HÀM SỐ FULL THẦY THẾ ANH

– 1 ĐIỂM – chính là PHẦN 1 của thầy dưới đây Câu 2: Câu liên quan đến hàm số Tiếp tuyến, Tương giao, Đồng biến- nghịch biến, Cực đại- cực tiểu, Suy đồ thị- biện luận, Giá trị lớn nhất-

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ VÀ CÂU LIÊN QUAN

Thầy Nguyễn Thế Anh

 Chuyên đề này vô cùng quan trọng bởi:

+ năm nào cũng có

+ chiếm 2/10 điểm trong đề thi

+ quan trọng hơn cả là dễ ăn điểm nếu các em cẩn thận

 Cấu trúc đề thi bao giờ cũng có 2 câu liên quan đến phần hàm số như sau:

Câu 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (Thường là hàm bậc 3, bậc 4, bậc nhất/bậc

nhất) – 1 ĐIỂM – chính là PHẦN 1 của thầy dưới đây

Câu 2: Câu liên quan đến hàm số (Tiếp tuyến, Tương giao, Đồng biến- nghịch

biến, Cực đại- cực tiểu, Suy đồ thị- biện luận, Giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất

trong 1 khoảng và một vài dạng kết hợp khác) – 1 ĐIỂM – là PHẦN 2

PHẦN 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ

1 1 HÀM SỐ BẬC NHẤT/BẬC NHẤT Năm 2015: là hàm bậc 3, năm 2016 là hàm bậc 4 nên khả năng cao năm 2017 sẽ

làm hàm bậc nhất/bậc nhất Tuy nhiên các em vẫn phải học hết nhé!

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

1 Đề dự doán 2017: 2 1

1

x y x

Trang 2

THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 2 1

1

x y x

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

1

x y x

1

x y x

1

x y

x

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1

1

x y x

 





BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 3

-1 O 1

1

x y x

 Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định và không đạt cực trị

 Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2

 Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

1

x y x

 Tập xác định: D \ { 1}

0, ( 1)

Trang 4

4

2

2 1 -1

O

 Giao điểm với trục hoành: cho y 0 x 0

Giao điểm với trục tung: cho x 0 y 0

1

x y x

1

x y

 Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định và không đạt cực trị

 Giới hạn và tiệm cận: lim 2 ; lim 2 2

Trang 5

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1

1

x y x

Trang 6

Trang 7

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y x3 3x2 3x

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  (1 x) (42 x)

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y 2x3 3x2 1

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 1 3 2

3

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y x3 3x2 1

Bài 6 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y x3 3x 1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Trang 8

 Hàm số đồng biến trên cả tập xác định; hàm số không đạt cực trị

 y 6x 6 0 x 1 y 1 Điểm uốn là I(1;1)

 Giao điểm với trục hoành:

 Đồ thị hàm số (như hình vẽ bên đây):

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y  (1 x) (42 x)

Trang 9

y

1 2 -1

 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–;1), (3;+)

 Hàm số đạt cực đại yCĐ = 4 tại xCĐ = 3 ; đạt cực tiểu yCT 0 tại xCT  1

 y    6x 12      0 x 2 y 2 Điểm uốn là I(2;2)

 Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4

 Đồ thị hàm số: nhận điểm I làm trục đối xứng như hình vẽ bên đây

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: y 2x3 3x2 1

 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1),(0; ), nghịc biến trên khoảng ( 1;0)

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tạixCD 1, đạt cực tiểu yCT = –1 tại xCT 0

Trang 10

THẦY NGUYỄN THẾ ANH SĐT : 0986.683.218 Facebook : nguyentheanh.teacher Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 1 3 2

 Hàm số đồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–;1), (3;+)

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 0 tạixCD 3; đạt cực tiểu CT 4

Trang 11

 Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2); nghịch biến trên các khoảng (–;0), (2;+)

 Hàm số đồng biến trên khoảng (–1;1) ; nghịch biến trên các khoảng (–;–1), (1;+)

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 3 tại tại xCD 1

đạt cực tiểu yCT 1 tại xCT 1

Điểm uốn là I(0;1)

 Giao điểm với trục tung: cho x 0 y 1

 Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2

 Đồ thị hàm số như hình vẽ:

Trang 12

Trang 13

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y x4 4x2 3

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y x2(4 x2)

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 4 2 4

Trang 14

 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 2),(0; 2),

nghịch biến trên các khoảng ( 2;0),( 2; )

Hàm số đạt cực đại yCĐ = 1 tạixCD 2, đạt cực tiểu yCT = –3 tại xCT 0

3 3

x x

Trang 15

 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 2),(0; 2),

nghịch biên trên các khoảng ( 2;0),( 2; )

x x

 Bảng giá trị: x 2 2 0 2 2

 Đồ thị hàm số như hình vẽ bên đây:

Trang 16

x y

-3 -1 O 1

x y

-4.5

-2

-4 -1 O 1 2

 Giao điểm với trục hoành:

 Đồ thị hàm số: như hình vẽ bên đây

Bài 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 4 2 4

Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y (x2 2)2 1

 Tập xác định: D

Trang 17

 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 2;0),( 2; ),

nghịch biến trên các khoảng ( ; 2),(0; 2)

33

x x

 Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2

Trang 18

PHẦN 2: CÂU LIÊN QUAN HÀM SỐ

Phần này chiếm 1 điểm trong đề thi và khó hơn chút ít so với câu thứ nhất là Khảo sát và vẽ đồ

thị Năm 2015 thi vào Giá trị lớn nhất – nhỏ nhất trong 1 khoảng Năm 2016 thi vào Cực đại

cực tiểu Nhìn chung năm nay khả năng cao sẽ rơi vào Tiếp tuyến hoặc Tương giao Tuy nhiên

các em vẫn phải học tất bởi nó dễ mà Tập trung cày chỉ 1 tháng là FULL SKILL

2.1 Bài toán Tiếp tuyến

Dạng 1: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm M( ,x y0 0)( ) :C y f x( )

* Tính y'  f x'( ) ; tính k  f x'( )0 (hệ số góc của tiếp tuyến)

* Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x( ) tại điểm M x y 0; 0 có phương trình

b) Tại điểm có hoành độ x = 2

c) Tại điểm có tung độ y =5

Giải: a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x y0( ;0 0)có dạng:

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y  5 3(x0)hay y = -3x +5

+) Phương trình tiếp tuyến tại của (C) tại điểm ( 3;5)

2

Do đó phương trình tiếp tuyến là: y 5 6(x 3) hay y6x6 35

+) Tương tự phương trình tiếp tuyến của (C) tại ( 3;5) là: y6x6 35

Ví dụ 2: Cho đồ thị (C) của hàm số 3 2

Trang 19

a) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành

b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = 0

a) Khi M ( )C Ox thì y0 = 0 và x0 là nghiệm phương trình:

x32x22x   4 0 x 2; y’(2) = 6, thay các giá trị đã biết vào (1) ta được phương

trình tiếp tuyến: y6(x2)

b) Khi M ( )C Oy thì x0 = 0 y0  y(0) 4 và y x'( )0  y'(0)2, thay các giá

trị đã

biết vào (1) ta được phương trình tiếp tuyến: y2x4

c) Khi x0 là nghiệm phương trình y”= 0 Ta có: y” = 6x – 4

a) Viết phương trình tiếp tuyến d với (C) tai điểm có hoành độ x=2

b)Tiếp tuyến d cắt lại đồ thị (C) tại điểm N, tìm tọa độ của điểm N

Giải a) Tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) có hoành độ x0  2 y0 3

Vậy phương trình tiếp tuyến d tại điểm M của đồ thị (C) là y9x15

b) Giả sử tiếp tuyến d cắt (C) tại N

Lời giải: Vì điểm A x y( ,0 0) (C)  y0 x033x01 , y' 3x2 3 y x'( )0 3x023

Tiếp tuyến của đồ thị hàm có dạng:

Trang 20

0 0 0

Trang 21

+ Tại tiếp điểm M1(0; -2) thì y’(0) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x 2

+ Tại tiếp điểm M2(2; 4) thì y’(2) = -3 nên tiếp tuyến có phương trình: y  3x 10

Tóm lại có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y  3x 2 và y  3x 10

Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (1) tại điểm có hoành độ bằng 1 cắt các trục Ox, Oy lần lượt

tại các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 3

Dạng 2: Viết tiếp tuyến của đồ thi hàm số y f x( ) (C) khi biết trước hệ số góc

+ Gọi M x y là tiếp điểm, giải phương trình ( ,0 0) f x'( )0   k x x0, y0  f x( )0

+ Đến đây trở về dạng 1,ta dễ dàng lập được tiếp tuyến của đồ thị:

Trang 22

*) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = ax + b Khi đó hệ số góc k = a

*) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): y = ax + b ka 1 k 1

yx  x (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hệ

số góc của tiếp tuyến k = -3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3(x     1) 2 y 3x 1

Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(-1;-3) là: y9(x   1) 3 y 9x6(loại)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(3;1) là: y9(x   3) 1 y 9x26

Trang 23

+) Với x = 2  y 4 Pttt tại điểm có hoành độ x = 2 là:

y x  x , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d): x5y20100

Giải: (d) có phương trình: 1 402

5

y  x nên (d) có hệ số góc là -1

5 Gọi  là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k thì 1 1 5 ( ( ))





 (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp

tuyến cắt trục hoành tại A, trục tung tại B sao cho tam giác OAB vuông cân tại O, ở đây O

là góc tọa độ

Giải Ta có: '

2

1(2 3)

0 0

21

1

x x x

Với x0  1 thì y0 1 lúc đó tiếp tuyến có dạng y x (trường hợp này loại vì tiếp tuyến

đi qua góc tọa độ, nên không tạo thành tam giác OAB)

Trang 24

Với x0  2 thì y0  4 lúc đó tiếp tuyến có dạng y  x 2

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  x 2

Ví dụ 14: Cho hàm số y = 2 1

1

x x



 có đồ thị (C)

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần

lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB

Giải Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M x y( ;0 0)( )C cắt Ox tại A, Oy tại B sao cho

   Hệ số góc của d bằng 1

4 hoặc

14

Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua điểm

Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua

điểm ( ; )A 

Cách giải

+ Tiếp tuyến có phương trình dạng: y f x( )0  f x'( )(0 xx0), (với x0 là hoành độ

tiếp điểm)

+ Tiếp tuyến qua ( ; )A  nên   f x( )0  f x'( )(0 x0) (*)

+ Giải phương trình (*) để tìm x0 rồi suy ra phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 15: Cho đồ thị (C): 3

yx  x , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp

tuyến đi qua điểm A(-2; -1)

x x  x  là tiếp điểm Hệ số góc của tiếp tuyến là y x'( )0 3x023

Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là :  3  2

Trang 25

Dạng 4 Một số bài toán tiếp tuyến nâng cao

Ví dụ 16: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: yx33x2 sao cho tiếp

tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2

( ; 3 2) , ( ; 3 2) ,

Ta có: y'3x23 nên các tiếp tuyến với (C) tại A và B có hệ số góc lần lượt là:

Tóm lại cặp điểm A, B cần tìm có tọa độ là: ( 2; 0) à (2; 4) v

Ví dụ 17: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) của hàm số: 2 1

1

x y x





 sao cho tiếp tuyến

của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 2 10

Giải: Hàm số được viết lại: 2 3

    là cặp điểm trên đồ thị (C) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với điều kiện: ab a,  1,b 1

Trang 26

(Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0, 1), D, E sao cho các tiếp tuyến của

(Cm) tại D và E vuông góc với nhau

Giải Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và đường thẳng y = 1 là:

m m





 , biết rằng

Trang 27

khoảng cách từ điểm I(-1; 2) đến tiếp tuyến là lớn nhất

Giải: Gọi là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại tiếp điểm M 2 2  

  Cả hai giá trị đều thỏa mãn a1

+ Với a = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là: 4x4y     4 0 x y 1 0

+ Với a = -3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến là:





 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết

tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung tương ứng tại các điểm A, B thỏa mãn OAB

vuông cân tại gốc tọa độ O

Giải: Gọi M x y là tiếp điểm Tiếp tuyến với (C) tại M phải thỏa mãn song song với  0; 0

x   không là nghiệm phương trình)

  Vậy có hai tiếp điểm là: M1(0;1) ,M2( 1;0)

+ Tại điểm M1(0; 1) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x + 1: thỏa mãn song song với d

+ Tại điểm M2(-1; ) ta có phương trình tiếp tuyến là: y = - x - 1: thỏa mãn song song với d

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y  x 1; y  x 1

Trang 28

Ví dụ 21: Cho hàm số 3

1

x y x





 Cho điểm M x y thuộc đồ thị (C) Tiếp tuyến của o( ;o o)

(C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B Chứng minh Mo là trung điểm của

đoạn thẳng AB

Giải M x y o( ;o o)  (C)  0

0

41





 (C) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều

lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

Giải Giả sử M ; 2

1

a a a





 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại M

cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm

tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất

0 0

1

22

x

x x

Tọa độ giao điểm A, B của () với hai tiệm cận là: 0  

0 0

y x



 suy ra M là trung điểm

Trang 29

3

x x

2 0

0

0 2 0





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp

tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2)

Giải Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x0  1)

0 2

Trang 30

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến: 1 5; 1; 5

Chú ý: Bài toán này có thể giải bằng cách sau: Tiếp tuyến cách đều A, B nên có 2 khả n ng:

Tiếp tuyến song song (tr ng) AB hoặc tiếp tuyến đi qua trung điểm của AB

 tìm điểm M ( )C sao cho tiếp tuyến của đồ thị hàm

số tại M cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1

( 1)

y x

( ,0)

00

Trang 31

y x y

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

e/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị: y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Dạng 2 : Tìm điều kiện để các điểm cực trị của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

 Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

 Biễu diễn điều kiện của bài toán qua tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số,

từ đó đưa ra điều kiện của tham số

0)('

0

x y

0 ) ( '

0

x y

Định dạng
Số trang	58
Dung lượng	2,78 MB