Chứng minh đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M, N thay đổi.
Trang 1đề thi tuyển vao thpt chuyên toán
Năm học: 2007 2008–
( Vòng 2 )
Thời gian làm bài: 150 phút.
-Bài 1: ( 4 Điểm )
1 Chứng minh rằng: số x 0 = 2+ 2+ 3 − 6−3 2+ 3 là một nghiệm của phơng trình x4 – 16x2 + 32 = 0
3 x x
3 x 3 x x
3 x
2 2 2
2
=
−
−
− +
+ + +
Bài 2: ( 4 Điểm )
1 Cho x, y, z > 0 và x 2+y 2+z 2 ≤3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
zx 1
1 yz 1
1 xy 1
1 P
+
+ +
+ +
=
2 Tìm đa thức f(x) và g(x) với các hệ số nguyên sao cho: ( )
7 2 g
7 2
+
+
Bài 3: ( 4 Điểm )
1 Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x2 + xy + y2 = x2y2
2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2 thì tổng 2 2
n
1 n
16
15 9
8 4
3
không thể là số nguyên
Bài 4: ( 5 Điểm )
Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M khác B ) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD ( N khác D ) sao cho M AˆN =M AˆB+N AˆD
1 BD cắt AN và AM thứ tự tại P và Q Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đờng tròn
2 Chứng minh đờng thẳng MN luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định khi M, N thay đổi
3 Đặt SAPQ= S1; SPQMN= S2 chứng minh
2
1
S
S
không đổi khi M, N thay đổi
Bài 5: ( 2 Điểm )
Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dơng a1, a2 , , a… n+2 thoả mãn điều kiện 1≤a 1 <a 2 < < a n+2 ≤3 n Chứng minh rằng: Luôn tồn tại hai số ai, aj
(1≤i<j≤n+2) sao cho n < ai – aj < 2n