Quy hoach truc giao cap 2

MỤC LỤC Trang I. Thuật toán xác định phương trình hồi quy3 1. Chọn dạng của phương trình hồi quy3 2. Tính toán các hệ số hồi quy3 3. Tính phương sai tái sinh của hàm3 4. Tính phương sai của các hệ số hồi quy3 5. Kiểm tra tính có nghĩa của hệ số3 6. Tính phương sai dư3 7. Kiểm tra sự tương thích của hàm4 II. Xây dựng quy hoạch trực giao cấp 2 tới công nghệ chế tạo HK nhôm5 1. Chọn dạng của phương trình hồi quy và ma trận thực nghiệm5 2. Xác định các hệ số của hàm hồi quy6 3. Tính phương sai tái sinh của hàm6 4. Tính phương sai các hệ số hồi quy7 5. Chọn chuẩn số Student 7 6. Kiểm tra tính có nghĩa của các hệ số7 7. Xác định phương trình hồi quy và tìm giá trị của hàm theo lý thuyết7 8. Kiểm tra sự tương thích của hàm8 III. Xác định phương án công nghệ tối ưu9 1. Tìm cực trị theo phương pháp leo dốc của Box-Wilson9

1 Thuật toán xác định phương trình hồi quy

Trình tự các bước tiến hành nhằm xác định dạng của phương trình hồi quy được trình bày dưới đây:

1.1 Chọn dạng của phương trình hồi quy

0 j j jr jr jj j

y b b x b x b x (1.1) Trong đó y là giá trị được dự đoán bằng phương trình miêu tả bản chất quá trình cần tìm

1.2 Tính toán các hệ số hồi quy

2 uj (x Y ) / (x Y ) / N

b  x  ; u=(1, 2, N) (1.2)

(x Y ) / x

uj uj ( uj / )

1.3 Tính phương sai tái sinh của hàm

2

0 (Y Y ) / (n 1)

Với giá trị bình quân của hàm khi thí nghiệm ở tâm

0 1

Y  (1/ n )((Y   Y )n (1.6)

1.4 Tính phương sai của các hệ số hồi quy

1.5 Kiểm tra tính có nghĩa của hệ số

Được xác định bằng cách so sánh tỷ số (|bj|/S{bj}) với chuẩn số Student t(α,f) Nếu (| b |) / S{b }j j t( , f)  thì hệ số bj không có nghĩa và bị loại khỏi phương trình hồi quy t( , f) 

Giá trị của chuẩn số Student t( , f)  được tra bảng Ở đây được gọi là mức có nghĩa hoặc sai số cho phép, thông thường trong kỹ thuật ta chọn   0, 05 Và số mực độ tự do f=n0-1 (n0- số lần thí nghiệm ở tâm)

1.6 Tính phương sai dư

Phương sai dư được định nghĩa bởi công thức:

es (Y y ) / (N g 1)

Trong đó:

Yu – Giá trị của hàm tìm được khi thí nghiệm

Yu – Giá trị của hàm tìm được sau tính toán

u – Thứ tự số hàng

N – Số lượng thí nghiệm

g – Số nhân tố có nghĩa (không kể nhân tố tự do)

1.7 Kiểm tra sự tương thích của hàm

(S ) / (S )res y

So sánh F với chuẩn Fisher tương ứng a(f , f )1 2 với:

 - Mức có nghĩa, đã nói ở trên

f1 =N – g – 1 Số mức độ tự do của phân tán lớn (trong tính toán phương sai dư)

f2 = n0 – 1 Số mức độ tự do của phân tán hẹp hơn (trong tính toán phương sai tái sinh)

Chuẩn số Fisher được tra bảng a(f , f )1 2

Khi F<a(f , f )1 2 Chúng ta nói phương trình hồi quy tương thích, có nghĩa

mô hình toán học được dùng hoàn toàn miêu tả được bản chất quá trình

Nếu như F>a(f , f )1 2 Ta nói phương trình hồi quy không tương thích

2 Xây dựng quy hoạch trực giao cấp 2 tới công nghệ chế tạo HK nhôm

2.1 Chọn dạng của phương trình hồi quy

Dùng mô hình toán học có dạng đa thức bậc 2 được mô tả như (1.1) Như vậy ta

sẽ xây dựng quy hoạch thực nghiệm trực giao cấp 2 đủ với 15 thí nghiệm, trong đó

có 8 thí nghiệm cơ bản, 1 thí nghiệm ở tâm và 6 thí nghiệm trong không gian mở rộng Lưu ý rằng thí nghiệm ở tâm là kết quả trung bình của 3 kết quả thí nghiệm ở tâm đã tiến hành Các thông số công nghệ được mã hóa trong ma trận thực nghiệm bởi các biến như sau:

+ Nhiệt độ biến dạng: Tbd(oC): x1

+ Mức độ biến dạng: (%): x2

+ Nhiệt độ hóa già Thg(oC): x3

Giá trị của các biến ứng với thí nghiệm cơ bản (x=-1 hoặc x=-1), thí nghiệm ở

tâm (x=0), thí nghiệm mở rộng (x=- hoặc x= +) được xác định theo đề bài như

bảng 1

Bảng 1: Khoảng giá trị của các thông số công nghệ theo đề bài

Tbd(oC) 360 370 410 450 460

Thg(oC) 110 120 150 180 190

Khoảng biến thiên của các biến trong không gian mở rộng:

+ Với Tbd(oC):   Z1 1, 215.40  48, 6 quy tròn 50

+ Với (%):   Z2 1, 215.10 12,15  quy tròn 15

+ Với Thg(oC):   Z3 1, 215.30  36, 45 quy tròn 40

2.2 Ma trận thực nghiệm

Dựa vào kết quả thí nghiệm ta thành lập ma trận thực nghiệm

+ Ma trận trực giao cấp 2 này không chứa thành phần x1x2x3

+ Hệ số mở rộng   1, 215

Giá trị các mã biến cấp 2 (x’uj) được xác định theo công thức sau:

uj uj ( uj / )

x x  x N (2.1)

xuj: với u: số thứ tự hàng;

j: số thứ tự các biến

- Trong các giai đoạn thí nghiệm cơ bản:

Khi x’uj= ±1; với u=1:8; j=1:3;

x’uj=1-(8+2Ω2)/15 = 1-(8+2x1.476)/15=0.27;

- Trong thí nghiệm ở tâm: (u=9; j=1:3)

x'9j=0-(8+2Ω2)/15=0-0.73=-0.73

- Trong thí nghiệm mở rộng: (u=10:15; j=1:3)

+ Khi xuj=0, thì x'uj=0-(8+2Ω2)/15=0-0.73=-0.73

+ Khi xuj=±Ω, thì x'uj=Ω2

-(8+2Ω2)/15=1.476-0.73= 0.75

Bảng 2: Ma trận thực nghiệm

N x 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 x 3 x 2 x 3

' 1

x x'2 x'3 Y

2.3 Xác định các hệ số của hàm hồi quy

Ký hiệu hệ số hàm hồi quy: bj

bj=∑(xujYu)/N=∑(xujYu)/∑xuj2; với u=1:15; j=1:10 (2.2)

Bảng 3: Các hệ số của hàm hồi quy

2

0 (x Y ) /u0 u u0

2

1 (x Y ) /u1 u u1

2

2 (x Y ) /u2 u u2

2

3 (x Y ) /u3 u u3

2

12 (x Y ) / 12 u 12

2

13 (x Y ) / 13 u 13

2

23 (x Y ) / 23 u 23

2

1 (x Y ) / 1 u 1

2

2 (x Y ) / 2 u 2

2

3 (x Y ) / 3 u 3

2.4 Tính phương sai tái sinh của hàm

Ta đã làm 3 thí nghiệm ở tâm (n0=3), được kết quả Y0 {528 531 534}; với j=1:3;

Giá trị trung bình thí nghiệm ở tâm được coi như Y9 trong bảng ma trận thực nghiệm

0 528 531 534 531

3

(2.3) Vậy giá trị của phương sai tái sinh là:

0 0

2

0

( ) 3 0 3

n

n





(2.4)

2.5 Tính phương sai các hệ số hồi quy

{ } y / { } y /

S bj S X S bj  S X với u=1:15 (2.5)

2

2

3

9

{ } 0.6 { } 0.77

15

9 { } 0.821 { } 0.91; {1, 2, 3}

2 2 *1.476

9 { } { } { } { } 1.125 { } 1.06; {1, 2, 3}

8 1

4.3727



Bảng 4 Phương sai của hệ số hàm hồi quy

S(b0) 0.26 S(b1) 0.91 S(b2) 0.91 S(b3) 0.91 S(b12) 1.06 S(b13) 1.06 S(b23) 1.06 S(b11) 1.43 S(b22) 1.43 S(b33) 1.43

2.6 Chọn chuẩn số Student t( , f) 

Coi độ chính xác tính toán ở đây là 5% - tức mức ý nghĩa α = 0,05 Mặt khác

t=n0-1=2, từ bảng Student trong số liệu thống kê toán học tra được

t(α,t)=t(0,05;2)=4.3

2.7 Kiểm tra tính có nghĩa của các hệ số

So sánh các hệ số hồi quy |bj| với tích số S{bj}t(α,f) Nếu |bj|> S{bj}t(α,f) thì

bj sẽ tồn tại trong phương trình vì có ý nghĩa

Bảng 5 Tỷ số của hệ số hồi quy với phương sai của hệ số

|b j |/ S{b j } |b j |/ S{b j } t(α,f) Giá trị b j

giữ lại

2.8 Xác định phương trình hồi quy và tìm giá trị của hàm theo lý thuyết

Từ kết quả tính toán ở trên, ta có thể xác định được dạng của phương trình hồi quy:

ylt= y=527.73-7.23x1+16.02x2+5.38x23-6.48x1'-6.48x2' (2.7)

Thay thế các giá trị của các mã biến xuj trong bảng ma trận thực nghiệm ở từng hàng từ u=1 đến u=15, ta được trị số của độ dẻo (%) hợp kim nhôm tính theo phương trình hồi quy

Bảng 5 là giá trị của độ bền theo kết quả thực nghiệm (Y), theo kết quả tính toán (y), sai số giữa chúng (Y-y) và bình phương các sai số (Y-y)2

Bảng 6: So sánh kết quả tính toán và kết quả thực nghiệm

2 (Yy lt)

Tổng bp các sai số Σ(Yu - yu)^2 923.44

2.9 Kiểm tra sự tương thích của hàm

2.9.1 Xác định phương sai dư

Nội dung chính của bước này là xem xét hàm hồi quy được viết dưới dạng phương trình (2.1) có đủ mức tin cậy hay không, nếu tương thích – nếu miêu tả được quan hệ giữa các thông số công nghệ đến độ bền của hợp kim nhôm và có thể tính toán được những giá trị của độ bền trong phạm vi nghiên cứu mà chưa làm được thí nghiệm

Muốn vậy cần tính tiếp phương sai dư của hàm Sres

2

theo công thức

es (Y y ) / (N g 1)

S     (2.8)

Trong trường hợp này thì:

+ Số lượng thí nghiệm N=15

+ Số nhân tố có nghĩa g=5

+ Tổng bình phương các sai số (Y-y)2 = 923,44

Như vậy phương sai dư của hàm có giá trị:

es (Y y ) / (N g 1) 923, 44 / (15 5 1) 102, 604

2.9.2 Xác định chuẩn Fischer

Giá trị của F tính theo công thức:

2 2

S / Sres y 102, 604 / 9 11, 4

Xác định chuẩn số Fischer a(f , f )1 2 từ các bảng thống kê toán học với điều kiện: + Mức ý nghĩa α=0,05

+ Số mức độ tự do của phân tán lớn (trong tính toán phương sai dư):

f1=N-g-1=9

+ Số mức độ tự do của phân tán hẹp hơn (trong tính toán phương sai tái sinh)

f2=n0-1=2

Như vậy a(f , f )1 2 =19,35 Vì F<a(f , f ) 1 2 nên phương trình tương thích, chứng tỏ hàm nội suy được viết dưới dạng phương trình (2.1) đủ độ tin cậy cần thiết

Tới đây có thể chỉnh lý lại phương trình (2.1) như sau:

y = 527,7 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35(x1

2

-0,73)- 6,35(x2

2

-0,73)

y = 536,97 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35x1

2

- 6,35x2

2

(2.10)

Nhận xét:

Xét ảnh hưởng của từng nhân tố tới độ bền của hợp kim nhôm

y(x1,1,1)=-7,23x1-6,35 x1

2

y(1,x2,1)=21,4x2-6,35 x2

2

Từ các phương trình (2.11), (2.12), (2.13) cho hay ảnh hưởng lớn nhất đối với

độ bền của hợp kim nhôm đó là mức độ biến dạng (thông số x2), thứ đến là nhiệt

độ hóa già (thông số x3), nhiệt độ biến dạng (thông số x1) có ảnh hưởng thấp hơn

3 Xác định phương án công nghệ tối ưu

3.1 Tìm cực trị theo phương pháp leo dốc của Box-Wilson

Chương trình tính được lập trình tính trong môi trường Matlap (xem phụ lục 1)

Từ bảng 5 và bảng 6, ta chọn y6 có giá trị lớn nhất làm điểm xuất phát: y6-0 (-1,1,1)=552,90, gradient của hàm theo các hướng của điểm xuất phát được tính bằng cách lấy đạo hàm riêng của phương trình (2.10) đối với các biến x1, x2, x3:

/ 12, 7x 7, 23 5, 47

/ 5,38x 12, 7x 16, 02 8, 70

/ 5,38x 5,38

y x

y x

y x

Vì gradient của hàm theo hướng x 2 là lớn nhất nên bước leo dốc đầu tiên sẽ di chuyển theo hướng này và giá trị của các biến ở điểm tiếp theo sẽ là:

1

2

3

(1) 1 5, 47

(1) 1 8, 70 1, 215 0.024712

(1) 1 5,38

x

x

x

  

 



 Xác định được tọa độ của các biến còn lại:

1

3

(1) 1 5, 47 -0,86482

(1) 1 5,38 1,13295

x

x





Giá trị của hàm sau bước leo dốc thứ nhất:

y6-1=y(-0,86482; 1,215; 1,13295)=555,97

Sau bước leo dốc thứ nhất, hàm đã nằm ở biên mở rộng theo hướng x2, thay thế

x2=1,215 vào phương trình (2.10) ta được:

y= 547,0603-7,23x1+6,53670x3-6,35x1

2

(2.14) Tìm hướng gradient phát triển cho bước leo dốc thứ hai bằng cách lấy đạo hàm riêng của hàm (2.14) đối với các biến x1 và x3:

3

/ -7,23-12,70x 3, 75323

/ 6,53670 6,53670

Hàm sẽ phát triển trong bước leo dốc thứ 2 theo hướng x2, vì gradient theo hướng x2 lớn hơn so với theo hướng x1

Giá trị của các biến ở bước leo dốc thứ 2 sẽ là:

1

3

(2) 0,86482 3, 7532

(2) 1,13295 6,53670 1, 215 0, 01255

x

x



Xác định được tọa độ của các biến còn lại:

1

(2) 0,86482 3, 7532 0,81771

Giá trị của hàm sau bước leo dốc thứ 2:

y6-2=y(-0,81771;1,215, 1,215)=556,67

Sau bước leo dốc thứ 2, hàm đã nằm ở biên mở rộng của x2 và x3, thay thế

x3=1,215 vào phương trình (2.14) ta được:

Hàm cuối cùng chỉ có 1 biến x1, dễ dàng tìm được cực trị thông qua lấy đạo hàm của (2.15):

dy6-2/dx1 =-7,23-12,70x1=0x1= -0,5693

Cực trị của hàm sau bước thứ 3:

y7-3 = y(-0,5693; 1,215; 1,215)=557,06

Hệ tọa độ trong công nghệ tối ưu khi tạo hợp kim nhôm có độ bền lớn nhất được trình bày trong bảng 7

Như vậy phương trình (2.10) đạt giá trị lớn nhất ymax = 557,06 khi x1=(-0,5693;

x2=1,215; x3=1,215

Suy ra được, để có được chế độ công nghệ tối ưu thì:

+ Nhiệt độ biến dạng: Tbd(oC)=-0,5693.40+410=387,23 Quy tròn 390oC

+ Mức độ biến dạng: (%)=1,215.10+30=42,15 Quy tròn 42 (%)

+ Nhiệt độ hóa già Thg(oC)=1,215.30+150=186,45 Quy tròn 190o

C

Bảng 7: Hệ tọa độ khi tìm độ bền lớn nhất của hợp kim nhôm

3.2 Tìm cực trị bằng lập trình trong Matlap

Thuật toán như sau: cho các biến x1, x2, x3 chạy đồng thời một cách tự do trong khoảng [-1,215; 1,215] với các điểm chia cách nhau 0,001 Như vậy mỗi biến đầu vào sẽ có N=2431 giá trị khác nhau và có N3

=24313 bộ số (x1, x2, x3)

Giá trị của y được xác định bởi biểu thức (2.10):

y = 536,97 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35x12- 6,35x22

Mỗi một bộ số (x1, x2, x3) sẽ cho ta một giá trị của y Chương trình tính sẽ so sánh 24313 các giá trị y khác nhau và đưa ra giá trị lớn nhất ymax và bộ số (x1, x2,

x3) làm nên giá trị ymax đó

Kết quả cuối cùng khi chạy phần mềm Matlap được hiển thị dưới đây:

ymax = 557,06 khi x1=-0,5593; x2=1,21534; x3=1,2152

File chương trình tính với tên QHTN.m được trình bày tại phụ lục (1) của bài tiểu luận này

3.3 So sánh kết quả tính y max bằng phương pháp leo dốc của Box-Wilson và phương pháp số bằng phần mềm Matlap:

Dễ dàng nhận thấy kết quả tính toán bằng 2 phương pháp thì khác nhau không đáng kể Chứng tỏ phương pháp leo dốc của Box-Wilson cho độ chính xác và độ tin cậy cao Phương pháp này được dùng phổ biến khi các ứng dụng lập trình bằng máy tính chưa phát triển

Phụ lục(1)

%Cuc tri bac2

%(tên File: QHTN.m)

function QHTN

% Xac dinh che do cong nghe toi uu tu phuong trinh noi suy:

% y = 536,97 – 7,23.x1 + 16,02.x2 + 5,38x2x3 - 6,35x1^2- 6,35x2^2

clc;

clear all ;

h=0.01;

x1=-1.215:h:1.215;

x2=-1.215:h:1.215;

x3=-1.215:h:1.215;

N=(1.215+1.215)/h+1 % tong so cac diem chia

n=0;

for i=1:N

for j=1:N

for k=1:N

n=n+1;

y(n)=16.02*x2(j)-7.23*x1(i)+5.38*x2(j)*x3(k)-6.35*x1(i)-.35*x2(j)+536.97 ii(n)=i;

jj(n)=j;

kk(n)=k;

end

end

end

for n=2:N^3

if y(n)<y(n-1)

y(n)=y(n-1);

jj(n)=jj(n-1);

ii(n)=ii(n-1);

kk(n)=kk(n-1);

end

end

ymax=y(n)

x1p=x1(ii(n))

x2p=x2(jj(n))

x3p=x3(kk(n))

disp([ 'gia tri lon nhat cua ham ymax = ' , num2str(ymax)]);

disp([ 'Tai gia tri x1 = ' , num2str(x1p), ' x2= ' , num2str(x2p), ' x3 = ' , num2str(x3p)]);