Giáo trình bài tập 7 cot lieu cho be tong

Bài tập Cơ học – Phần 2Lê Quang Nguyên nguyenquangle59@yahoo.com BT 1 Hai vật khối lượng M và m được nối với nhau bằng một thanh rắn chiều dài l, khối lượng không đáng kể.. Tìm theo M và

Trang 1

Bài tập Cơ học – Phần 2

Lê Quang Nguyên nguyenquangle59@yahoo.com

BT 1

Hai vật khối lượng M và m được nối với nhau bằng một thanh rắn chiều dài l, khối lượng không đáng kể

Chứng tỏ momen quán tính của hệ đối với một trục thẳng góc với thanh là nhỏ nhất khi trục

đi qua khối tâm của hai vật và có giá trị:

ܫ = ߤ݈ଶ, với ߤ = ௠ାெ௠ெ

l

M m

Trả lời BT 1 - 1

Xét hai trục song song

vuông góc thanh như

hình vẽ, định lý Steiner

cho:

2

I =I +Md

M m

X X

d

Ialà nhỏ nhất khi d = 0

Vậy momen quán tính nhỏ nhất ứng với trục qua khối tâm

Chọn gốc O ở khối tâm ta có:

( )

mx +Mx =

M m

X CM

x x

O

Với:

( )

x −x =l

Giải hệ (1) và (2): 1

M

M m

= +

2

m

M m

= −

+

Trang 2

Momen quán tính đối với trục khối tâm:

CM

mM

l

m M

= +

M m

X CM

x x

O

BT 2

Cho một đĩa tròn bán kính R, khối lượng M Trên đĩa người ta cắt bỏ một lỗ tròn bán kính R/4, có tâm nằm cách tâm của đĩa một khoảng R/2 Tìm theo M và R:

a) Tọa độ khối tâm của phần còn lại

b) Momen quán tính của phần còn lại đối với trục thẳng góc với đĩa và đi qua tâm của nó

Để làm bài này chúng ta dựa trên ba ý chính sau:

1 Đĩa đặc là hệgồm đĩa bị cắtvà phần được cắt rời

2 Khối tâm của hệ hai vật rắnđược xác định như

sau (suy ra từ định nghĩa khối tâm):

(m1 +m R2) CM =m R1 CM1 +m R2 CM2

3 Momen quán tính của hệ hai vật rắnđược xác

định như sau:I I= 1 +I2

Khối tâm của hệ hai vật rắn:

(m1+m R2) CM =m R1 CM1+m2RCM2

Do đối xứng nên các khối tâm đều ở trên trục x :

(m1+m X2) CM =m X1 CM1 +m X2 CM2

R /2

Vị trí khối tâm vật 2

Trang 3

(m1 +m X2) CM =m X1 CM1 +m X2 CM2

R /2

2 1

1 2 CM

m R X

m

• Đĩa đồng chất nên tỷ trọng không đổi:

• Khối lượng phần còn lại:

• Vậy:

2 2 2

4

m M

1 16

1

m =M− M = M

2 1

CM

m R X

m

R

=−

= −

I I I

Momen quán tính của hệ vật rắn = tổng

momen quán tính của từng vật

Tất cả đều tính đối với trục đi qua tâm O, vuông góc đĩa

2

1 2

I = MR

CM

2

CM

R

I =I +m   

 

R /2

2 2

1

CM

R

I = m   

 

2

9 32

I = m R

Trang 4

• Vậy:

2

2 1

2

247 256

BT 3

Ngoại lực và lực ma sát tạo nên một momen lực 24 N.m trên một bánh xe quay Ngoại lực tác dụng trong 5s và trong khoảng thời gian này vận tốc góc tăng từ 0 đến 10 rad/s Kế đó ngoại lực dừng tác dụng và bánh xe dừng lại sau đó 50s Tìm:

a) Momen quán tính của bánh xe

b) Momen lực ma sát

c) Số vòng quay của bánh xe từ đầu cho đến khi dừng lại

• Khi có ngoại lực tác động:

• Sau thời gian t = 5s bánh xe đạt vận tốc góc

ω = 10 rad/s, ta có:

d

dt

ω

= M: tổng momen lực

t

I d M dt

ω

ω =

t

ω

1

• Khi ngoại lực dừng tác động, chỉ còn momen lực ma sát M’:

• Sau thời gian t’ = 50s, vận tốc góc giảm từ ω

= 10 rad/s xuống 0, ta có:

d

dt

ω

′

= M’: momen lực ma sát

0

t

I d M dt ω

ω

′

=

t

ω

′

10 12

50 2,4N m.

M’ < 0:

momen lực

ma sát cản lại chuyển động quay

Trang 5

• Số vòng quay = tổng số vòng quay trong hai

giai đoạn:

• Gia tốc góc α không đổi nên độ dịch chuyển

góc có biểu thức:

N=N +N

2 1

0t 2 t

I

α =

න ݀߱

௧

଴

= ߙ න ݀ݐ

௧

଴

→ ߱(ݐ)

න ݀ߠ

ఏ

ఏబ

= න ߱ ݐ ݀ݐ

௧

଴

→ ߠ(ݐ)

• Trong giai đoạn đầu ta có:

• Tương tự, trong giai đoạn sau ta có:

25 3,98

a

∆

2 0

2,4

12

250

39,8 2

b N

π

2 0

24

12

rad s t s

BT 4

Một đĩa tròn khối lượng M,

bán kính R có thể quay tự

do quanh một trục nằm

ngang đi qua một điểm

trên vành đĩa Từ vị trí ban

đầu (hình vẽ) đĩa được thả

không vận tốc đầu

Tìm vận tốc khối tâm khi

đĩa quay đến vị trí thấp

nhất

• Vì không có ma sát nên

cơ năng bảo toàn:

• Thế năng trọng trường của đĩa:

g

2 1

trường của một vật rắn: Ug= mgyCM

1

2

y

X CM R

Trang 6

• Do đó:

• Định lý Steiner:

• Vận tốc khối tâm:

2 1

2

CM

I =I +mR = mR

2

3

g R

ω

2 3

CM

v =ωR= gR

1

2

y

X CM R

vCM O

BT 5

Một hình trụ đồng chất bán kính R, khối lượng M có thể quay quanh trục

Một dây khối lượng m, chiều dài l được cuốn một lớp quanh hình trụ, phần còn lại buông thõng có chiều dài x

Tìm gia tốc góc của hình trụ theo x

x

Gọi m2 là khối lượng phần dây

cuốn, momen quán tính của (hình

trụ + dây cuốn) đối với trục quay:

2

I = MR +m R = M+ m R

Định luật 2 cho chuyển động quay của hệ:

Iα =TR

2

1 2

T

α

+

T

Gọi m1 là khối lượng phần dây buông, định luật 2 cho khối tâm của phần này là:

m a=m g T−

Từ (1) và (2):

1 2 2

m g

α =

m

l

=

T

CM

+

Trang 7

BT 6

Cho hệ như hình vẽ, momen

quán tính của ròng rọc là I,

bán kính hai vành của ròng

rọc là R và R/2, khối lượng

hai vật treo là m1và m2

a) Tìm điều kiện để vật m1

đi xuống

b) Khi m1 đi xuống, hãy tìm

gia tốc góc của ròng rọc

m2

Giả sử m1đi xuống, ĐL 2 cho

m1 trên trục y cho ta:

( )

m a =m g T− cho m2trên trục y’:

( )

m a =T −m g

và cho ròng rọc quay:

( )

2

R

Iα = T −RT

m1g

m2g

T1

T2

+

y

y’

T1

T2

Dây không trượt: ଵ = ோ

ଶ, ଶ =

Suy ra hệ phương trình:

2

1 2

2

I

R

2

−

=

Điều kiện để m1đi xuống: a1> 0 ⇔ m1> 2m2

Nhân phương trình đầu với ½ rồi cộng theo vế:

Có a1⇒ gia to c góc α và các sức căng T1, T2

BT 7

Một thanh khối lượng M = 1 kg, chiều dài L = 1

m đang quay trong mặt phẳng thẳng đứng quanh trục khối tâm với vận tốc góc ω = 20 vòng/phút Một vật nhỏ bằng cao-su khối lượng m = 0,1 kg bay ngang và dính vào đầu dưới của thanh khi thanh ở vị trí thẳng đứng

Để thanh đứng yên sau va chạm, vật m phải có vận tốc bằng bao nhiêu?

Trang 8

Ngay trước và sau khi va

chạm, các ngoại lực đều có

phương qua trục nên Mz= 0

Suy ra momen động lượng

Lzcủa hệ được bảo toàn:

0 2

L

mv Iω

Chất điểm Thanh rắn

quay

v

CM

Ngay trước khi va chạm

mg

Mg N

+

Hệ đứng yên sau đó

Do đó: v 2I

mL

ω

=

12

I = ML

3,5

Momen động của chất điểm đối với trục z: Lz= ±lp

− nếu chuyển động ngược

chiều quay dương

l: khoảng cách từ ݌Ԧ tới trục

݌Ԧ

Trục quay z ⊥ mp hình vẽ

+

l

BT 8

Người ta tác dụng một lực nằm ngang không

đổi F lên một ống hình trụ đặc đồng chất khối

lượng M, bán kính R (hình vẽ) Nếu ống trụ lăn

không trượt trên mặt ngang, hãy chứng tỏ:

a) Gia tốc khối tâm ống trụ là: = ଶி

ଷெ

b) Hệ số ma sát nhỏ nhất để khối trụ không

trượt là: = ி

ଷெ௚

F

mg

N

f

+

x

ĐL 2 cho khối tâm trên trục x:

( )1

CM

Ma =F − f

ma sát nghỉ f là lực tạo momen quay, các lực còn lại đều

đi qua trục quay

bằng không.

ĐL 2 cho chuyển động quay quanh trục khối tâm:

( )2

Iα =Rf Lăn không trượt:

( )3

CM

a =αR

Trang 9

Kết hợp (1)-(3) :

2

CM

a

R

= −







=



Giải hệ trên ta có:

1

CM

F a

c M

=

+

1

c

=

+

Kết quả trên đúng cho mọi vật lăn, với

= ⁄ ଶ

Với ống hình trụ đặc

= 1/2, do đó:

2 3 CM

F a

M

= 1 3

f = F

Để vật lăn không trượt ma sát nghỉ không được vượt quá giá trị cực đại μN:

f ≤µN

3

F

mg µ

3 F mg µ

Hệ số ma sát nhỏ nhất để vật không trượt:

݉݅݊ = ଷி

௠௚

BT 9

Một ống chỉ hình vành tròn

khối lượng M, bán kính R

được quấn chỉ chung quanh,

đầu chỉ còn lại được giữ cố

định (hình vẽ) Thả cho vành

tròn rơi, hãy tìm gia tốc góc

và sức căng dây

Lưu ý: vì chỉ nhẹ nên có thể

bỏ qua momen quán tính của

phần chỉ cuốn quanh ống

Mg

y

ĐL 2 cho khối tâm trên trục y:

( )1

CM

Ma =Mg T−

ĐL 2 cho chuyển động quay quanh trục khối tâm:

( )2

Iα =RT Dây không trượt:

( )3

CM

a =αR

Trang 10

Kết hợp (1)-(3) :

2

CM

a

R







=



Giải hệ trên ta có:

1

CM

c

=

+

1

c

=

+

Kết quả trên đúng cho mọi ống chỉ hình dạng khác nhau, với

= ⁄ ଶ Với vành tròn c = 1:

2 CM

g

a = 1 2

T = Mg

BT 10

Một quả cầu nhỏ khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trên một máng trượt (hình vẽ) Tìm giá trị cực tiểu của h để quả cầu có thể di chuyển hết đường trượt

Lưu ý: để đi hết đường trượt chỉ cần vật không rơi khỏi đỉnh của vòng lượn tròn

h

R

• Định luật 2 cho khối

tâm trên phương pháp

tuyến tại A cho ta:

• Để vật không bị rơi

khỏi máng trượt tại A

ta phải có:

• Suy ra:

2

A

v

R r

−

0 A

N ≥

2

A

v ≥ g R r− (1)

m݃Ԧ

ܰA

ݑn

CM

Khối tâm chuyển động trên đường tròn bán kính R – r

2 1

2mvA 1+c =mg h −2 R r− 

2 10

2 7

A

v = g h − R r−  (2)

Định lý động năng cho vật lăn: KA− KS= Wmg

K = mv + Iω

( )2

2

2mvA 2I vA r

2mvA 1 I mr

Quả cầu:

c = 2/5

h − 2(R − r)

h

S

A

2(R − r) Đường đi của khối tâm

Trang 11

2

10

h− R r− ≥ R r−

2,7

Từ (1) và (2):

min 2,7

BT 11

Một hình trụ đặc đồng chất có bán kính R = 15

cm lăn trên một mặt phẳng nằm ngang với vận tốc v0, rồi lăn xuống một mặt nghiêng hợp với phương ngang một góc θ = 30°

Tìm giá trị cực đại của v0để hình trụ không bị nẩy khi lăn từ mặt ngang qua mặt nghiêng

v

v 0

θ h

mg

N

v 0

v θ

CM

R

h = R(1 – cosθ)

Định luật 2 cho khối tâm hình trụ trên phương pháp tuyến, ở đầu mặt nghiêng (hình vẽ):

2

cos

v

R

θ

2

R θ

Để hình trụ không bị nẩy khi qua mặt nghiêng phải có N ≥ 0, suy ra:

( )

v ≤Rg θ

Trang 12

Định lý động năng cho hình trụ lăn:

K −K =mgh mgR= − θ

3 4

K = mv

0

4

3

Từ (1) và (2):

2

3

Rg

v ≤ θ − v0max =1m s

BT 12

Một hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính R đang quay với vận tốc ω0

thì được đặt (không có vận tốc ban đầu) xuống

ngang

Tìm vận tốc hình trụ khi

nó bắt đầu lăn không trượt trên mặt ngang

ω0

Ma sát trượt làm ω giảm dần

từ giá trị ban đầu ω0,

nhưng lại làm v của khối tâm

tăng dần từ 0,

đến khi v = ωR thì vật bắt đầu

lăn không trượt

DL 2 cho CM trên trục x

= (1)

với μ là hệ số ma sát trượt

v ω

fms x

→ = (2)

v ω

fms x

DL 2 cho chuyển động quay quanh trục:

trong đó I = mR2/2

→ = ଴ − 2 (4)

+

Trang 13

= (2)

= ଴ − 2 (4)

Khi v = ωR thì vật bắt đầu lăn không trượt

Dùng v và ω từ (2) và (4) ta được:

= ଴ − 2

↔ 3 = 3 = ଴

→ = ଴ ⁄3

BT 12 – mở rộng

Tìm thời gian và quãng đường đi cho đến khi vật lăn không trượt?

( 0 )2 0

R R

ω ω

R R

ω ω

( 0 )2

0

R R

ω ω

R R

ω ω

Trả lời BT 12 – mở rộng

• Thay = ଴ ⁄3vào (2) suy ra:

• Ta có:

• Trả lời : b)

0

3

R

t

g

ω

µ

=

dx

dt µ

dx µ g tdt

2

R

g

ω

µ

( 0 )2

18

R g

ω µ

=

BT 13

Một quả cầu ban đầu trượt không lăn với tốc độ v0trên mặt nằm ngang Hệ số ma sát giữa quả cầu và bề mặt

là

Khi quả cầu bắt đầu lăn không trượt, tốc độ của nó bằng bao nhiêu?

Tìm thời gian chuyển động

và quãng đường đi được cho đến khi đó?

v0

fms

x

Trang 14

Hướng dẫn BT 13

v ω

fms

x

Ma sát trượt làm v của khối

tâm giảm dần từ giá trị ban

đầu v0,

nhưng lại làm ω tăng dần từ 0,

đến khi v = ωR thì vật bắt đầu

lăn không trượt

= 5

7଴; =

2଴

7; =

12଴ ଶ

49

BT 14

Ân có khối lượng 80 kg và Bích có khối lượng nhỏ hơn dạo chơi trên hồ trong một chiếc

ca-nô khối lượng 30 kg

Khi ca-nô đứng yên trên mặt hồ yên tĩnh họ đổi chỗ cho nhau, các chỗ này cách nhau 3 m

và đối xứng qua tâm ca-nô

Ca-nô dịch chuyển 40 cm so với trụ bến thuyền khi họ đổi chỗ

Tìm khối lượng của Bích

Bỏ qua lực cản của nước, tổng ngoại lực tác dụng

lên hệ bằng không Lúc đầu hệ đứng yên nên khối

tâm của hệ tiếp tục đứng yên.

Khối tâm O không di chuyển nên sau khi đổi chỗ

khoảng cách từ A, B và khối tâm C của ca-nô tới O

phải không thay đổi.

C’

A’

O

A

Trước khi đổi chỗ →

← Sau khi đổi chỗ

Chọn O là gốc tọa độ của trục x hướng sang phải như trên hình vẽ ta có:

2஼ = 0,4 → ஼ = 0,2

஺ = ஼ − 1,5 = −1,3

஻ = ஼ + 1,5 = 1,7

O

A

C’

A’

B’

x C

x Trước khi đổi chỗ →

← Sau khi đổi chỗ

Trang 15

Vị trí khối tâm hệ:

0 = ஺஺ + ஻஻ + ஼஼

஺ + ஻ + ஼

→ 80 × −1,3 + 1,7஻ + 30 × 0,2 = 0 Suy ra:

஻ = 80 × 1.3 − 30 × 0.2

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,03 MB