ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CHUYÊN CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 20132014

Câu 1 (2,5 điểm). Cho trước số thực a  0 và cho dãy số thực  xn  xác định bởi x1  a và xn1  17 16xn với mọi n  1 . Chứng minh rằng với mọi a  0 dãy  xn  có giới hạn hữu hạn khi n   . Hãy tìm giới hạn đó. Câu 2 (1,5 điểm). Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn x2  y2  z2  1 . Chứng minh rằng 2 2 2 1 1 1 6 2 2 2  x  y   y  z   x  z                    . Câu 3 (1,5 điểm). Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn phương trình  x2  y y 2  x  2 x  y3 . Câu 4 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB  AC . Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại T. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O, đường thẳng OT cắt đường thẳng BD tại điểm E. a) Chứng minh rằng AE song song với CD. b) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AT tại F. Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt EO tại điểm G khác E. Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm trên (O). Câu 5 (1,5 điểm). Một số nguyên dương k được gọi là đẹp nếu có thể phân hoạch tập hợp các số nguyên dương  thành k tập hợp A1, A2,..., Ak sao cho với mỗi số nguyên dương n  15 và với mọi i 1; 2;...; k đều tồn tại hai số thuộc tập Ai có tổng là n. a) Chứng minh rằng k  3 là đẹp. b) Chứng minh rằng mọi k  4 đều không đẹp.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề Môn: TOÁN THPT CHUYÊN

Ngày thi 25/10/2013 Câu 1 (2,5 điểm) Cho trước số thực a  và cho dãy số thực 0   xn xác định bởi

1

x  và a xn1 17 16  xn với mọi n  1 Chứng minh rằng với mọi a  dãy 0   xn có giới hạn hữu hạn khi n   Hãy tìm

giới hạn đó

Câu 2 (1,5 điểm) Cho ba số x y z không âm thỏa mãn , , x2 y2  z2  1

Chứng minh rằng

Câu 3 (1,5 điểm) Tìm các số tự nhiên x y thỏa mãn phương trình ,

2

x  y y  x  x  y

Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) với AB  AC

Tiếp tuyến tại A của (O) cắt BC tại T Gọi D là điểm đối xứng của A qua O, đường thẳng OT cắt đường thẳng BD tại điểm E

a) Chứng minh rằng AE song song với CD

b) Đường thẳng BE cắt đường thẳng AT tại F Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt EO tại điểm G khác E Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp tam giác AGB nằm trên (O)

Câu 5 (1,5 điểm) Một số nguyên dương k được gọi là "đẹp" nếu có thể phân hoạch

tập hợp các số nguyên dương  thành k tập hợp  A A1, 2, , Ak sao cho với mỗi số nguyên dương n  15 và với mọi i   1;2; ; k  đều tồn tại hai số thuộc tập Ai có tổng

là n

a) Chứng minh rằng k  là đẹp 3

b) Chứng minh rằng mọi k  đều không đẹp 4

……… Hết………

- Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay

- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

- Họ và tên thí sinh ……….Số báo danh……….

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM

(Gồm 04 trang)

Lưu ý khi chấm bài:

- Đáp án chỉ trình bày một cách giải bao gồm các ý bắt buộc phải có trong bài làm của học sinh Khi chấm nếu học sinh bỏ qua bước nào thì không cho điểm bước đó

- Nếu học sinh giải cách khác, giám khảo căn cứ các ý trong đáp án để cho điểm

- Trong bài làm, nếu ở một bước nào đó bị sai thì các phần sau có sử dụng kết quả sai đó không được điểm

- Học sinh được sử dụng kết quả phần trước để làm phần sau

- Trong lời giải câu 4 nếu học sinh không vẽ hình thì không cho điểm

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

Câu 1 (2,5 điểm)

Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được x n0  n

Xét hàm f x  17 16 , x x0 Ta có   8 0 0

17 16

x

 , do đó hàm số

 

f x đồng biến trên (0;), suy ra dãy  x n đơn điệu

Xét hàm g x  f x x x,  ta thấy 0     

17 16

g x

    suy ra

g x  x và g x 00x17; g x 0x17

* Nếu a 17 thì x n17  , do đó dãy n 1  x n hội tụ và lim n 17

n x

* Nếu 0a17 thì x2 f a ax1 suy ra  x n đơn điệu tăng

Dễ thấy  x n bị chặn trên bởi 17 Suy ra dãy hội tụ về  mà g  0, do đó

lim n 17

n x

* Nếu a 17 thì x2 f a ax1 suy ra  x n đơn điệu giảm

Dễ thấy dãy  x n bị chặn dưới bởi 17, tương tự dãy hội tụ và lim n 17

n x

Kết luận: Với mọi a 0 thì dãy hội tụ và lim n 17

n x

Câu 2 (1,5 điểm)

Bình phương hai vế của BĐT cần chứng minh ta được BĐT tương đương:

           

cyc

Ta có

1

Tương tự

1

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwart ta được:

2

( 1)( 1)

1

Cộng theo vế các BĐT tương tự ta được:

cyc

xy yz x y z  xyyzzx xyyzzx

Hay

cyc

     

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

xyz

Câu 3 (1,5 điểm)

 2  2   3

2

x y y x  xy (1)

Nếu x 0 thì y 0 và ngược lại

Ta xét x,y nguyên dương Từ (1) suy ra x y Biến đổi (1):

4 x  y y x 8 xy  x yy x  x yy x 8 xy

Mà x2yy2 x xyxy1 nên ta được:

x2yy2x2 xy28xy  xy12

Do đó 8xy  xy12 là số chính phương

Ta có  2    2  2

xy  xy  xy  xy (2)

Mặt khác từ (1) suy ra x,y cùng tính chẵn lẻ Kết hợp với (2) và 8xy  xy12 lẻ

suy ra 8xy  xy12xy12 x3y

Khi đó  2  2  3 3

27

2 xy 16y , mâu thuẫn với (1)

Vậy (1) có nghiệm duy nhất x y ;  0; 0

Câu 4 (3,0 điểm)

D M

E

B

O A

C T

a) (2,0 điểm)

Gọi M là trung điểm của BC thì OM BC , mà OA AT suy ra tứ giác AOMT nội

tiếp, suy ra AOT  AMT EOD AMC

Kết hợp với BDA  ACB , suy ra AMC EOD

Mà M là trung điểm BC, O là trung điểm AD ta suy ra

   ABC EAD

Mà ABC  ADC, suy ra EAD ADC AE CD|| (đpcm)

D

I G F

M E

B

O A

C T

b) (1,0 điểm)

Từ phần a) ta có FAE DAC FGE DBC FBT , suy ra tứ giác FGBT nội

tiếp

Từ đó TGB  TFB EGA Do đó GO là phân giác của góc AGB

Mặt khác OAOB suy ra O là giao điểm của phân giác trong góc AGB và trung trực

của AB Do đó tứ giác AGBO nội tiếp

Gọi I là giao điểm của đoạn GO với (O) Do OAOBOI nên ta suy ra ngay I chính

là tâm nội tiếp tam giác AGB, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Câu 5 (1,5 điểm)

a) (0,5 điểm)

Với k 3 ta chỉ ra một cách phân hoạch tập  thành 3 tập  A A A thỏa mãn như 1, 2, 3

sau:

1 1; 2;3 3 | 4

2 4;5; 6 3 1| 4

3 7;8;9 3 2 | 4

Vậy k  là đẹp 3

b) (1,0 điểm)

Xét k  Giả sử tồn tại cách chia 4  thành k tập  A A1, 2, ,A thỏa mãn đề bài k

Khi đó cách phân hoạch  thành 4 tập  A A A và 1, 2, 3 A4A5  A k cũng thỏa mãn

đề bài Do vậy chỉ cần xét với k  là đủ 4

Đặt B i  A i1; 2;3; ; 23 với i 1, 2, 3, 4

Ta thấy mỗi số thuộc tập 15;16;17; ; 24 (gồm 10 số) đều viết được thành tổng của hai 

số thuộc tập B (với mọi i i 1, 2, 3, 4)

Như vậy nếu B i m thì số tổng là C m2 10m 5

Vậy mỗi tập B đều có ít nhất 5 phần tử i

Mà B1  B2  B3  B4 23 nên không thể xảy ra B i 6,  i 1, 2,3, 4

Do đó phải tồn tại một tập B sao cho i B  Giả sử i 5 B i a a a a a1; 2; 3; 4; 5

Khi đó a ia j;1 i j515;16;17; ; 24

Suy ra  

15 16 24

i j

i j

  

 , hay 4a1a2a3a4a5195, vô lí

Vậy mọi k  đều không đẹp 4

……… Hết………