ĐỀ HSG HUẾ VÒNG 07-08

Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi : tgB + tgC = 2tgA.. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: S Hết... 1 Bài 4 NỘI DUNG ĐIỂM 4,5đ Cho AB

Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh

§Ị thi chÝnh thøc

Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 180 phút

Bài 1: (3 điểm)

Giải phương trình : sin3 x c x + os4 = 1 ( x ∈ ¡ )

Bài 2: (4 điểm)

a) Chứng minh rằng: ( )

3

x

+

−

b) Giải bất phương trình: 33x x− −2 1≥ + 2 3x3−1 ( x ∈ ¡ )

Bài 3: (4 điểm)

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau cĩ một số lẻ

nghiệm thực:

(3 x − 14 x + 14) − 4(3 x − 7)( x − 1)( x − 2)( x − = 4) m

Bài 4: (4,5 điểm)

Cho ABC là một tam giác nhọn cĩ trọng tâm G và trực tâm H khơng trùng nhau Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi :

tgB + tgC = 2tgA

Bài 5: (4,5 điểm)

a) Cho a, b là các số thực khơng âm tùy ý cĩ tổng nhỏ hơn hoặc bằng 4

5.

Chứng minh rằng : 1 1 1 1

b) Xét các số thực khơng âm thay đổi , , x y z thỏa điều kiện: x y z + + = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của:

S

Hết

Së Gi¸o dơc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh

Môn : TOÁN

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

Bài 1 NỘI DUNG ĐIỂM

(3đ) Giải phương trình: sin3x c x+ os4 =1 (x∈¡)

sin x+cos x= ⇔1 sin x+cos x=sin x+cos x

⇔sin2x(1 sin− x)+cos2 x(1 cos− 2x)=0 (*)

0,5

sin x 1 sin− x ≥0 và 2 ( 2 )

cos x 1 cos− x ≥0

sin x 1 sin− x =0 và 2 ( 2 )

cos x 1 cos− x =0

1

Nghiệm của phương trình đã cho là : x = kπ; x =

2

π

NỘI DUNG ĐIỂM

Bài 2

(4đ) Giải bất phương trình : 33x x− −2 1≥ + 2 3x3−1 ( x ∈ ¡ )

a) Ta cĩ: 2+3x3 − 1=1+1+3x3 − 1≥ 331.1.3x3 − 1 = 3 332

x+

(BĐT Cơsi, ∀ x∈¡ ) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = 1

1,0

Ta sẽ chứng tỏ với x≠1 thì: 33x x− − 2 1 < 2 + 3x3 − 1 (1) 0,5

Ta cĩ: 2+3x3 − 1> 3x33+2 (câu a/ và x≠1 )

và: x3+2 –3(3x-x2-1) = x3+3x2-9x+5 = (x-1)(x2+4x-5) = (x-1)2(x+5)

0,5

Với mọi x≥ −5 và x≠1 thì 33x x− − 2 1 ≤ 3 2

3 3

x+

< 2 + 3x3 − 1 Với x< −5 thì 33x x− − 2 1 < 30 < 2 + 3x3 − 1

0,5

Vậy bất phương trình đã cho chỉ cĩ một nghiệm là x = 1 0.5

Bài 3 NỘI DUNG ĐIỂM

(4đ) Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình sau cĩ một số lẻ nghiệm thực:

(3x2−14x+14)2−4(3x−7)(x−1)(x−2)(x− =4) m

Đặt: f x( )= −(x 1) (x−2) (x− = −4) x3 7x2+14x−8 và

g x = x − x+ − x− f x

g(x) là đa thức bậc 4 với hệ số của x4 là -3 Ta lập bảng biến thiên của g(x)

1

2

2

2

'( ) 0 1; 2; 4.

g x = ⇔ =x x= x=

(1) 9; (2) 4; (4) 36 g = g = g = x -∞ 1 2 4 +∞

g’(x) + 0 - 0 + 0

-g(x) 36

9

4

-∞ -∞

Từ bảng biến thiên cho thấy phương trình ( )g x =m có một số lẻ nghiệm khi và chỉ khi: m=4;m=9;m=36 1 Bài 4 NỘI DUNG ĐIỂM (4,5đ) Cho ABC là một tam giác nhọn có trọng tâm G và trực tâm H không trùng nhau Chứng minh rằng đường thẳng GH song song với đường thẳng BC khi và chỉ khi: tgB + tgC = 2tgA

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ :

A(p,q) , B(-r,-s), C(r,-s) (r>0; s>0;q>0) Ta có : ; 2 3 3 p q s G −   ÷  )

và p2+q2 = r2+s2 (2)

1 Do O, G, H thẳng hàng nên GH//BC khi và chỉ khi y G = ⇔ −0 q 2s=0 (3) 0,5 Với tam giác ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC Do đó : tgB + tgC = 2tgA ⇔ tgB.tgC = 3 (4) 1 Ta có: tgB =q s p r + + ; tgC = q s p r + − − ; tgB.tgC = 2 2 2 (q s) r p + − = 2 2 2 (q s) q s + − (do(2)) Hay: tgB.tgC = q s q s + − (5)

1 Nếu GH//BC thì từ (3) cho q = 2s Từ (5) suy ra tgB.tgC = 3 Do (4) mà tgB + tgC = 2tgA

0,5

Nếu tgB + tgC = 2tgA thì từ (4) và (5) cho q = 2s Do (3) mà GH//BC 0,5

BÀI 5 NỘI DUNG ĐIỂM

Câu a

(1,5đ) Chứng minh : 11−a a + 11−b b ≤ +1 11− −a b a b

+ + + + (*) với a, b≥0 và a + b ≤

4 5

r

q y

-r

-s

p

x

C

A

B

O

Bình phương các vế của (*) ta được:

1

ab

ab a b

−

1

ab a b

ab a b

+ − + + + + ≤1 a b+ +2 + 2 1 ( )

1

a b

a b

− + + +

1

u v

u v

+ − + + - 11

v v

−

(2 )

u v

v v u

+ + + + (với u = ab; v = a + b)

0,5

⇔ 1

1

u v

u v

+ − + + -

1 1

v v

−

uv

u v v

Nếu u = ab = 0 thì (*) có dấu đẳng thức

0,5

Xét u >0 Lúc đó (*) đúng khi bất đẳng thức:

2

2

v

v

1 1

u v

u v

+ − + + +

1 1

v v

− + (**) đúng.

Ta có: 1

1

u v

u v

+ − + + +

1 1

v v

− + > 2

1 1

v v

− + = 2

2 1

1 v

− + + ≥ 2

2 1 4 1 5

− + + =

2 3

Ngoài ra: 2

2

v v

2 2 1

v+ <23 (Do 0 < v = a + b ≤ 45 < 1 ) Từ đó (**) là bất đẳng thức đúng

0,5

Câu b

(3đ) Xét các số thực không âm thay đổi x,y,z thỏa điều kiện: x+ y + z = 1

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: 1 1 1

x y z S

x y z

Tìm Min S :

Từ x + y + z = 1 và x, y, z không âm, suy ra x, y, z thuộc đoạn [0;1]

Vì (1−x) (1+ = −x) 1 x2≤1 nên: 1 (1 )2

1

x

x x

− ≥ −

1

1 1

x

x x

− ≥ −

thức xảy ra trong trường hợp x = 0 hoặc x = 1

0,5

Khi x = y = 0 và y = 1 thì S = 2.

Vậy: MinS = 2

1

Tìm Max S : Có thể giả sử: 0≤ ≤ ≤ ≤x y z 1 Lúc đó: 1; 2 4

z≥ x y+ ≤ < Dùng câu a/, ta có:

S

1

x y

x y

− +

1 1

z z

− + =1 + 2

z z

1 1

z z

− +

0,5

Đặt h(z) =

2

z z

1 1

z z

− + Ta tìm giá trị lớn nhất của h(z) trên đoạn

1

; 1 3

0,5

1 '( ) 0

2

h z = ⇔ =z axf(z)=Max h 1 ; (1); 1 2

M    ÷ h h  = ÷

S

Khi x = 0 và 1

2

y z= = thì 1 2

3

S = + Vậy: MaxS = 1 + 2

3

0,5