BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10

BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10 BỘ đề THI CHUYÊN TOÁN vào lớp 10

Trang 1

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014–2015

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

1

x P

Cho phương trình x22(m1)xm2  m 5 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình đã cho với m3

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x thoả1, 2

mãn 1 2

2 1

1003

a) Các tứ giác PMBD và PMCE nội tiếp

b) M là trực tâm của tam giác ADE.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!

H ọ và tên thí sinh……… Số báo danh………

Trang 2

———————

(Hướng dẫn chấm có 03 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2014-2015

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

0,5

Trang 3

E

D

C B

PDBPDA PECPEA (2) 0,5

Từ (1) và (2) suy ra các tứ giác PDBM, PECM nội tiếp. 0,25

Trang 4

b Do các tứ giác PDBM PDAE, nội tiếp nên

Từ (3) và (4) suy ra M là trực tâm của tam giác ADE 0,25

c Kéo dài AM cắt DE tại H  HAE HEP (hai góc cùng phụ với góc AEH )

Do tứ giác PDAE nội tiếp, suy ra DAPDEP 0,25

b a

c a

b

a

c c

Trang 5

-Hết -SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014 – 2015

Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 4 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O có    20o

CAB ABC ABC BCA Số đo của góc

AOB bằng

II PHẦN TỰ LUẬN (8,0điểm)

Câu 5 (2,0điểm) Cho hàm số y2mx m 2 (1) (m là tham số).

a) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A1;1  Với giá trị của

m vừa tìm được thì hàm số (1) đồng biến hay nghịch biến trên

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) song song với đường thẳng

a) Giải phương trình đã cho khi m2

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x thỏa1, 2mãn 2x11 2 x2 1 3

Câu 7 (2,5điểm) Cho tam giác ABM nhọn, nội tiếp đường tròn  O Trên tia đối của tia MB lấy1

điểm C sao cho AM là phân giác của góc BAC Gọi  O2 là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC.

a) Chứng minh hai tam giác AO O và1 2 ABC đồng dạng

b) Gọi O là trung điểm của O O và I là trung điểm của BC Chứng minh tam giác AOI cân.1 2c) Đường thẳng vuông góc với AM tại A tương ứng cắt các đường tròn    O1 , O2 tại D E,

(D và E khác A) Đường thẳng vuông góc với BC tại M cắt DE tại N Chứng minh

———— HẾT————

Trang 6

———————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2014-2015

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinhlàm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

II PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm).

5 a Đồ thị hàm số đi qua điểm A1;1 khi và chỉ khi 12m    1 m 2 0.5

Khi m1thì 2m 2 0 nên hàm số (1) đồng biến trên 0.5

b Đường thẳng đã cho song song với đường thẳng  2 

m m

3 22

Trang 7

I O

Nhận xét: Nếu BABM thì không tồn tại điểm C.

Do vậy để tồn tại điểm C thỏa mãn đề bài thì BABM 0.25

Tương tự BCAO O A1 2 Suy ra AO O1 2 ABC (g.g) 0.5

b Từ kết quả phần a, do O là trung điểm O O và1 2 I là trung điểm BC nên AO O1 ABI

Suy ra

1

OA IA

Hơn nữa OAO1IABOAI O AB1

Suy ra OAI O AB1 (c.g.c) Mà tam giác O AB cân tại1 O , nên tam giác OAI cân tại O.1 0.25

a

a b c d a

Trang 8

-Hết -SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng phương pháp đại số

Câu 4: (2,0 điểm)

Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 250 m Tìm chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó biết rằng chiều dài giảm ba lần và chiều rộng tăng hai lần thì chu vi của mảnh vườn không thay đổi

Câu 5: (3,5 điểm)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Các tiếp tuyến tại A của các đường tròn (O) và (O’) cắt đường tròn (O’) và (O) theo thứ tự tại C và D Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các dây AC và AD Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác ABD và CBA đồng dạng

b) BQD = APB

c) Tứ giác APBQ nội tiếp một đường tròn

(Yêu cầu vẽ hình khi chứng minh)

-Hết -

Họ tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của Giám thị 1: Chữ ký của Giám thị 2:

Trang 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2014 - 2015

Đề chính thức

Môn: Toán (Chuyên)

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)

b) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy

c) N là giao điểm của đường thẳng (d) với trục Oy Tính diện tích  MON

Cho đường tròn (O) đường kính AB = a Các đường thẳng d1, d2 lần lượt qua

A, B và vuông góc với AB Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc d1, d2 sao cho

MON=900 H là chân đường vuông góc hạ từ O xuống đường thẳng MN

a) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến của (O)

Trang 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

SÓC TRĂNG

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM HỌC 2015 - 2016

Đề chính thức

MÔN: TOÁN (Chuyên)

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian phát đề)

học sinh, hãy tính số xe được hợp đồng

Trang 11

Dành cho thí sinh thi vào l ớp chuyên Toán và chuyên Tin

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

a) Tìm số nguyên tố p để 2p1 là lập phương của một số tự nhiên

b) Trong bảng 11 11 ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý(mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau) Chứng minh rằng tồn tại hai ôvuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớnhơn 5

Câu 3 (3,0điểm).

Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H và nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi D E F, , tương

ứng là chân các đường cao của tam giác ABC kẻ từ A B C, , ; gọi M là giao điểm của tia AO và cạnh BC;

gọi N P, tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh CA AB,

a) Chứng minh rằng HE MN HF MP

b) Chứng minh rằng tứ giác EFPN nội tiếp

c) Chứng minh rằng

2

Trang 12

———————

—————————

A LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làmtheo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó

Ta thấy x0 không là nghiệm của phương trình đã cho, suy ra x0

Khi đó, phương trình đã cho tương đương: 4 3  

b Ta thấy x0 không thỏa mãn hệ đã cho, suy ra x0

Hệ đã cho tương đương:

Trang 13

Số ô vuông cách nhau từ ô ghi số 1 đến ô ghi số 121 nhiều nhất là 20 cặp ô vuông

(10 cặp theo hàng, 10 cặp theo cột) Ví dụ trong bảng trên ô ghi số 1 và ô ghi số 121

Nếu hiệu của hai số trong hai ô kề nhau nào đó cũng chỉ là 5 thì qua 20 cặp ta có sự

chênh lệch là 20.5 100 Như vậy 1 100 101 121   Do đó ắt có hai ô kề nhau

nào đó sao cho hiệu hai số viết trong hai ô lớn hơn 5

E

B

A

Trang 14

a Ta có: 180o

EHFFAE và PMNPAN 180o FHEPMN  1 0,25

Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABC nên

2

Lại có tứ giác AFHE và APMN nội tiếp HAF HEF MAC, MPN

AEFHEF  APNMPN và kết hợp với (2)

Lại có NEFAEF 180oNEFAPN180o hay NEFEPN 180o

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1

0,25

+ n4 không thỏa mãn, vì ta có thể chọn bốn điểm nguyên là đỉnh của một hình

vuông đơn vị, khi đó, mỗi tam giác có đỉnh là ba trong bốn điểm nguyên đang xét

Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn.

Khi đó, trong 5 điểm nguyên đang xét, luôn có hai điểm cùng loại, ta gọi đó là hai

điểm A, B Ta sẽ chứng minh, với mọi điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn

là số nguyên

0,25

Trang 15

Thật vậy:

+ Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì do A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn.

Gọi h là khoảng cách d C AB( ; ), với C c c( ;1 2), khi đó 1

2

ABC

S  AB h là sốnguyên

Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên.

D b a (Hình vẽ) Khi đó, theo lập luận

ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có

diện tích là số nguyên, suy ra S ACBD là số

nguyên

Nhưng S ACBD S ABCS ABD, nên S ABC là

số nguyên Điều phải chứng minh

0,25

Trang 16

a) Giải hệ phương trình đã cho với m1

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình đã cho có nghiệm  x y thỏa mãn;điều kiện 3x  y 1 0

CF của tam giác ABC đồng qui tại H (D, E, F là các chân đường cao).

a) Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

b) Gọi A' là trung điểm BC, A là trung điểm1 EF , K là điểm đối xứng với B qua O Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành và R AA 1OA AA' '

c) Xác định vị trí của A để DEEFFD đạt giá trị lớn nhất

Câu 5 (1,0điểm).

Cho n là số nguyên dương lớn hơn 2 và kí hiệu n! 1.2.3  n (tích của n số nguyên dương đầu tiên) Chứng minh rằng: với mỗi số nguyên dương lớn hơn 2 và không vượt quá n! đều phân tích được thành tổng gồm không quá n số nguyên dương, sao cho hai số bất kỳ đều khác nhau và mỗi số này đều

là ước số của n!

———— HẾT————

Trang 17

———————

195

52

m x

52

Trang 18

D

H

C B

A

BECBFC suy ra tứ giác BFEC nội tiếp 0,5AEF ABC

  (cùng bù với góc CEF ) và BAC FAE

AB AA

    , trong đó: AA’ là trung tuyến ABC , AA1

là trung tuyến AEF

2

AE AB AE AB AE OA KBC

c Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AC, AB

Ta có: OB' AC OC, ' ABOA OB OC', ', ' lần lượt là đường cao của các tam

giác OBC, OCA, OAB.

0,25

Trang 19

Ta đi chứng minh khẳng định đúng với n k 1.

Đồng thời mn Khi đó: ad n1   1 d mn  và tổng này có không1 r

quá n1số khác nhau từng đôi một và đều là ước của n1 ! (đpcm) 0,5

Trang 20

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (3,0điểm).

3 2 0 1

x  mx m (m là tham số).

a) Giải phương trình (1) khi m1

b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x sao cho biểu1, 2

a) Chứng minh rằng các điểm A D F P, , , cùng nằm trên một đường tròn

b) Gọi M là trung điểm AC Chứng minh rằng FCFM

c) Đường thẳng PF cắt lại đường tròn  O ở N Chứng minh rằng CA CF 2NC MF

Câu 4 (1,5điểm).

Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố p q r sao cho; ;  pqr   p q r 200

Câu 5 (1,0điểm).

Mỗi ô vuông đơn vị của bảng hữu hạn m n  (m, n là các số nguyên dương) được ghi một số

thực bất kì Xét quy tắc biến đổi sau: Mỗi lần đổi dấu tất cả các số trên một hàng hoặc một cột.Chứng minh rằng sau một số hữu hạn bước thực hiện quy tắc trên, ta thu được một bảng mà tổng các

số trong mọi hàng và mọi cột đều không âm

———— HẾT————

Trang 21

———————

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không chấm điểm cho phần đó

B ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

a Khi m1 phương trình (1) trở thành x23x 2 0 0,5Phương trình này có biệt thức:  2  

Trang 22

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được

Suy ra PFM 1800PAM 1800PAC1800ABC AFC 0,25Suy ra MFCAFCAFM PFM AFM PFA900 do đó FCFM 0,25

c Từ chứng minh trên suy ra AFM NFC 0,25

Mà FAM FNC (cùng chắn cung FC của (O)) nên FAM FNC 0,25Suy ra NC CF AM CF NC MF

Trang 23

Xét tổng các số trong bảng khi thực hiện phép đổi dấu Tổng này sẽ tăng khi tổng

các số trên hàng (hoặc cột) trước khi đổi dấu là âm; tổng không đổi khi khi tổng

các số trên hàng (hoặc cột) trước khi đổi dấu bằng 0 và tổng này sẽ giảm khi tổng

các số trên hàng (hoặc cột) trước khi đổi dấu là dương

0,25

Khi thực hiện phép biến đổi trên thì mỗi số trong một ô hoặc là trùng với số ban

đầu hoặc là số đối của số ban đầu, vì thế khi thực hiện phép biến đổi trên thì có

thể nhận được tối đa 2m n bảng khác nhau, do vậy tổng tất cả các số trong bảng chỉ

nhận hữu hạn giá trị khác nhau

0,25

Ta xét bảng ban đầu: Nếu không có hàng nào và không có cột nào có tổng các số

là âm thì bài toán được chứng minh

Ngược lại, ta chọn một hàng hoặc cột có tổng các số là âm, ta thực hiện phép biến

đổi trên hàng hoặc cột đó Khi đó trong bảng vừa nhận được nếu có hàng hoặc cột

có tổng các số là âm thì ta lại thực hiện phép biến đổi trên hàng hoặc cột đó và

nhận được bảng mới và cứ tiếp tục như vậy Như vậy mỗi lần thực hiện phép biến

đổi thì tổng các số trong bảng tăng lên

0,25

Do tổng đó chỉ nhận hữu hạn giá trị nên hoặc là tại một bước thực hiện nào đó ta

nhận được bảng cần tìm, hoặc là nhận được bảng có tổng đạt giá trị lớn nhất

Bảng có tổng đạt lớn nhất thỏa mãn bài toán vì nếu trong nó có một vệt có tổng là

âm thì thực hiện phép biến đổi trên vệt đó ta được bảng mới có tổng tăng lên lớn

hơn tổng lớn nhất đó, vô lý

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có điều phải chứng minh

0,25

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,26 MB