox hướng thẳng xuống Phương trình

vi phân chuyển động của quả cầu sẽ là :

trong đó C¡, C; là các hằng tích phân được xác định từ điều kiện đầu Nếu chọn gốc thời gian tương ứng với gốc toạ độ O, thì x(0) = Xạ=0;

Dễ dàng tìm được các hằng C¡ và C¿ từ hệ phương trình :

0=Š-C,

n _Ấ 0= n +

Từ biểu thức vận tốc của chất điểnh ta có : v = 2a ~e, khi t > ©,

vy : = hằng, tức chuyển động chất điểm dân đến trạng thái chuyển động đều khi thời gian tiến đến œ

Van tốc ứng với trạng thái đó được gọi là vận tốc giới hạn, có ký hiệu

Tiến đến trạng thái vận tốc giới hạn là một tính chất quan trọng nhất

của chuyển động của chất điểm (và của cả hệ) chuyển động trong môi

trường cần với lực tỷ lệ với vận tốc

19

Lưu ý rằng, giá trị của vận tốc giới hạn có thể tìm được trực tiếp mà không phải qua biểu thức của vận tốc nhờ tích phân phương trình vi phân chuyền động

Thực vậy, vận tốc giới hạn có thể tìm được từ biểu thức :

Fu, can =P, nic BX = mg

Phuong trinh vi phan chuyén dong cla vién dan c6 dang : mk= 0 5 my=0; mzZ=-— mg

Điều kiện đầu của chuyển động sẽ là :

x(o)=0; X(o)=0; y(o) =

y(o) = Vạcosœ :z(o) =0; z(0) = vạSinơ Khi tích phân phương trình vi phân chuyển động của viên đạn,

G d6 Cy, Cy, Cy, Cy, Cs, Cg 1a cdc hang tích phân được xác định từ

điều kiện đầu Với các điều kiện đầu đã cho, ta tìm được :

Cị =C; = Ca = Cá = Ô C¿ = vạcOSG ; Ca = Vasinœ

Do đó phương trình chuyển động của viên đạn trong điều kiện đầu đã

Dé dàng chỉ ra rằng quỹ đạo của viên đạn là đường parabôn qua gốc

toạ độ có dạng như hinh 2-7

Z= ylga — By” ŸŸ 1a + tg ?œ), nó được gọi tắt là đường đạn

- v2 oO

Tầm cao H và tầm xa L của đường đạn được xác định nhờ các biểu thức sau :

l1 tgœ H=z ‘max J igta we

cũng là một parabôn đối xứng qua trục z được gọi là parabôn an toàn,

nó xác định biên của vùng an toàn và vùng gây nguy hiểm của một loại súng Tổng quát hơn, chúng ta có mặt paraboic an toàn

Cần chú ý rằng, ngoài hai bài toán cơ bản của động lực học chúng ta còn gặp bài toán hỗn hợp trong đó yêu cầu xác định cả chuyển động của chất điểm và cả lực tác dụng lên chất điểm Một trong các ví dụ về loại

này là bài toán về chuyển động của chất điểm không tự do Đối với

trường hợp này, nhờ áp dụng định luật thay thế tương đương liên kết, chất

điểm không tự do được xem như chất điểm tự do, nhưng nằm dưới tác

dụng của các lực trong đó có lực chưa biết là phản lực liên kết của liên -_ _kết được thay thế

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ

Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm Để nhận được phương trình vi phân

chuyển động của cơ hệ, chúng ta viết phương trình (1—1) cho tất cả các chất điểm của cơ hệ trong đó Flà hợp lực của tất cả các lực tác dụng vào chất điểm Tùy thuộc cách phân loại lực tác dụng lên cơ hệ ta sẽ nhận

được phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ dưới những dạng khác nhau

Khi phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ thành ngoại lực và nội lực, phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ có các dạng : -

trong đó Fi va Fx (Œ =1,N) tương ứng là hợp lực của các ngoại lực

và nội lực tác đụng lên chất điểm thứ k

Nếu các lực tác dụng lên cơ hệ được phân thành các lực hoạt động và các lực liên kết và gọi Fk và Rx tương ứng là hợp lực của các lực hoạt động và lực liên kết lên chất điểm M¿ (k =1,Ñ) tì phương trình vi phan chuyển động của cơ hệ có đạng :

mya, =Fi+Ri

mya, = Fn +Rn

23

Chuong 3

CAC DAI LUONG DAC TRUNG

CUA CO HE VA VAT RAN

Đối với một hệ cơ học, có hai đặc tính quan trọng, đó là quán tính (khối lượng và sự phân bố khối lượng) và tương tác (lực và các đặc trưng của nó) ' `

3.1 CAC DAC TRUNG HINH HOC KHOI CUA CO HE VA

VAT RAN

3.1.1 Khối tam của cơ hệ

Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm M,, M,, , My có khối lượng tương img m,, m,, ., My Vị trí của các chất điểm được xác định bằng các vectơ định vị TI, VTN

Khối tâm của cơ hệ là điểm hình học

C, vi tri cha nó được xác định bởi công

Trong hé toa d6 Dé cdc Oxyz, các toạ độ của điểm C được xác định bởi công thức :

c= M >¥co= —M PếC ——M

Trong đó x,, vụ, z„ là toạ độ của chất

diém M,

Ter cong thife (3~1) hodc (3-2) suy truc

tiếp đối với các vật rắn nằm gần Trái Đất thì

khối tâm trùng với trọng tâm của chúng

nhiều vật rấn, trong đó m, và r¿ lần lượt là

khối lượng và vectơ định khối tâm của các Hình 3-2

vat ran

3.1.2 Mômen quán tính của vật rắn

1 Định nghĩa Mômen quán tính của vật rắn đổi với trục z, ký hiệu

J, la đại lượng vô hướng, được xác định theo công thức :

Người ta còn định nghĩa các mômen quán tính tích Jay Gyo Six là

25

Jy = TM XYy 5 Jy = 3 m,y,zv; J„„ = Öm,ZXy (3-6)

và mômen quần tính vật rắn đối với điểm ©O :

2 Mômen quán tính của một số vật đồng chất

a) Thanh đồng chất có chiều dài l, khối lượng M

Chia thanh theo chiều dài thành nhiều phần tử

Xét một phần tử có độ

dai Ax, cách trục Ay đoạn /

m, = yAx,, trong d6 y 1a A yoo B

M

T=T› trong đó M và ¡

Hình 3-3

lần lượt là khối lượng và :

chiều dài của thanh

Dựa vào định nghĩa về mômen quán tính của vật đối với trục, ta có :

Jay = Y mxz = SD yx TAY

chuyển tổng nhận được qua giới han, ta được :

Po MP

b) Vong tron déng chat c6 khéi lueng M bán kính R (H.3-4)

Dựa vào định nghĩa :

Chia tấm thành nhiều vành tròn nhỏ, mỗi vành có bán kính p„, độ

rộng Ap, Khối lượng của vành tròn sẽ bằng :

m, = 7277p, Ap, Trong dé y 1a khdi lugng của đơn vị diện tích của tấm :

= M

Do đó mômen quán tính AJc„ của vành đối với trục C, là :

27

Momen quan tinh cia t4m d6i với trục C, bằng :

J, = ZATe, = 3⁄2y Pk Ap, Chuyển qua giới hạn ta nhận được :

Định lý I1 : Định lý mômen quán tính đối với các trục song song

Mômen quán tính của vật rắn đối với trục A bằng tổng mômen quán tính của nó đối với trục song song với trục A qua khối tâm C của vật và tích của khối lượng vật với bình phương khoảng cách giữa hai trục

cùng phương, mômen quán tính

của vật rắn đối với trục qua khối

tâm có giá trị nhỏ nhất

Định lý 2 : Định lý về mômen

quán tính của vật rắn đối với trục

đi qua gốc toa độ (H.3-7) Mômen quán tính của vật rắn

đối với trục A bất kỳ qua gốc toa:

độ có biểu thức :

Hình 3-7

Js = ],cos?œ + Jjcos?B + J,cos”y

— 21„„cosBcosy — 2l,„cosycosœ — 2J,,cosoœcosj (3-17) Trong đó ơ, B, y là ba góc chỉ phương của truc A

xy + yz + z4 = (xp +yz + za )(cos? a + cos” B + cos? y)

OHk = (rk.p)? = (x,coso + y,cosB + z,cosy)”

(pla vectơ đơn vị chỉ phương của trục A)

Vậy :

29

Jn = Tm, [(x? + Y, + 27)(cos” a + cos” B + cos” y)

— (x,cosa + y,cosB + z,cosy)’}

Sau khi khai triển và sắp xếp các số hạng lại chúng ta nhận được biểu thức (3—17) Đó là điều cần chứng minh

_4 Các định lý về trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm

Dinh nghia : Truc Oz duoc gọi là trục quán tính chính tại Ó nếu thoả mãn các điều kiện :

Truc Oz duoc gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là quán

tính chính và đi qua khối tâm

Chú ý : Nếu hai trục toạ độ vuông góc là quán tính chính tại O thì trục thứ ba vuông góc với chúng cũng là quán tính chính

Người ta đã chứng minh rằng tại mỗi điểm của vật rắn tồn tại ba trục

quán tính chính vuông góc nhau

Định lý 1 : Trục quán tính chính của vật rắn tại điểm O, không di qua khối tâm của vật chỉ là trục quán tính chính của vật tại điểm O

Xy = Xs Vy =, 1% =% —d;d= 00"

Vay: Jed my zy X_ = Dimy (Zy- Oxy

=P) m,%X, — d> mex, = Jz, — Mx,d

Do đó nếu trục Oz không di qua khéj tam C, titc x, # O thi di Oz 1a

quan tinh chinh tai O (ufc J,, = 0), ta nhận được :

Jy =— Mx<d #0

tức trục z không phải trục quán tính chính tại O' Đó là điều cần chứng minh

Từ đó ta đễ đàng suy ra (H.3—8b)

Định lý 2 : Trục quán tính chính trung tâm của vật là trục quán tính

chính đối với mọi điển thuộc trục ấy

Định lý 3 : Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là

trục quán tính chính trung tâm

Chứng minh Giả sử vật có trục đối xứng z Trọng tâm C của vật nằm

trên trục z Nếu vật có phần tử M, với khối lượng m, và các toạ độ (Xu, Yụ, Z4)

thì sẽ phải có phân tử Mỹ có khối lượng m, với các toạ độ (—Xụ, -¥p Z,)-

Phân hoạch vật rắn theo từng cặp phần tử như vậy để tính các mômen quán tính tích, ta có :

Jc = DM,Z,X, + OM, ZX, = 3 m,24X¿ — 2m,24X = 0

1„y =3 m,Zz.y, + 3›mLZ¿Y = >m,z„y, ~ >m,zy, = 0

Đó là điều cần chứng minh

Định lý 4 : Nếu vật đồng chất có mặt phẳng đối xứng thì trục thẳng sóc với mặt phẳng đối xứng là trục quán tính chính tại điểm giao của mặt phẳng đối xứng với trục

Chứng minh Chọn trục Ox và Oy: thuộc mặt phẳng Ta phân hoạch

vật rấn theo từng cặp phần tử M, và Mj, nằm đối xứng với mặt phẳng

`

31

đối xứng Giả sử phần tử M, có khối lượng m, và cdc toa độ x,, y,, Z, cn phan tt M, có khối lượng my và các toạ độ xạ,y„,Z„ Ta có :

My = Mg 5 Xe = Xị ÿ Yy —“Yk › Zv —Zk

Jig = DM, ZX, + DM ZyXp_ = LIM,Z,X, — LM ,Z,X, = O

J„y =2 m,Zvy, + LIM, ZY, = 2m,Z.Y, — 3m,Zz„y, = 0

Đó là điều cần chứng minh

Chú ý rằng trọng tâm của vật rắn nằm trong mặt phẳng đối xứng nên

trục quán tính trung tâm là trục thẳng góc với mặt phẳng đối xứng tại

trung tâm

3.2 LỰC TÁC DỤNG VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA LỰC

3.2.1 Xung lượng của lực (Xung lực)

Xung lượng nguyên tố của lực F, ký hiệu là dS, có biểu thức :

3.2.2 Công và công suất

1 Công nguyên tố của lực

Công nguyên tố của lựcE, điểm đặt của nó chuyển động theo đường

cong C, sau khoảng thời gian di thực hiện đi chuyển nguyên t6 ds được xác định theo công thức sau :

d'A =Fids = Fyvidt = Evdt (3-22)

Trong đó Fu,vi tương ứng là

- hình chiếu của lực và vec tơ van

tốc lên phương tiếp tuyến của quỹ

đạo tại điểm đặt của lực F (H.3-9)

Công nguyên tố của lực đ'A có

0 tùy thuộc góc giữa lực F và vận - ⁄ y

Công nguyên tố của lực còn có thể viết trong các dạng sau :

đA = Fcosœds = Fr = F,dx + F,dy + E,dz (3-23)

~

Trong đó œ là góc giữa lực F và vận tốc V;T là vectơ định vị của điểm đặt lực Et ; E,, Fy, F, là các hình chiếu của lực F lên các trục toạ độ

Đề các Oxyz

2 Công hữu hạn của lực

/ Khi diém dat luc E di chuyển từ vị trí M, đến vị trí Mạ, công của lực

FE ứng với di chuyển đó được xác định như sau :

Khi chất điểm chịu tác dụng của nhiều lực thì lực FR hợp lực của các lực đó và ta có tính chất sau :

Công (công nguyên tố) của hợp lực bằng tổng công (lổng công

W=Fcosœ.v= Fi.vị = EVÁ + Eýÿ + F;2

Don vị của công suất là Oát (w)

lw = 11s

Chuong 4

NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE

Nội dung chương 4 trình bày nguyên lý Đalămbe, từ đó áp dụng các phương pháp giải bài toán tính học vào việc giải các bài toán động lực học

4.1: NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE ĐỐI VỚI CHẤT ĐIỂM

4.1.1 Lực quán tính của chất điểm

Khảo sát chất điểm dưới tác dụng của lực F chuyển động với gia tốc

a đối với hệ quy chiếu quán tính xác định Theo định luật 2 Niutơn,

ta CÓ:

ma=F

nó có thể được viết trong dang :

Đẳng thức (4~1) tương tự điều kiện cân bằng của chất điểm dưới tác

dụng của lực F va lực được gọi là lực quán tính, có ký hiệu EF":

35

điểm là lực do chất điểm tự do tác dụng lên vật, (số đo của nó là F), đã

buộc nó chuyển động với gia tốc a

2 Khái niệm can bằng vừa nêu ở trên chỉ có ý nghĩa hình thức vì lực

E và E” không tác dụng lên cùng một chất điểm

3 Lực quán tính xác định được khi biết được gia tốc Như vậy trong bài toán thứ nhất của động lực học, lực quán tính được hoàn toàn xác định, còn trong bài toán thứ hai của động lực học, lực quán tính là đại lượng chưa biết

Trong hệ trục toạ độ Đề các, lực quán tính được xác định qua các

hình chiếu của nó trên các trục toạ độ

a",ã" là các vectơ gia tốc tiếp và gia tốc pháp của*chất điểm

4.1.2 Nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm

Tại mỗi thời điểm, lực tác dụng vào chất điểm và lực quán tính của chất điểm cân bằng nhau

Chú ý : Trong trường hợp của chất điểm không tự do, lực tác dụng

vào chất điểm bao gồm cả phản lực liên kết R, tức là ;

Vi du 4-1

Một quả cầu nhỏ có trọng lượng P được treo vào toa xe chuyển động thẳng với gia tốc a Day treo qua cầu bị lệch một góc œ = const so với đường thẳng đứng Xác định gia tốc a của toa xe

điểm do gia tốc của chất điểm

Theo nguyên lý Đalãmbe :

EF+T+F =0 Chiếu hai vế của đẳng thức này lên phương A thẳng góc với dây

ta CÓ:

F*"cosa — Psinœ = 0

nghĩa là : P acosa — Psina = 0

8 Vậy : a= gtga

Bài toán trên cho ta một phương pháp đơn giản để đo gia tốc của toa xe

4.2 NGUYÊN LÝ ĐALĂMBE ĐỐI VỚI CƠ HỆ

Khảo sát cơ hệ gồm N chất điểm M,, M,, My, dudi tac dung cha

hệ lực Fi,F:, Fx chuyển động với gia tỐC ải, a2, ,aN

Xét chất điểm M, có khối lượng m, chịư tác dụng của lực Fx, chuyển

động với gia tốc ar Lực quán tính của chất điểm đó là Fi = =m, ax

Theo nguyên lý Đalămbe đối với chất điểm, với mọi chất điểm của

cơ hệ ta có :

Œ,E)=0

37

Do đó nguyên lý Đalămbe đối với cơ hệ được phát biểu như sau :

Tại mỗi thời điểm, các lực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ và

các lực quán tính của các chất điểm thuộc cơ hệ tạo thành hệ lực cân -

bằng

qt (Fi, Fo, Fn, Fi, Foy FN) = 0 (4-8)

1 Các lực Fx doi với cơ hệ tự do, là hợp lực của ngoại lực và nội lực, còn đối với cơ hệ không tự do, là hợp lực của lực hoạt động và lực liên

kết, tác dụng lên chất điểm M,

2 Khái niệm cân bằng ở đây có tính chất quy ước : "Hệ lực cân bằng

là hệ lực có từng đôi một lực trực đối với nhau"

3 Hệ lực cân bằng (4 — 8) được thiết lập tại mọi thời điểm chuyển

động của cơ hệ, do đó có thể thiết lap điều kiện cân bằng của nó đối với

hệ trục toa độ động và được sử dụng rất tiện lợi trong bài toán xác định

phản lực vật quay Tuy nhiên cần lưu ý rằng, các lực quán tính (các gia ˆ tốc) của các chất điểm phải tính đối với hệ quy chiếu quán tính

4.3 PHƯƠNG PHÁP TĨNH HỈNH HỌC - ĐỘNG LỰC

Nội dung phương pháp

Việc khảo sát điều kiện cân bằng của hệ lực có thể dựa vào hai đặc trưng hình học của nó là vectơ chính và mômen chính của hệ lực Dựa trên điều kiện triệt tiêu vectơ chính và mômen chính của hệ lực ta thiết lập được phương trình cân bằng của hệ lực (trong phần Tĩnh học ta đã

thiết lập các phương trình cân bằng đối với vật rắn)

Phương pháp thiết lập các phương trình cân bằng cho hệ lực (4 — 8) dựa vào tính chất triệt tiêu của vectơ chính và mômen chính của nó được gọi là phương pháp Tĩnh hình học — động lực

Để áp dụng phương phương pháp này, các lực tác đụng lên cơ hệ được phân thành những ngoại lực và những nội lực ‘

~ =e i `

Fe = Fy + Fx

Vì vecto chinh và mômen chính đối với một điểm bất kỳ của hệ nội lực luôn luôn triệt tiêu, nghia 1a ;

vuông góc với nhau và chứa

trục quay, khoảng cách của

chúng đối với trục quay tương

Ứng bằng ©,, e; Trục máy quay

đều với vận tốc œ„ Xác định

các phản lực,tại các ổ trục A và

B Các kích thước được cho

như trên hình vẽ Bỏ qua ma

Khảo sát co hé 14 truc may cé gan hai chat diém M,, M,

Các ngoại lực tác đụng vào cơ hệ gồm các trọng lực Pi, P›: và các `

phan luc 6 trucRa(Xa,¥a,Za), Rs(Xs,Ys) (H.4— 2)

Các lực quán tính của hai chất điểm M, va M, dugc ký hiệu bởi Ff

VỚI 8u, =e);

=a - F› =-m;a Mỹ;

2

Chọn hệ trục toa độ Axyz, trong đó Àz trùng với trục quay, còn các chất điểm M,, M; nằm tương ứng trong các mặt phẳng toạ độ Axz và -

Ayz Chú ý rằng hệ trục toạ độ đó gắn liền và cùng quay với trục máy

Bây giờ ta thành lập các phương trình cân bằng tĩnh học cho hệ lực ;

(Pi,P2, Xa, ¥a,Za, Xo, Yv,F F2)

trong đó th =— e0, và F =—*e;0,

Giải hệ phương trình trên ta được :

Y,= ! _(Pe, _ opt) =P poo 22

ZA=P,+P;

Nhận xét : Các phản lực ô trục không những phụ thuộc vào vận tốc góc của trục quay mà có phương thay đổi (các vectơ Ra và Ra quay quanh đường tâm của trục máy với vận tốc góc œ,)

Ví dụ 4-3

Một vật rắn có khối lượng m dưới tác dụng của hệ lực (Fi, Fo, Fs)

chuyén déng tịnh tiến với gia tốc ã Khảo sát chuyển động của vật

(H.4-3)

Bài giải

Sử dụng Nguyên lý Dalambe dé khao

sát chuyển động của vật Xét một phân tố

- M, có khối lượng m,, có lực quán tính

tương ứng là F“" =-m,ä Viết các phương

trình cân bằng cho hệ lực gồm các lực thật

tác dụng lên vật rắn và các lực quán tính

của tất cả các phân tố của vật rắn Chọn hệ

trục có gốc tại khối tâm C của vật rắn có

trục Cx hướng ngang sang phải, trục Cy

hướng thẳng đứng lên phía trên, ta có :

Sự = 5`m,a =~()m,)a = -ma

Yim(F, )=- >t, Am,a=—(> m,r,)Aa=—mre Aa =0

Do gốc trục toạ độ chọn đúng khối tâm C của vat ran (%, =0) Từ đây

ta nhận được :

41