Chuyên đề ISỐ HỮU TỈ.. SỐ THỰC Buổi 1: CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ A.. - Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số, số đó gọi là số hữu tỉ.. Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là Q...
Trang 1Chuyên đề I
SỐ HỮU TỈ SỐ THỰC Buổi 1: CÁC PHÉP TOÁN TRONG TẬP SỐ HỮU TỈ
A Kiến thức cơ bản.
- Các phân số bằng nhau biểu diễn cùng một số, số đó gọi là số hữu tỉ Số hữu tỉ là
số viết được dưới dạng phân số
b
a
với a,b∈ Ζ ,b≠ 0 Tập hợp các số hữu tỉ kí hiệu là Q
- Giá trị tuyệt đối của một số hữu tỉ:
<
−
≥
=
0
0
x khi x
x khi x x
- Các phép toán trên tập Q:
+Phép cộng:
bd
bc ad d
c b
a+ = +
+Phép trừ:
bd
bc ad d
c b
a− = −
+Phép nhân:
d b
c a d
c b
a
⋅
⋅
=
⋅
+Phép chia:
c b
d a c
d b
a d
c b
a
⋅
⋅
=
⋅
=
:
- Phép cộng số hữu tỉ có 4 tính chất: Giao hoán, kết hợp, cộng với 0, cộng với số đối
- Phép nhân số hữu tỉ có 4 tính chất: Giao hoán, kết hợp, nhân với 1, nhân với số nghịch đảo
- Phép nhân phân phối với phép cộng Giữa thứ tự và phép toán có mối quan hê:
z y z x y
x< ⇒ ± < ±
yz xz y
x< ⇒ < (nếu z>0)
yz xz y
x< ⇒ > (nếu z<0)
- Quy tắc chuyển vế: Ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của đẳng thức đồng thời đổi dấu hạng tử đó
B Các dạng bài tập vận dụng.
I Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức, Rút gọn biểu thức:
a) PP giải
b) Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:
102
17 16 36
15 13 25 , 18 7
9
21 : 600
33 415 , 0 65
39 : 75
3 54
21
+
Trang 29
28 28
24 , 2 : 75
3 54 21 6
1 16 12
5 13 12
9 30
3
7 96 , 0 :
75
3 54
− +
+
Bài 2: Tính tỷ số
B
A
biết:
57 23
11 43
23
3 43 19
5 31 19
7 57
10
7 41 10
9 41 7
6 31
7
A
HD:
2
5 2
1 5 1 57
1 31
1 57 23
11 43 23
3 43 19
5 31 19
7 2
1
57
1 31
1 57 50
7 41 50
9 41 35
6 31 7
4 5
1
=
⇒
=
⇒
−
= +
+ +
=
−
= +
+ +
=
B
A B A B
A
Bài 3: Tính tỷ số
B
A
biết:
49 43
26 43
31
52 31 16
65 16 7
39 49
37
68 37
22
85 22 13
51 13
7
34
+ +
+
= +
+ +
A
HD:
3
17 49
26 : 49 34
49
1 7
1 3
13 49
1 43
1 6
26
16
1 7
1 9
39 49 43
26 43 31
52 31 16
65 16
.
7
39
49
1 7
1 3
17 49
1 37
1 12
68
13
1 7
1 6
34 49 37
68 37 22
85 22 13
51 13
.
7
34
=
=
⇒
−
=
+ +
−
= +
+ +
=
−
=
+ +
−
= +
+ +
=
B A B
A
Bài 4: Tính tổng:
30 29 28 27
1 6
5 4 3
1 5
4 3 2
1 4
3 2 1
1
⋅
⋅
⋅ +
⋅⋅
⋅ +
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
+
⋅
⋅
⋅
=
A
308 305
4 14
11
4 11 8
4 8 5
4
⋅ +
⋅⋅
⋅ +
⋅
+
⋅
+
⋅
=
B
HD:
+ + +
− + +
=
+ + +
− + + +
+
=
+ + +
− +
= + + +
= + +
+
) 3 )( 2 )(
1 (
1 )
2 )(
1 (
1 3
1 ) 3 )(
2 )(
1 ( ) 3 )(
2 )(
1
(
3 3
1
) 3 )(
2 )(
1 ( 3
3 )
3 )(
2 )(
1 ( 3
3 )
3 )(
2
)(
1
(
1
n n n n
n n n
n n n
n n
n
n
n
n
n n n n
n n n
n n n n
n
n
n
A =
30 29 28 27
1
6 5 4 3
1 5 4 3 2
1 4 3 2 1
=
8120
451 30
29 28
4059
3
1 30 29 28
1 3
.
2
.
1
1
3
B =
485
303 308 5 3
303 4 308
1 5
1 3
4 308
1 305
1 3
4
11
1 8
1 3
4 8
1 5
1 3
−
=
+ +
− +
−
Trang 3II Dạng 2: Tìm x thỏa mãn đẳng thức:
a) PP giải
b) Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm x biết
17 15
1 16 14
1 15 13 1
17 14
1 16 13 1
33
27 4
3
118
3 59
19 4
3 13
4 26 19
5
27
+ +
+
=
+
x
HD:
Tử số vế trái bằng 1
= +
17
1 14
1 16
1 13
1 3
1 17 14
1 16 13 1
=
17
1 14
1 16
1 13
1 2 1
12
13 2
3 33
27 4
3 3 2 33
27 4 3
+
⇒
=
+
x
Bài 2: Tìm x biết: 2 x + 3 = x + 2
Giải
Ta có: x+2≥0 => x≥-2.
+ Nếu x≥
-2
3 thì x + 3 = x + 2 => 2x+3=x+2=>x=-1 (Thoả mãn) + Nếu - 2≤
x<-2
3 Thì x + 3 = x + 2 =>-2x-3=x+2 => x
=-3
5 (Thoả mãn) + Nếu -2>x Không có giá trị của x thoả mãn
Bài 3: Tìm x biết: 1 4 ( 3, 2) 2
x− + = − + HD:
( )
3, 2
1 2 3
−
−
⇔
Bài 4: Tìm x biết:
a) x−7 +2x+5=6 b) 2x− − = 3 x 2 −x c) x+ 3 + x+ 1 = 3x
HD: a) x−7 +2x+5=6 ⇔ x− 7 =1-2x
Trang 4Do x− 7 ≥ 0với mọi x nên xét với 1 – 2x ≥ 0
2
1
≤
Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=
3
8 (loại do không thoả mãn đk x
2
1
Trường hợp 2: x – 7 = 2x -1 ⇒x = - 6( thoả mãn điều kiện của x)
GV: yêu cầu học sinh lên bảng trình bày phần b, c
III Dạng 3: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức chứa giá trị tuyệt đối:
a) PP giải
b) Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x − 2006 + 2007 − x khi x thay đổi.
Giải:
+ Nếu x<2006 thì: A=-x+2006+2007–x=-2x+4013
Khi đó: - x>-2006 =>-2x+4013>–4012+4013=1=> A>1
+ Nếu 2006≤x≤2007 thì: A=x–2006+2007–x=1
+ Nếu x>2007 thì A=x-2006-2007+x=2x–4013
Do x>2007=>2x–4013>4014–4013=1=>A>1
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006≤x≤ 2007
Cách 2 : Dựa vào hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau
- GV: Gọi học sinh trình bày
C Bài tập luyện tập.
Bài 1: Thực hiện phép tính:
A = ( 1 1 1 1 )1 3 5 7 49
4.9 9.14 14.19 44.49 89
− − − − −
Bài 2: Cho 1,11 0,19 1,3.2 (1 1) : 2 (57 21 0,5) : 223
+
a, Rút gọn A và B
b, Tìm x∈Z để A < x < B
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x− 2002 + −x 2001
D Bài tập về nhà.
Bài 1: Tìm x và y biết
a, 2 2 3 1
2
x− = b, 7,5 3 5 2 − − x = − 4,5 c, 3x− + 4 5y+ = 5 0 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a, A=3,7 4,3 x+ − b, B= 3x+ 8, 4 24, 2 − c, C= 4x− + 3 5y+ 7,5 17,5 +
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
a D= − x− b E = − − x − c F = − x− − y+
Bài 4: Tính giá trị của:
Trang 538 31
1 31 24
1 24 17
1 17 10
1 10 3
1 38
33
1 18
13
1 13
.
8
1
8
.
3
Bài 5:
a, Tính: P =
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2003 2004 2005 2002 2003 2004
−
b, Biết: 13 + 23 + + 103 = 3025 Tính: S = 23 + 43 + 63 + + 203 Bài 6: TÝnh
2005
1890 : 12
5 11
5 5 , 0 625 , 0
12
3 11
3 3 , 0 375 , 0 25 , 1 3
5 5
,
2
75 , 0 1 5
,
−
− +
−
+ +
− +
− +
− +
=
A
b) B=
+
7
2 14 3
1 12 : 3
10 10
3 1
4
3 46 25
1 230 6
5 10 27
5 2 4
1
13
c)
2 3 4 2012
2011 2010 2009 1
=
d)
50
31 93
14 1 3
1 5 12 6
1 6
5 4
19
2 3
1 6 15 7
3 4
31
11
1
−
− +
−
−
=
D
HD phần c: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = …
MS
2012 2012 2012 2011
= + + + − = 2012(1 1 1 1 )
2 3 4 + + + + 2012
Trang 6Buổi 2: LŨY THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ
A Kiến thức cơ bản.
- Khái niệm:
n
n x x x
x = ⋅ ⋅ ⋅⋅ (Với x∈Q, x≠0, n là số tự nhiên)
- Các phép toán về số hữu tỉ:
1, xm ⋅ xn = xm+n
2, xm: xn = xm−n (x≠ 0 , m≥n )
3, (x m)n =x m⋅n
4, (x⋅y)n =x n ⋅y n
n n y
x y
x
=
)
a
−
=
1
) 0 (a≠
Quy ước: x 1 =x, x 0 =1 ( x≠ 0)
- Lưu ý: n n
n m m
x = ⋅ ⋅⋅ ; (x m)n ≠ x m n
B Các dạng bài tập vận dụng.
Bài 1:
a, Có thể khẳng định được x2 luôn luôn lớn hơn x hay không?
b, Khi nào x2< x
Giải:
a) Không khẳng định được như vậy chẳng hạn x=1/2 thì 1 2 1
( )
2 < 2 b) x2< x⇔x2 − < ⇔x 0 x x( − < 1) 0 xảy ra nếu x và x-1 trái dấu
Vì x-1 < x nên x-1 < 0 và x > 0 suy ra 0 < x <1 Vậy 0 < x <1 thì x2 < x Bài 2: Tính
2 2 3 2 2 2
5 3
,(3 ) (2 ) ( 5 )
, 2 3.( ) ( ) 4 ( 2) : : 8
1 ,(4.2 ) : (2 )
16
a b
c
HD:
a) =34-26-252=81- 64 - 625=-608
b) =8+3-1+1=11
c) =27.2=28=256
Trang 7a, ( ) 4
8 0
15
12
6 3
1 9 3
1 15
4 7
3
b,
675 4
15 16 81 10
4
2
Giải:
8 0
15
12
6 3
1 9 3
1 15
4 7
3
4 8
8 8 3 2
3 2 3
1
= 35
b,
675 4
15 16 81 10
4
2
2 3 8
2 2 4 4 4 4
5 3 2
5 3 2 3 5
2 3 8
2 2 2 2 4
5 3 2
) 1 3 5 ( 5 3
=
3 2
124
3 2
7 2
4
5
=
3
2 4 3
14
=
Bài 4: Tính tổng:
a, A = 1+5+52+53+… +52008+52009
b, B= 2100-299+298-297+… +22
HD:
b) suy ra: 2B = 2101-2100+299-298+…+23-22 suy ra
2B+B= 2101-2
3B = 2(2100-1)
Suy ra B = 2(2100-1)/3
Bài 5: So sánh:
2
1 2
1 2
1 2
1 + + + ⋅ ⋅⋅
=
3
1 3
1 3
1 3
1
⋅⋅
⋅ + + +
=
4
1 4
1 4
1 4
1 + + + ⋅ ⋅⋅
=
3 1 Giải:
a) Ta có: A= 2A - A =1- 50
2
1
<1 b) Tương tự: 2B=3B-B=1- 100
3
1
<1 nên B<0,5 c) Tương tự
a a
a a
P= 1 + 12 + 13 + ⋅ ⋅⋅ 1 <
1
1
−
a
Bài 6: Tìm các số x, y, z biết:
(3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0
HD:
Trang 8Đánh giá 3 số hạng ở vế trái đều không âm rồi suy ra (x, y, z) bằng (
3
5
;1;
3
5 ) và ( 3
5
; -1;
3
5
)
Bài 7: So sánh hợp lý:
a)
200
16
1
2
1
b) (-32)27 và (-18)39
Giải:
a) Cách 1:
200
16
1
2
1 2
1
=
2
1
Cách 2:
200
16
1
> 200
32
1
= 5.200 1000
2
1 2
1
=
b) 3227 = ( 2 5 ) 27 = 2135 < 2156 = 24.39 = 1639 < 1839
⇒-3227 > -1839 ⇒(-32)27 > (-18)39
Bài 8: Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10 Giải:
Với mọi số nguyên dương n ta có:
3n+ 2 − 2n+ 2 + − 3n 2n= 3n+ 2 + − 3n 2n+ 2 − 2n
=3 (3n 2 + − 1) 2 (2n 2 + 1)
=3 10 2 5 3 10 2n× − × = × −n n n− 1 × 10
= 10( 3n -2n)
Vậy 3n+ 2 − 2n+ 2 + − 3n 2nM 10 với mọi n là số nguyên dương
C Bài tập luyện tập.
Bài 1: Tính nhanh:
a) A = 2008(1.9.4.6).(.9.4.7)…(1.9.9.9);
b) B = (1000 - 13).(1000 - 23).(1000 - 33 )…(1000 – 503)
Bài 2: Cho A= + + + + + 1 3 3 2 3 3 3 20; B= 3 : 2 21
Tính B A−
Bài 3: Tính các tổng sau:
n
Tổng quát:
a) S = + + + + + 1 a a2 a3 a n , với (a≥ 2, n N∈ )
S = + + + + +a a a a , với (a≥ 2, n N∈ )
S = + + + +a a a a + , với (a≥ 2, n N∈ *)
Bài 4: Cho A= + + + + + 1 4 4 2 4 3 4 , 99 B= 4 100 Chứng minh rằng:
3
B
A< .
Bài 5: Tính giá trị của:
Trang 9a) M = 1002 – 992 + 982 – 972 + … + 22 – 12;
b) N = (202 + 182 + 162 + … + 42 + 22) – (192 + 172 + 152 + … + 32 + 12); c) P = (-1)n.(-1)2n+1.(-1)n+1
Bài 6: Tìm x biết rằng:
a) (x – 1)3 = 27; b) x2 + x = 0; c) (2x + 1)2 = 25; d) (2x – 3)2 = 36;
h) 1 2 3 4 5 .30 31.
4 6 8 10 12 62 64 = 2x;
Bài 7: Tìm số nguyên dương n biết rằng:
a) 32 < 2n < 128; b) 2.16 ≥ 2n> 4; c) 9.27 ≤ 3n ≤ 243
D Bài tập về nhà.
Bài 1: Chứng minh rằng: 76 + 75 – 74 chia hết cho 55
Bài 2: Tính tổng C = 3100- 399 + 398 - 397 +… +32 - 3 + 1
Bài 3: Tính giá trị của đa thức sau tại x = -1
x2 + x4 + x6 + x8 + … + x100
Bài 4: Thực hiện phép tính:
3
1 ( : 1 3
1 3 3
1
6
2
−
−
+
−
−
( ) 3 2
2003 2
3
12
5 5 2
1 4
3 3 2
−
−
−
Bài 5: Cho biểu thức P = ( 4)( 5) ( 6)( 6)( 5)
x x x
x
x
+ +
−
−
− Hãy tính giá trị của P với x = 7 ? Bài 6: So sánh:
a) 9920 và 999910; b) 321 và 231; c) 230 + 330 + 430 và 3.2410
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a = x3y; b = x2y2; c = xy3 thì với bất kì số hữu tỉ x và y nào ta cũng có: ax + b2 – 2x4y4 = 0 ?
Bài 8: Chứng minh đẳng thức: 1 + 2 + 22 + 23 + … + 299 + 2100 = 2101 – 1
Bài 9: Tìm một số có 5 chữ số, là bình phương của một số tự nhiên và được viết bằng các chữ số 0; 1; 2; 2; 2