Cơ học kỹ thuật. Tập 1, phần tĩnh học và động học

LỜI GIỚI THIỆUC ơ học là một trong những môn học nền tảng được giảng dạy trong các trường đại học kỹ thuật.. Nó không những là cơ sở cho hàng loạt các môn kỹ thuật Cd sở và kỹ thuật chuy

G S T S K H Đ Ỗ S A N H

TT TT-TV * ĐHQGHN

Công ty cổ phần sách Đạỉ học - Dạy nghể - Nhà xuất bản Giáo dục giữ quyển công bố tác phẩm.

Mọi tổ chức, cá nhân muốn sử dụng tóc phần dưới hình tíìùc phả' được sự đổng ý của chủ sở hữu quyền tác giả.

04 - 2009/CXB/240 - 2 1 17/GD M ã số : 7B697y9 - D A I

LỜI GIỚI THIỆU

C ơ học là một trong những môn học nền tảng được giảng dạy trong các trường đại học kỹ thuật Nó không những là cơ sở cho hàng loạt các môn kỹ thuật Cd sở và kỹ thuật chuyên ngành mà còn xây dựng tiềm lực tư duy khoa học ch o các kỹ sư và cán bộ khoa học kỹ thuật tương lai.

V iệ c giảng dạy môn C ơ học trong các trưởng Đại học Kỹ thuật của nước ta từng bước được nâng cao và chuẩn hoá Từ năm 1969 trong điều kiện vô cùng khó khăn của cuộc kháng chiến chống Mỹ cứu nước, Bộ Đại học và Trung học chuyên nghiệp đã cho xuất bản giáo trình C ơ học lý thuyết do G iáo sư - Viện s ĩ Nguyễn Văn Đ ạo chủ biên với tư cách là giáo trình chuẩn để giảng dạy trong các trường Đại học Kỹ thuật G iáo trình đó trong những năm qua đã góp phần tích cực vào việc giảng dạy và học tập môn C ơ học.

Ngày nay, để đáp ứng những đòi hỏi mới của khoa học và thực tế sản xuất của đất nước và của việc nâng cao chất lượng đào tạo, Bộ Giáo dục và Đ ào tạo đang chỉ đạo các trường đại học tiến hành cải cách một cách sâu rộng việc dạy và học theo quy trình đào tạo mới, trong đó môn C ơ học được đưa vào giảng dạy ở hai năm đầu cho tất cả các ngành kỹ thuật của các trường đại học Trong tình hình nước ta bước vào hội nhập, cần thiết lựa chọn một sô' kiến thức cơ học cho những

kỹ sư Tập hợp các kiến thức này theo xu hướng chung hiện nay đòi hỏi xây dựng giáo trình Cơ học kỹ thuật, nhằm trang bị những kiến thức nền tảng cho các kỹ sư tương lai, chủ yếu gổm các kiến thức của cơ học vật rắn.

G iá o trình Cơ học kỹ thuật (Cơ học vặt rắn) lần này được biên soạn dựa vào chương trình khung của Bộ G iáo dục và Đ ào tạo gồm ba phẩn và được in thành hai tập.

Tập một: G ổm hai phẩn - Tĩnh học và Động học.

Tập hai: Phần Động lực học

C u ốn sách được cấu trúc theo quan điểm nhằm mục tiêu tiếp cận có hiệu quả ca o nhất với các kiến thức cơ bản của cơ kỹ thuật trong tình hình thời lượng dành cho mộn học này trong các trường Đại học Kỹ thuật giảm khá nhiều và áp lực của việc ứng dụng các thành tựu công nghệ thông tin vào lĩnh vực này ngày càng lớn Nhằm thích ứng với tinh hình này tác giả đã tìm cách xây dựng nội dung theo một cấu trúc thích hợp, cũng như đã triển khai một cách rộng rãi phương pháp ma trận vào khảo sát các nội dung: thành lập các phương trình cân bằng (thống nhất đối với hệ lực phẳng và hệ lực không gian), khảo sát động học của vật rắn, đặc biệt bài toán tổng hợp và phân tích chuyển động của cơ cấu, xây dựng một dạng mới của phương trình chuyển động động lực dạng ma trận C ách tiếp cận này cho phép sử dụng thuận lợi cá c phần mểm chuyên dụng như Maple, Matlab, Mathcad trong việc giải các bài toán cơ kỹ ỉhuật, giúp

cho sinh viên tiếp cận tốt hơn với các thành tựu của cống nghệ thông tin Hy vọng đây sẽ là một phương hướng cải tiến mang hiệu quả cho môn học C ơ học

kỹ thuật.

Cuốn sách được viết nhằm phục vụ sinh viên các trường Đại học Kỹ thuật với chương trình của môn C ơ học kỹ thuật có thời lượng 6 học trinh trở lẽn Tuy nhiên do cấu trúc khá mềm dẻo nên cũng có thể lựa chọn từ các nội dung để thích hợp với thời lượng mà cá c ngành đào tạo yồu cầu Cuốn sách cũng rất có ích đối với các cán bộ kỹ thuật muốn nâng cao các hiểu biết của mình trong lĩnh vực cơ học kỹ thuật.

Một số nội dung được trình bày là kết quả nghiên cứu của tác giả trong việc thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học thuộc Chương trinh Nghiên cứu khoa học

cơ bản trong Khoa học tự nhiên - ngành Cơ học "Động lực học của các hệ phức tạp", của Bộ Khoa học và Công nghệ Nhân dịp này tác giả chân thành cám ơn

Bộ Khoa học và C ô n g nghệ, chương trình Nghiên cứu khoa học cơ bản trong Khoa học tự nhiên, Hội đồng ngành C ơ học, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội

là cá c cơ quan chủ trì và quản lý đề tài đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tốt đế tài.

Cám ơn Bộ môn C ơ học ứng dụng, Đại học Bách khoa Hà Nội và các đổng nghiệp đâ giúp rất nhiều cho tác giả trong việc xây dựng nội dung cuốn sách Xin cám ơn Trung tâm Đ ào tạo Tài năng của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nơi đã giúp tác giả suy ngẫm và triển khai c á c ý tưỏng biên soạn cuốn sách hày.

Cuốn sách chắc chắn còn nhiều thiếu sót C h ân thành cám ơn các ý kiến đóng góp của độc giả đối với nội dung cuốn sách C á c ý kiến xin gửi vể: Công

ty CỔ phẩn sách Đại học - Dạy nghề, 25 Hàn Thuyên, Hà Nội.

H oặc gửi trực tiếp đến tác giả: Đ ỗ Sanh, Bộ môn C ơ học ứng dụng, Trưởng Đại học Bách khoa H à Nội, Điện thoại (04) 8.693402, DĐ: 01234154996.

E-mail: dosanh(G)mail.hut.edu.vn h o ặ c ơ o sa n h b ka @ g m all.com

T Á C G I Ả

c h iế u C á c vật thể tro n g c ơ h ọ c lý th u yết đư ợc x â y dự n g d ư ớ i c á c dạng

m ô h ìn h ch ất đ iể m , c ơ hệ (hệ c á c chất đ iể m rờ i rạc và liê n tụ c) v à m ột

d ạ n g rất q u an trọ n g c ủ a n ó là vật rắn tu yệt đ ố i.

K h ô n g g ia n tro n g c ơ h ọ c lý th u y ế t đ ư ợ c q u a n n iệ m k h ô n g ph ụ

th u ộ c v à o th ờ i g ia n và vật thể c h u y ể n đ ộ n g tro n g n ó K h ô n g g ia n c ó tín h c h ấ t đ ồ n g n h ấ t, đ ẳ n g h ư ớ n g và d o đ ó , th o ả m ã n c á c tín h ch ấ t c ủ a

" C ơ s ở to án h ọ c c ủ a triết h ọ c tự n h iê n " - ( P h ilo s o p h ia e n tu ra lis P r in c ip ia

M a t h e m a tic a , 1687) D o đ ó , C ơ h ọ c lý th u yết c ò n c ó tên g ọ i là C ơ h ọ c

C ơ h ọ c lý th u yế t phát sin h và phát triể n gắn liề n v ớ i sự phát triển

c ủ a lự c lư ợ n g sản xuất xã h ộ i và tri thức v ă n h o á c ủ a nh ân lo ạ i, đặc biệt gắn liề n v ớ i sự phát triển củ a k ỹ thuật.

C ơ h ọ c lý th u y ế t là c ơ sở và x u ấ t ph át đ iể m c h o n h iề u b ộ m ô n c ơ

h ọ c k h á c như sức bền vật liệ u , lý th u y ế t đ à n h ồ i, th ủ y k h í đ ộ n g lực

h ọ c , c h ú n g đ ư ợ c x â y dự ng trên c á c đ ịn h lu ậ t c h u n g củ a c ơ h ọ c lý

th u yết v ớ i c á c đ ịn h lu ậ t b ổ su n g d o c á c tín h ch ấ t đ ặ c thù c ủ a thực thể vật ch ất T r o n g sức bền v ậ t liệ u và lỷ th u yế t đ à n h ổ i p h ả i n ó i đến b iế n

Sự phát triển m ạ n h m ẽ c ủ a k h o a h ọ c tự n h iê n , tro n g đ ó c ó c ơ h ọ c , bất đ ẩ u từ th ờ i k ỳ P h ụ c h ư n g , đ ầ u tiê n ở Italia v à sau đ ó tại c á c nư ớc

k h á c T r o n g th ời k ỳ n à y n ổ i bật lê n tên tu ổ i c ủ a h o ạ s ĩ th iê n tà i n g ư ờ i Italia L ê ô n a đ ơ V a n h x i (1 4 5 2 - 1519) m ộ t nh à h ìn h h ọ c và k ỹ sư c ó tài,

c ó n h iề u k h ả o sát tro n g lĩn h v ự c c ơ cấ u , m a sát tro n g m á y và c h u y ể n

đ ộ n g trên m ặt p h ẳn g n g h iê n g C ù n g th ờ i, p h ả i k ể đ ế n n h à b á c h ọ c B a

L a n n ổ i tiế n g , N ic o la i C o p e c n ic (1 4 7 3 - 154 3 ), n g ư ờ i đ ã x â y d ự n g lý

th u yế t về c h u y ể n đ ộ n g c ủ a c á c h à n h tin h tro n g th á i d ư ơ n g hệ D ự a v ào

c á c c ô n g trìn h n à y và v à o c á c s ố liệ u q u a n sát c ủ a th iê n v â n m à K e p le (1571 - 1630) đ ã ph át h iệ n ra ba đ ịn h lu ậ t n ổ i tiế n g c ủ a c h u y ể n đ ộ n g

c á c h àn h tin h , đ ó là c ơ sở c h o N e w to n tìm ra đ ịn h lu ậ t hấp d ẫ n v ũ trụ

n ổ i tiến g

C á c k h ả o sát c ó tầm quan trọng đặc biệt, có ý n g h ĩa nền tảng ch o sự phát triể n c ơ h ọ c là các cô n g trình của nhà bác h ọ c th iên tài người Italia,

G a lilê (1 5 6 4 - 1642) T rư ớ c G a lilê , c ơ h ọ c được phát triển ch ủ yếu là

s ở c h o c á c th àn h tựu h iệ n th ời của c ơ h ọ c n h ờ m ộ t hệ th ố n g c á c đ ịn h

lu ậ t m à n g à y n a y c h ú n g c ó tên là hệ tiê n đề đ ộ n g lự c h ọ c m an g tên

N e w t o n

T i ế p th eo c ô n g trìn h đư ợc xây dựng m ột c á c h hệ th ốn g hoàn c h ỉn h

và c h ặ t c h ẽ c ủ a Nevvton, c ơ h ọ c lý th u yế t trải q u a m ộ t g ia i đ o ạ n phát triể n h ế t sức sô i đ ộ n g và p h o n g phú từ th ế k ỷ thứ X V I I I - X I X và cả th ế

k ỷ X X

Q u á trìn h phát triể n n ày đã dẫn đ ến v iệ c xuất h iệ n lý th u yết tương

đ ố i c ủ a E in s t

Đ ó n g g ó p v ào sự pịiát triển c ơ học tro n g th ời k ỳ n à y c ó c á c nh à bác

h ọ c n h ư Đ a lă m b e (1717 - 1783) mà tên tu ổ i gắn liề n v ớ i n g u y ê n lý n ổ i tiế n g m a n g tên ô n g , n g u y ê n lý Đ a lã m b e , n h ư ơ l e (1 7 0 7 - 1783), V iệ n

s ĩ V i ệ n h à n lâ m k h o a h ọ c N g a , người đã c ó n h iề u c ô n g tro n g v iệ c sử

d ụ n g c á c p h ư ơ n g p h áp g iả i tích để n g h iê n cứu c á c b ài toán đ ộ n g lự c h ọ c vật rắ n ơ l e là n g ư ờ i đầu tiên viết g iáo trìn h c ơ h ọ c th eo hư ớng g iả i tích

h o á c ó n h a n đề " Đ ộ n g lự c học" ( M e lia m ic a s iv e m ô tu s sc ie n tia ,

P e te c b u a 1 7 3 6 ),

H ư ớ n g g iả i tích hoá c ơ học m à ngày n ay được g ọ i là c ơ h ọ c g iả i tích

đư ợ c trình bày trong tác phẩm sáng lập ngành " C ơ học giải tích" (M ecanique

a n a ly tiq u e , 1788) củ a nhà bác học lớn ngư òi P h áp L a g ra n c e , trong đ ó c ơ

h ọ c đ ã đư ợ c trình bày n h ờ phương pháp g iả i tích dựa vào m ột n g u yên lý

c h u n g , k h ô n g c ó m ộ t h ìn h vẽ nào G ia i đ o ạ n phát triển p h on g phú n ày của

c ơ h ọ c gắn liề n v ớ i tên tu ổi của nhiều nhà bác h ọ c, m à các cô n g trình

-7

n g h iên cứu gắn liề n với tên tuổi của h ọ như H a m in tơ n (1805 - 1865),

Ja c ô b i ( 1 8 0 4 - 1851), G a o x ơ ( 1 7 7 7 - 1805)

N g à y n a y , sự phát triển của c ơ h ọ c lý th u yết g ắn liể n v ớ i c á c v ấ n đề

c ủ a vật l ý và k ỹ thuật h iên đại như c ơ h ọ c vũ trụ, đ iể u k h iể n tự đ ộ n g , k ỹ thuật rô b ố t

T r o n g g iá o trìn h n à y chỉ trình bày m ộ t số k iế n thức c ơ h ọ c (ch ủ yếu

c á c k iế n thức c ơ h ọ c vật rắn) rất cần th iết c h o c á c k ỹ sư đ ư ợ c g ọ i là m ô n

C ơ h ọ c k ỹ thuật, n ó g ồ m ba phần T ĩn h h ọ c , Đ ộ n g h ọ c và Đ ộ n g lự c h ọ c.

8

2 T h iế t lậ p cá c đ iề u kiện đ ố i với h ệ lực m à d ư ớ i tá c d ụ n g của nó vậ t

rắ n cân b ằ n g , đư ợ c g ọi tắ t là cá c đ iề u kiện câ n b ằ n g c ủ a h ệ lực.

V i ệ c n g h iê n cứu cá c n ộ i d u n g c ủ a tĩn h h ọ c đ ư ợ c dựa trẻn c á c đ ịn h

V ậ t rắn tuyệt đ ố i c h ỉ là m ồ h ìn h củ a các vật thể k h i c á c b iến dạng

củ a n ó bỏ qu a đư ợc d o qu á bé hoặc k h ô n g đ ó n g v a i trò q u an trọ ng trong

qu á trìn h k h ả o sát T r o n g c á c trường h ợ p k h i c á c b iế n d ạ n g tu y bé nhưng

đ ó n g vai trò qu an trọng , thậm c h í q u yế t đ ịn h , tức k h ô n g thể b ỏ qu a được,

th ì cần th iết phải b ổ sung nh ữ ng g iả thiết, c ó n g h ĩa là x â y dự ng m ô hình gần đ ú n g hơn V ấ n đ ề n à y sẽ được x e m xét đ ến trong g iá o trìn h Sức bển

đư ợ c trìn h bày c h i tiết tron g ph ần Đ ộ n g lực h ọ c C â n bằn g đ ố i v ớ i hệ qu y

ch iế u q u án tín h đư ợc g ọ i là cân bằng tuyệt đ ố i.

V ậ t lý h ọ c h iện đ ạ i đã ch ứ n g m in h rằng, k h ô n g tổn tại hệ q u y c h iế u

q u án tính D o v ậ y , c h ỉ c ó thể ch ọ n c á c hệ q u y c h iế u gần đ ú n g hệ q u y

c h iế u q u án tín h T r o n g k ỹ thuật, hệ q u y c h iế u q u á n tín h g ần đ ú n g đư ợc

c h ọ n là T r á i Đ ất C h ú ý rằ n g , trong tín h toán n g ư ờ i ta c h ọ n h ệ trụ c toạ độ gắn v ớ i hệ q u y c h iế u , đ ư ợ c g ọ i ỉà hô trục toạ đ ộ q u y c h iế u V ớ i m ột hệ

q u y c h iế u c ố thể gắn v ớ i n h iề u hệ trục toạ đ ộ q u y c h iế u k h á c nhau.

1.1.3 Lực

T ừ những q u an sát tro n g đ ờ i sống, c ù n g v ớ i nh ữ ng k in h n g h iệ m và thực n g h iệ m n g ư ờ i ta đ i đ ế n nhận xét rầng: n g u y ê n n h â n g â y ra sự b iế n

đ ổ i củ á trạng thái c h u y ể n đ ộ n g c ơ h ọ c, tức sự đ ờ i c h ỗ củ a c á c vật thể (bao g ồ m c ả b iế n d ạ n g ) tro n g đ ố c a n bằn g c h ỉ là trư ờng h ợ p riê n g , c h ín h

là tác d ụ n g tương h ỗ giữ a c á c vật thể T á c d ụ n g tư ơng h ỗ giữ a c á c vật m à kết quả c ủ a n ổ g â y n ê íi c á c b iế n dạn g h o ặ c sự th ay đ ổ i trạn g th ái c h u y ể n

đ ộ n g củ a ch ú n g đư ợ c g ọ i là những tác d ụ n g c ơ h ọ c (phân b iệ t v ớ i c á c tác

d ụ n g tương h ỗ k h á c như h o á , n h iệt, đ iện ).

T á c d ụ n g tương h ỗ c ơ h ọ c ậược g ọ i là lực.

K h á i n iệ m lực được cả m nhận tro ng đ ờ i sống h ằn g n g ày như k h i xách

h oặc đ ẩ y m ột vật nào đ ó qu a sự căn g củ a cá c c ơ bắp.

T h ự c n g h iê m chứ ng m in h rằng, lực được đặc trưng b ở i các yếu tố sau:

- Đ iểm đ ặ t củ a lực là đ iể m m à vật đư ợ c tru yền tác d ụ n g tương hỗ c ơ

Đ ịn h n g h ĩa vể đ ơ n v ị lực sẽ đư ợc trìn h b ày tro n g phần đ ộ n g lự c h ọ c

D o đ ó c ó thể d ù n g v e c tơ b iể u d iễ n c á c đặc

trưng lự c, g ọ i là v e ctơ lự c, ch ẳ n g hạn, F

Đ iể m đặt củ a v e ctơ là đ iể m đạt củ a lực,

p h ư ơ n g ch iề u củ a v e ctơ b iể u d iễ n phương ch iều

c ủ a lự c , m ô đ u n củ a v e c tơ b iể u d iễ n cư ờn g đ ộ

c ủ a lự c G iá m a n g v e ctơ lự c đư ợ c g ọ i là đư ờng

T r o n g đ ó ĩ = O A là v e c tơ đ ịn h v ị của đ iểm A ; X, y, z là toạ đ ộ đ iể m

A ; F 7, F y, F z là c á c h ìn h ch iế u củ a lự c F trên các trục của hệ trục toạ độ

v u ồ n g g ó c O x y z ; i , j , k là các v e c tơ đơn vị trên các trục toạ độ T ừ côn g thức ( 1 - 1 ) tín h đ ư ợ c các h ìn h ch iếu trên ba trục toạ đ ộ củ a vectơ

m 0 ( F ) , đ ó l à :

m ox (F ) = y F , - z F y; m oy (F ) = z F x - xF/, m 0/ (F) = x F y - y F x ( 1 - 2 )

K h i c á c lự c c ù n g n ằm trong m ộ t mặt phẳng với điểm o thì c á c vectơ

m ô m e n c ủ a c á c lự c đ ố i v ớ i đ iể m o sẽ song song v ớ i nhau T ro n g trường

h ợ p đ ó n g ư ờ i ta đư a ra k h á i n iệ m m ôm en đại sô' của lực F đ ố i v ớ i đ iể m

o , k ý h iệ u m 0 ( F ) , là lư ợn g đ ạ i số ± F.d, có dấu dương kh i lực F v ò n g

q u an h o th eo c h iể u ng ư ợc ch iề u k im đồng hổ và có dấu âm trong trường

h ợ p n g ư ợ c lạ i.

2 H ệ lự c

H ệ lực là tậ p h ợ p n h iều lực cù n g tác dụng lên m ột vật rân. H ê lực

g ổ m c á c lự c F ị , F 2 F n đư ợc k ý h iệu là ( F , , F 2 F „ ) D ự a vào tác

d ụ n g c ơ h ọ c c ủ a hệ lự c tã cố.

H ệ lực ( ỹ 1, ộ 2, i , ị m)đ ư ợ c gọi là tương đương với hệ lực ( F 1(F 2, , F n) ,

k h i tác d ụ n g c ơ h ọ c c ù a h ai hệ lự c n ẳ y lềh côn g một vật rắn là như nhau (c ó thể thay th ế c h o n h au ) và đ ư ợ c k ý hiệu như sau:

• ( F „ F 2, , F n)

H ợ p lự c c ủ a hệ lự c là m ộ t lự c d u y nhất tương đương v ớ i hệ lự c ấy

G ọ i R là h ợ p lự c củ a hệ lực ( F 1, F 2, , F n), ta có;

R * ( F , , F 2, , F b)

H ệ lự c câ n b ằn g là hệ lực nếu tác dụng lên vật rắn k h ô n g là m thay

đ ổ i trạng thái c h u y ể n đ ộ n g củ a vật c ó được kh i không ch ịu tác d ụ n g củ a

hệ lự c ấy T r o n g trư ờ n g h ợp riê n g , dư ới tác dụng của hệ lực vật rắn cân

băng thì hệ lực đư ợ c g ọ i là hệ lự c cân bằng H ệ lực cân bằng cò n g ọ i là hệ lục tương đ ư ơn g v ớ i k h ô n g và đ ư ợ c k ý hiệu:

- H ệ lực son g so n g (hệ lự c song son g p h ẳn g và hệ lự c song song

k h ô n g g ia n ) k h i đư ờng tác d ụ n g cá c lự c song song v ớ i nhau.

- H ệ lực đ ồ n g q u y (hệ lự c đ ồ n g q u y phẳng và hệ lự c đ ồ n g q u y k h ô n g

g ian ) k h i đ ư ờn g tác d ụ n g c á c lự c đ i qua cù n g m ột đ iể m

- H ệ ngẫu lự c (hệ n g ẫ u lự c phẳng và hệ n g ẫu lự c k h ô n g g ian ) k h i hệ lực g ồ m c á c c ặ p lực (tức từng đ ô i m ột) song son g ngược c h iề u và cù n g

c ủ a ngẫu lực tro n g m ặt p h ẳn g và cư ờn g đ ộ tác d ụ n g củ a ngẫu lực C ư ờ n g

đ ộ tác d ụ n g n g ẫu lực p h ụ th u ộ c v ào g iá trị củ a c á c iực thành phần và tay

đ ò n n g ẫu lực (k h o ả n g c á c h g iữ a h ai đ ư ờn g tác d ụ n g củ a hai lực thành

p h ẩn ) N g ư ờ i ta đ ù n g tích s ố F d , đ ư ợ c g ọ i là trị s ố m ô m e n củ a ngẫu lự c,

để đ ặ c trưng c h o cư ờ n g đ ộ tác d ụ n g củ a ngẫu ỉực.

Đ ể b iểu d iễ n các đ ặ c trưng củ a ngẫu

lự c người ta d ù n g vectơ m ô m e n ngẫu lực, 1 m

k ý h iệu m , c ó g ố c tại m ặt phẳng ngẫu lực, ^ ^

h ư ớ n g vu ô n g g ó c v ớ i m ặt phẳng ngẫu lực

sao ch o k h i n h ìn từ đầu m ú t củ a vectơ ấy

x ụ ố n g m ặt phẳng ngẫu lực thấy chiều

q u a y của ngẫu lực ngược ch iề u q u ay k im

đ ồ n g hồ và c ó m ô đ u n bằng trị số m ôm en

n g ẫu lực, tức bằng F d (h ìn h 1.3) Hinh 1-3

c) Đ ịn h lý liê n h ệ g iữ a v e c tơ m ô m e n n g ẫ u lự c và m ô m e n c ủ a lự c

1.2 CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC

Đ ị n h lu ậ t 1: Đ ịnh lu ậ t v ề h a i lực cân bằng

Đ iề u kiện cần và đủ đ ể ch o vậ t rắn cân b ằ n g dư ới tá c d ụng của hệ hai lự c là ch ú n g có cù n g đường tá c dụng, hướng ngược ch iều n h a u và có cùng cư ờng độ.

H a i lự c thoả m ãn đ ịn h luật 1 đư ợc g ọ i là

hai lực câ n b ằng (h ìn h 1.5) Đ ịn h lu ậ t 1 đưa ra

một tiê u ch u ẩ n v ề că n bằng. N ó i k h á c đ i, để

biết m ộ t hộ lực đ ã c h o c ó câ n bằng h a y k h ô n g ta

cần ch ứ n g m in h rằng hệ lự c ấy tương đ ư ơn g v ớ i

hai lự c câ n bằng D o đ ó , cần p h ải b iế n đ ổ i hệ

_ „ I , A, , 1 , « V I , I

Hlnh 1.5

lực đã c h o (b iến đ ổ i tương đư ơng) về h a i lự c.

H a i đ ịn h luật tiếp theo c h o hai p h ép b iến

đ ổ i tư ơng đư ơng.

Hinh 1.7

N h ư v ậ y , lự c tác d ụ n g lê n vật rắn đ ư ợ c b iể u d iễ n bằn g ve ctơ trượt

C ầ n ch ú ý rằng, tín h ch ấ t nêu trên c h ỉ c ó đ ố i v ớ i vật tuyệt đ ố i rắn.

Đ ịn h lu ậ t 3 : Đ ịn h lu ậ t h ìn h b ình h ành lực

H ệ h ai lực cùng đ ặ t tại m ộ t điểm của vật rắn

tương đương với m ộ t lực đ ặ t tại điểm đ ặ t chung và có

vectơ lực b ằng vectơ chéo hìn h bình hành m à h ai cạnh

là hai v e c tơ b iể u diễn h a i lực thành p h đ n (hình 1.7).

N h ờ hệ q u ả vừa n ê u trên, đ iề u k iệ n h a i lự c c ù n g

đặt m ột đ iểm c ó thể thay thế bằng điều k iệ n hai đường

N ố i k h á c đ i, hệ lự c tác d ụ n g lê n vật b iế n d ạ n g đã câ n bằng thoả m ẫn

nh ữ ng đ iể u k iệ n k h i n ố tác d ụ n g ỉê n vật rắn c â n bằng V ậ y, nhữ ng đ iề u kiện câ n b ằ n g củ a vậ t rắ n cũ n g là nhữ ng đ iề u k iệ n cẩn (n hư ng k h ô n g đủ )

củ a vật b iế n dạng câ n bằn g Đ ể là m sáng tỏ đ iề u n à y ta xét trường h ợ p lò

Hình 1.9

XO (vật b iế n dạng) G iá sử lò x o cân bằng, k h i đ ó lò x o ở trạng thái nén hoặc trạng thái kéo và hệ lực tác d ụ n g lên lò xo ớ trạng Ihái cân bằng kéo hoặc nén đểu thoả m ãn d ịn h luật 1 như vật rắn cân bằng (h ìn h 1.9).

T u y n h iên , nếu tác dụng lên lò x o cân bằng

ở trạng thái nén bởi hai lực cân bằng ớ trạng

thái kéo thì lò x o sẽ kh ôn g cân bằng được m à

sẽ bị dãn ra, trong k h i đ ó vật tuyệt đ ố i rắn vẫn

cân bằng dưới tác d ụ n g của hai iực cãn bằng

như vậy.

N h ờ đ ịn h lu ậ t 5 có th ể s ử d ụng các kết

q u ả d ã nghiên cứu đ ố i với vật rắn cân bằng cho

trư ờ ng h ợ p vật b iể n d ạ n g cân bằng T u y n h iên , cá c k ế t q u ả đ ó chưa đủ đ ể

g iả i q u y ế t b ùi toán cân b ả n g của vật biển d ạ n g m à cần p h ả i thêm các giá

th iế t v ề b iến d ạ n g ( v í dụ đ ịn h lu ậ l H ú c trong sức bền vật liệu ).

Đ ị n h lu ậ t 6: Đ ịn h lu ậ t th a y t h ế tương đư ơ ng liên kết (định luật giải

p h ó n g liên kết).

V ậ t kh ô n g tự d o (tức vật chịu liên kết) cân b ằ n g có t h ể được xem là

v ậ t tự d o cân b ằng nếu g iả i p h ó n g cá c liên kết, th a y th ế tác dụng củ a các liê n kết đư ợ c g iả i p h ó n g b ằ n g các p h ả n lực liên k ế t tương ứng.

N h ờ đ ịn h luật thay th ế tương đư ơng liê n kết, cá c đ ịn h lý phát biểu

c h o vật rắn tự d o vẫn đ ú n g đ ố i v ớ i vật rắn c h ịu liê n kết, k h i xem nó là vật

tự do c h ịu tác d ụ n g củ a hệ lực g ồ m các lực hoạt đ ộ n g tác d ụ n g lên nó và

c á c phản lực liê n kết tương ứng v ớ i c á c liê n kết đư ợc thay thế.

C h ú ý rằng, đ ịn h luật thay th ế tương đư ơng liê n kết đ ú n g cả đ ố i v ớ i

đ ộ n g , ch ú n g phụ th uộc v ào c á c lự c hoạt đ ộ n g tác d ụ n g lê n vật k h ả o sát

D o đ ó , v iệ c n g h iê n cứu cấ u trúc củ a c á c liê n kết k h ô n g c h o ph ép xác đ ịn h

c á c trị s ố củ a c á c phản lự c liê n kết m à c h ỉ c h o biết c á c đặc trưng phương,

c h iề u củ a ch ú n g

L iên k ế t tựa: H a i vật liê n kết tựa k h i ch ú n g trực tiếp tựa lên nhau G iả

Sỉử chỗ tiếp xúc giữa hai vật tựa lên nhau được thực hiện theo các bề mặt,

h o ặ c theo cá c đ ư ờ n g , h o ặc th eo m ặt và đư ờng, h o ặ c theo đ iể m và bề mặt

h a y đ iể m và đư ờng là hoàn toàn n h ẵ n th ì ph ản lự c tựa c ó p h ư ơn g vu ô n g

g ó c v ớ i m ặt tựa (hoặc đư ờ n g tựa) (h ìn h 1.10).

L iên kếi d â y m ềm , th ẳ n g: P h ả n lự c củ a d â y tác d ụ n g lên vật k h ả o sát đặt v ào c h ỗ b u ộ c d â y vằ hư ớng v ào d â y P h ả n lự c c ủ a d â y c ò n đ ư ợ c g ọ i là sức căn g củ a d â y , k ý h iệ u là T (h ìn h 1.1 la ) T r o n g trư òng h ợ p d â y vòn g

q u a vật thì phản lự c d â y hưứng d ọ c d â y và hư ớng ra đ ố i v ớ i m ặt cắt của

n à y h a i vật tựa v à o nhau theo

đ ư ờ n g nhưng đ iể m tựa chưa

x á c đ ịn h

P h ả n lự c liê n k ết R trong

trư ờ n g h ợ p n ày đ i qua tâm của

trụ c và c ó ph ư ơn g, c h iề u chưa

x á c đ ịn h (h ìn h 1.12) H ình 1.12

V ì vậy chúng thường được phân thành hai thành phần vuông góc v ớ i nhau

Rx và R y , nằm trong mặt phẳng thẳng góc với đường trục tầm của bản lể.

L iên kết gối-. Đ ể đ ỡ các dầm và kh u n g n g ư ờ i ta dùng các liê n kết, có dạng gối c ố đ ịn h (h ìn h 1.13a) và g ố i c o n lăn (h ìn h 1.13b) Phản lực liê n kết của g ố i c ố đ ịn h được xác đ ịn h như liê n kết bản lề, c ò n phản lực liê n kết của g ố i có con lãn đư ợc tìm theo q u y tắc của phản lực liê n kết tựa.

L iên k ế t gối cầu: L iê n kết g ố i cầu c ó thể thực h iện n h ờ quả cầu gắn

v ào vật c h ịu liê n kết và đư ợc đặt tron g m ột v ỏ cầu gắn liề n v ớ i vật gây liê n kết P hản lực g ố i cầu đ i qua tâm o củ a vỏ cầu , c ó p h ư ơ n g , ch iề u chưa biết (h ìn h 1.14a).

T h ô n g thường ph ản lực g ố i cầu đư ợc ph ân thành ba thành p h ầ n v u ô n g

thành phần lực thảng g ó c nhau và ba thành phần ngẫu lự c tro n g ba mặt

L iên k ế t thanh: L iê n kết thanh được

thực h iện n h ờ các thanh, thoả m ãn các

đ iề u k iệ n sau: C h ỉ c ó lự c tác d ụ n g ở hai

đ ầu , cò n d ọ c thanh k h ô n g c ó lực tác d ụ n g

và trọng lư ợ n g thanh k h ô n g đ án g kể.

N h ữ n g liê n kết tại h ai đầu thanh được thực

h iệ n n h ờ bản lề trụ, c ầ u , D ự a theo đ ịn h

luật 1, phản lực liê n kết thanh nằm d ọ c

theo đ ư ờn g n ố i h ai đ iể m đặt lực liê n kết

tại h ai đầu thanh (h ìn h 1.16).

N ó i chu ng, liên kết c ó thể có kết cấu đa

dạng Đ ể xác định phương, ch iểu của phản

lực liên kết trong trường hợ p chu ng, được

hư ớng dẫn theo q u y tắc sau: tương ứng v ớ i

hướng d i chu yển thẳng b ị cản trở có phản lực ngược ch iều , tương ứng với hưứng d i ch u yển qu ay bị cản trở c ó ngẫu phản lực ngược chiều.

1.3 CÁC HỆ QUẢ

T ừ hệ c á c đ ịn h ỉu ật ta su y ra cá c kết qu ả sau.

1.3.1 Hợp các lực đồng quy

G iả sử c ó hệ lực đặt tại o (trường h ợ p hệ lự c c ó các đ ư ờ n g tác d ụ n g

đ i qu a o thì áp d ụ n g hệ qu ả trượt lực c ó thể đưa về trư ờng h ợ p n à y) Á p

Hỉnh 1.16

dụng trực tiếp đ ịn h luật 3 ta tìm được hợp lực R , nó di qua d iêm d ổ n g

quy và có dạng (hình 1.17),

R = F , + F 2 + + F n = Ỉ F K (1 4)

k = l

Đ ê x ác đ ịn h ph ư ơn g, ch iều và g iá trị h ợp lực R của hệ lực đ ồ n g qu y

có thể dù ng phương ph áp vẽ hoặc ch iế u (tức tìm các h ìn h ch iếu của hợp lực trên ba trục toạ đ ộ vu ô n g góc).

Hình 1.17

1 P h ư ơ n g p h á p vẽ

N h ư đã thấy trên h ìn h 1.17a, h ợp lực R là v e c tơ kh ép k ín của đa g iá c

O A B C D , cá c cạnh của nó là những v ectơ song song, cù n g ch iều và có

cù n g trị sô' v ớ i các v ectơ b iểu d iễ n các lực thành phần Đ a g iá c O A B C D

đ ư ợ c g ọ i là đa g iá c lực.

C h ú ý rằng, đa g iá c lực đ ư ợ c vẽ k h ô n g bắt b u ộ c phải xuất phát từ

đ iể m d ồ n g q u y o cua hệ iực m à c ó thé từ đ iể m 0| tu ỳ ý (h ìn h 1.17b)

V ậ y : H ợ p lực của hệ lực đ ồng q u y được b iểu d iễ n b àng v e ctơ khép kín

c ủ a da g iá c lực đ ặ t tại đ iể m đ ồng quy.

R / = F „ + F 2 / + + Fn ỉ = 5 X

Từ đó dễ dàng xác định được phương, chiều và giá trị của hợp lực:

trong đ ó a , p , Ỵ là góc hợp bởi vectơ R v ớ i cá c trục O x , O y , O z.

V e c t ơ R ’ = Z F k , vectơ khép kín củ a đa g iá c lự c, đư ợc g ọ i là v e c tơ

c h ín h củ a hệ lự c (F|, F 2 F n).

V ậ y : H ợ p lực của hệ lực đổng quy được b iể u d iễ n b ằng v e c tơ ch ín h

củ a h ệ lực đ ặ t tạ i điểm đổng quy.

1.3.2 Các định lý về biến đổi tương đương ngẫu lực

Đ ịn h lý 1 - 1 H ai ngẫu lực có vectơ m ô m en b ằng n h a u th ì tương

đư ơ ng với n h a u

Sự đứ ng đ ắ n củ a định lý vừa nêu được rút ra từ hai tín h chất sau:

1 H a i n g ẫ u lự c cùng naằm trong m ột mặt p h ẳn g , c ó cù n g ch iề u q u a y

và c ù n g trị số mômen thì tương đương với nhau.

V ì hai tam g iá c A O A B và A O ' A ' B ' b ằn g n h a u n ên { ( ộ , ỹ ’) là hai lực cân bằn g, còn ( F , F ') tạo thành n g ẫu lự c, tức là:

(F „ F ;)» (F ,F ,, ị , ỉ ,)* (F ,F )

D o d iệ n tích củ a h a i tam g iá c A O O ' C và A O O ' A b ằn g nhau (có cùng đ á y 0 0 ’ và cù n g c h iề u ca o h v ì C A song s o n g v ớ i O O ’ ) nên hai ngẫu lực ( F j , F j ) và ( F , F ) c ó m ô m e n bằn g nhau v à th eo g iả thiết, bằng

m ôm en ngẫu lực ( F i , F 2).

V ậ y : = F 2d 2 = F d 2

T ừ đó: F s F 2 ; F ' s F 2

N g h ĩa là ta đã b iến đ ổ i n g ẫu lự c ( F f, F j ) thành n g ẫ u lự c ( F , F ' ) tương

đư ơng v ới nó, m à ngẫu lự c sau c h ín h là n g ẫu lự c ( F 2,F '2)

T ro n g trư ờng h ợ p đư ờ n g tác d ụ n g hai ngẫu lự c k h ô n g g ặp nhau (tức song song v ớ i nhau) thì áp d ụ n g đ ịn h luật 2 thêm v à o h a i lự c c â n bằng, ta

b iế n đ ổ i m ộ t ngẫu lực th àn h n g ẫu lự c k h á c tư ơng đ ư ơ n g v ớ i n ó và có

dư ờn g tác d ụ n g cắt đư ờ n g tác d ụ n g củ a ngẫu ỉự c k ia

b) T á c dụ ng củ a ngẫu lực k h ô n g thay đ ổ i k h i tác đ ộ n g lên nó các

p h é p biển d ổ i kh ô n g làm th a y đ ổ i v e c tơ m ô m en củ a nó (d ời tuỳ ý ngẫu lực trong mặt phẳng tác d ụ n g , d ờ i đ ế n các m ặt p h ẳ n g song song, th ay đổ i cán h tay đ ò n và lực thành phần).

c) T á c dụ ng củ a ngẫu lực đ ư ợ c đ ặ c trư n g h o à n toàn bằng v ectơ

B iến đổi hai ngẫu ]ực

trên thành hai ngẫu lực có

các lực thành phần nằm trên

giao tuyến 0 0 ’ , ngược chiều

nhau và có cùng trị số:

Từ dó suy ra: in =•• 1111 + ni;

Đ ị n h lý 1 - 3 H ợ p n Iiịịiht lực dược m ột ngẫtt lực ( ó vectư m ỡm ciĩ hằn? tổng các v e ctơ m ồ m e n của cá c ngâit lực d ã clio.

k»l

Chủ ý: K h i các ngẫu lực nằm trong m ột mặt phẳng, các vectơ m ôm en của các ngẫu lực đã ch o c ó phương song song với nhau, nên côn g thức ( 1 - 8 ) được thay bằng:

C h ư ơ n g 2

HÊ Lự c PHẲNG

H ệ lự c p h ẳ n g là tập h®p các lực tác dụ ng lên cù n g m ộ t vật rắn và c ó

đư ờ n g tác d ụ n g c ù n g nằm ỉtrong một mật phẳng K h i c á c đ ư ờ n g tác dụ ng cắt nhau tại m ộ t đ iể m thì hiệ lực được g ọ i là hệ lự c đ ồ n g q u y p h ẳn g , còn

k h i cá c đ ư ờ n g tác dụ ng c á c lực song song nhau th ì ta c ó h ệ lự c so n g song

c ù n g c h iề u (n ếu c h iề u các Hực như nhau) hoặc ngược c h iề u (nếu có nh ữ ng

lự c c ó c h iể u trá i nhau) Trường hợp riên g, nếu hệ lực g ồ m c á c ngẫu lực

n ằ m tro n g c ù n g m ộ t mặt phẳng hoặc trong những m ặt ph ản g song song

n h au (tron g trư ờng hợp n à y dựa vào đ ịn h lý 1, ch ư ơ n g 1 có thể đưa về tron g c ù n g m ộ t m ặt phẳng> thì ta có hộ ngẫu lực phẳng.

2.1.1 Cho hộ lực phẳng (F|tF2, f F N)(h ìn h 2.1)

a) Đ ịn h n g h ĩa : V e c tơ chính của hệ lự c, k ý h iệu R ' là v e c tơ tổ n g củ a

c á c v e c tỡ lự c cu a hệ lực:

b ) P h ư ơ n g p h á p xá c định vectơ chính: Sử d ụ n g p h ư ơ n g p h á p đ a g iá c

lự c (C h ư ơ n g 1, m ụ c 1.3.1) để vễ VẽCtơ ch ín h T r o n g trư ờng h ợ p n à y đa

g iá c lự c là đ a g iá c phẳng (hình 2.1) hoặc tìm h ìn h c h iế u củ a n ó trên các trục toạ đ ộ v u ô n g góc theo công thức ( 1 - 8 )

N

( 2 - 1 )

Hlnh 2.1

T ro n g trường h ợ p n ày c h ỉ cần x á c đ ịn h các h ìn h c h iế u trên 2 trục vuông góc v ớ i n h au, v í dụ:

h ổ , và lấ y d ấu tro n g trường hợp

ngược lại T r o n g h ìn h 2 2 thì: H inh 2.2

m 0 = + F d

M ô m e n của lực đ ố i v ớ i đ iểm bằng không kh i lực qua đ iể m lấ y m ôm en

V ề trị số m ô m e n củ a lực đ ố i v ớ i đ iể m bằng hai lầ n d iệ n tíc h c ủ a tam g iá c

b) M ô m e n c h ín h c ủ a h ệ lự c p h ẳ n g đ ố i với đ iể m o là đ ạ i lư ợn g đại

số, k ý h iệu m°, bằng tổn g (đại số) m ô m e n c ủ a c á c lực củ a hộ lực đ ố i với

đ iể m O :

m« = m 0( F 1) + m 0 ( F2) + + m 0 ( F N) = ^ m 0 ( F ' ) (2 - 9 )

k = I

c) N h ậ r t x é t

1 V e c tơ ch ín h ià vectơ tự d o , còn m ôm en c h ín h phụ thuộc vào d iểm lấy

m ôm en N h ư vậy, m ôm en ch ín h d ố i với hai đ iể m k h á c nhau sẽ khác nhau:

m ‘> ' = m ° + m l, ( R 0 ) ( 2 - 1 0 )

T ín h chất này là Đ ịn h lý b iế n th iê n m ô m e n c h ín h sẽ được chứ ng

m in h trong trường h ợp hệ lực k h ô n g g ian (C h ư ơ n g 4).

đ ư ợ c chứng m in h

N h ậ n xét. T ừ đ ịn h lý trên, d ễ d àn g nh ận đ ư ợ c kết quả sau: N ế u có

m ột lực F tác d ụ n g tại m ộ t đ iể m o và đ ồ n g phẳng v ớ i m ột ngẫu lực m thì c ó thể thay th ế tương đ ư ơ n g b ằn g m ộ t lự c c ó v e c tơ lực bằn g F đạt tại

m F , về p h ía m à c h iề u q u a y củ a nó

2.2.3 C á c trưdng hợp xảy ra

K h i th u g ọ n hệ lực phẳng về một tãm o c h o trước c ó thể g ặ p c á c trư ờng h ợ p sau:

1 R „ = 0 ; m ° = 0 , tức k h i thu gọn hộ lực về tâm o , lực thu gọn và ngẫu lực thu g ọ n đều bằng k h ô n g , tức hệ lực tương đ ư ơ n g k h ô n g tại tâm thu gọn T a sẽ ch ứ n g m in h rằng, hệ lực đã ch o cân b ằ n g

2 R „ = 0 , m ° * 0 , tức hệ lực đã cho tương đư ơng

với m ột ngẫu lực tác dụng tại o, có m ôm en bằng m ô m e n

ch ín h của hệ lực đ ố i vớ i tâm thu gọn o (hình 2.7).

3 R 0 * 0, m ° = 0 , tro n g trư ờng hợp này hệ lự c đã

c h o tương đ ư ơn g v ớ i tác d ụ n g củ a m ột lực tại o , tức hệ

lự c có h ợp lự c đ ư ợ c b iể u d iễ n b ằn g vectơ ch ín h c ủ a hệ

T ro n g trường hợp n à y hệ lực tương đương vói m ộ t lự c đặt tại đ iể m 0 „

c á c h tâm thu gọn o m ột k h o ản g d được xác định theo c ô n g thức (2 - 12) sao

c h o chiều củ a lực thay th ế qu an h tâm thu gọn o thuận c h iề u v ớ i ngẫu lực thu

g ọ n N h ư v ậ y hệ lực đã c h o c ó h ợp lực đặt tại o ,

D ự a v à o kết q u ả th u g ọ n hệ lực p h ẳ n g về m ộ t tâm o ch o trước và tín h bất b iế n c ủ a v e c tơ c h ín h đ ố i v ớ i tâm thu g ọ n và đ ịn h lý biến thiên

m ô m e n c h ín h k h i tâm thu g ọ n thay dổi , ta t ì m đ ư ợ c cá c dạng ch u ẩn (tức

C hứng m in h : G iả sử hệ lực có h ợp lực, k ý h iệ u là R , theo định n g hĩa nó

là lực d u y nhất tương đ ư ơ n g vớ i hệ lực cho T h u g ọ n hệ lực về điểm O , trên

đư ờng tác d ụ n g củ a h ợ p lực R L ẽ tất nh iên ngẫu lực thu gọn vể o , phải bằng

trư ờ n g h ợ p g iớ i hạn c ủ a hệ lự c tập trung (hệ

lự c p h ẳn g son g so n g c ù n g c h iề u ) , v ớ i c á c iự c

X é t hai trường hợ p riêng isaiu::

T rị sô' của hợp lực tính theo cômg Ihức (2 - 13) bằng:

củ a tam g iá c p h ân b ố lực) và c á c h đỉnh

củ a tam g iá c p h â n b ố lực một địoạn bằng

H ệ lự c ph ân b ố c ó hợp lực c ó giá trị bằng d iệ n tíc h (v ớ i tỷ lệ x íc h n à o

đ ó ) củ a biểu đ ồ p h ân bố lực và đ i qua trọng tâm c ủ a b iể u đồ.

2.3 Đ I Ề U K IỆ N C Â N B Ằ N G V À C Á C D Ạ N G P H Ư Ơ N G T R ÌN H C Â N B Ằ N G

C Ủ A H Ệ Lực P H Ẳ N G

2.3.1 Điều kiện cân bằng

Đ ịn h lý 2 - 4 Đ iều kiện cần và đủ đ ể hệ lực p h ẳ n g cân bằng là vectơ chính và m ô m en ch ín h của hệ lực đ ố i với m ộ t đ iểm b ất kỳ p h ả i đồng thời triệt tiêu.

C h ứ n g m in h Đ i ề u k iệ n cần đ ư ợ c ch ứ n g m in h dựa vào c á c dạn g

ch u ẩn củ a hệ lự c v ì nếu đ i ều k iệ n (2 - 15) k h ô n g th oả m ãn thì hệ lực phẳng hoặc tương đ ư ơ n g v ớ i m ột lực h o ặ c m ột ngẫu lực D o đó đ ịn h luật 1

sẽ k h ô n g đư ợc th oả m ã n Đ iề u k iệ n đ ủ là h iể n n h iê n , v ì k h i v e ctơ c h ín h bằng k h ô n g , hệ lự c th u về o sẽ đ ư ợ c m ộ t n g ẫ u l ực, tức thu về 2 lự c N ế u ngẫu lực bằng k h ô n g th ì h a i lực đ ó là h a i lự c c â n bằng.

2.3.2 Các dạng phương trình cân bằng của hệ lực phẳng

T ừ điều k iện cân bằng ( 2 - 1 5 )

H a i p h ư ơ n g trìn h đ ầ u tương đ ư ơ n g v ớ i đ i ề u k iệ n cầ n và đ ủ để v e ctơ

c h ín h R = Z F k c ủ a hệ lự c triệt tiêu P h ư ơ n g trìn h thứ ba đ ả m bảo m ô m e n

tchính của hệ lực đối với điểm o bất k ì triệt tiêu, vì:

với đi ều k iệ n trục X k h ô n g v u ô n g g ó c v ớ i đ o ạ n A B

C h ứ n g m in h : Đ iề u k iệ n c ầ n đư ợc chứ ng m in h d ự a vào c á c dạng

ch u ẩ n củ a hệ lự c N ế u c á c đ iề u k iệ n k h ô n g đ ư ợ c th oả m ã n th ì hệ lực

p h ẳn g h o ặ c tương d ư ơ n g v ớ i m ộ t ngẫu lự c hoặc c ó h ợ p lự c , tức k h ô n g thoả m ã n đ ịn h lu ật 1, n g h ĩa là hệ lự c k h ô n g câ n bằn g.

Đ ể c h ứ n g m in h đ iề u k iệ n đ ủ ta ỉý lu ậ n như sau:

T ừ đi ều k iệ n tổ n g h ìn h c h iế u c á c lực trên trục X triệ t tiêu rút ra h ìn h

ch iế u củ a v e c tơ c h ín h c ủ a hệ lự c trên trục X triệt tiêu C ó h a i k h ả năng

nên hệ lực c ó h ợ p lự c, đ ư ờn g tác d ụ n g củ a n ó qu a 2 đ iể m A và B, tức phương v e c tơ c h ín h p h ải son g son g vớ i đ ư ờn g chứ a đoạn A B , đi ều này

m âu thuẫn v ớ i trên.

D o đó: R = 0

b) R ' = 0, khi thu gọn hệ lực phẳng về một điểm o nào đó ta nhận

được ngẫu lự c thu g ọ n c ó m ô m e n thu gọn m ° D ự a v ào đ ịn h lý biến thiên

Đ ể ch ứ n g m in h đ ié u k iệ n đ ủ , ta ch ú ý rằn g nếu c á c đ iề u k iệ n (2 - 18)

đ ư ợ c thoả m ã n thì c á c n g ẫu lự c thu g ọ n tại A , B và c đ ều bằng k h ô n g

V ậ y , nếu hệ lự c có h ợ p lự c th ì ba đ iể m A , B , c p h ải n ằ m trên đư ờng tác

d ụ n g c ủ a h ợ p lự c N ó i c á c h k h á c , đư ờng tác d ụ n g củ a h ợ p lực ph ải đ i qua

Đ iề u k iệ n cẩn vâ đủ đ ể h ệ ỉực p h ẳ n g so n g so n g câ n b ằ n g là tổ n g các

h ìn h c h iế u củ a cá c lực trê n m ộ t trụ c kh ô n g vu ô n g g ó c với đường tá c dụng

c á c lự c và tổ n g m ô m en c ủ a c á c lự c đ ố i với m ộ t đ iể m d ồ n g th ờ i tr iệ t tiêu:

2 X = 0 ; ] T m o (Fk ) = 0 ( 2 - 1 9 )

với đ iề u kiện trụ c ch iếu y kh ô n g vuông g ó c với đư ờng tá c d ụ n g củ a cá c lực.

Đ iề u k iện cần và đ ả đ ể h ệ lực p h ẳ n g so n g so n g câ n b ằ n g là tổng

m ô m en c ù a c á c lực đ ố i với h a i đ iể m A , B k h ô n g c ù n g n ằ m trên m ộ t đường

so n g so n g với các lực đ ều triệ t tiêu , tức:

Ẻ m A (Fl ) = 0 ; Ị ; > B s (F1) = 0 ( 2 - 2 0 )

với đ iề u k iện A B kh ô n g so n g so n g với cá c lực.

V í d ụ 2 - 1 D ầ m A B c ó c h iề u d ài 4 a đư ợc đặt trên h a i g ố i n h ư h ìn h 2.15 D ầ m c h ịu tác d ụ n g c ủ a h a i lự c tập tru n g th eo p h ư ơ n g đứ ng hướng

x u ổ n g tại c và D ( C là đ iể m giữ a c ủ a d ẩ m , c ò n D c á c h đ ầu m ú t A của

d ầ m m ộ t đ o ạ n a) và m ộ t lự c F theo ph ư ơn g n g an g c á c h đ ư ờ n g trục của

d ầ m m ộ t k h o ả n g d.

X á c đ ịn h c á c p h ản lự c tại g ố i đ ỡ (lấ y d = J ỹ a).

B à i g iả i

K h ả o sát dầm A B cân bằng d ư ớ i tác d ụ n g hệ lự c phẳng g ồ m các lực hoạt đ ộ n g p , Q và F và h a i phản lực liê n kết củ a g ố i đ ỡ A và B (phản lực tại A gồm thành phần thẳng đứng và nằm n g an g X A , Y A , c ò n phản lực tại

Đ ể là m rõ vấn đề n à y , ta lư u ý rằn g trong trư ờng h ợ p tổng quát k h ô n g

b iế t trước c h iề u c ủ a cá c p h ản lực liê n kết, v ì c h ú n g ph ụ th u ộ c v ào cá c lực