đề học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án

đề học sinh giỏi Toán lớp 9 có đáp án tham khảo

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2013 -2014

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: a Tính giá trị của biểu thức: A= 6 2 5− + 14 6 5−

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30

Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:





Tính giá trị của biểu thức: P = ( y2009 + z2009) ( z2011+ x2011) ( x2013 + y2013)

Câu 4: a Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H, trọng tâm I; Giao điểm 3 đường trung

trực là O, trung điểm của BC là M

Tính giá trị biểu thức: IO22 OM22

++

b Cho góc ·xOy Một đường thẳng d thay đổi luôn cắt các tia Ox; Oy tại M và N Biết giá trị biểu thức 1 1

OM +ON không thay đổi khi đường thẳng d thay đổi

Chứng minh rằng đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

Câu 5: a Cho các số x; y; z không âm, không đồng thời bằng 0 và thỏa mãn:

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ

đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán

Năm học: 2008-2009

Thời gian: 150 phút

Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình:

(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Cho 00 < α < 900 Chứng minh rằng: sin2008α +cos2009α <1

Bài 6: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với ∀x ∈ R

Bài 8: Cho ∆ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đ ờng tròn

nội tiếp; ra là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác Chứng minh: p(p – a)tgA

2 = S

Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB M chuyển động trên nửa đờng tròn Xác định

vị trí điểm M để MA + 3 MB đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho dãy số { }a đợc xác định theo công thức:n

Hết

-H ớng dẫn chấm

Cộng (1) và (2) suy ra: x = x hay x = 0 và x = 1 0,5đ

Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh đợc sinα; cosα < 1 với α < 900 1đ

Nên sin2008α < sin2α và cos2009α < cos2α nên sin2008α +cos2009α <1 1đ

Cho x = 0; 1; 2; nhận đợc Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ

Suy ra phơng trình Q(x) – Q(0) = 0 có vô số nghiệm Do đó Q(x) – Q(0) ≡ 0 ⇒ P(x) – x2 = Q(0) = P(0) Vậy P(x) = x2 + a với a là hằng số tuỳ ý Thử lại ta thấy thoả mãn bài toán 0,5đ

Bài 8: (2 đ) Chứng minh đợc S = (p – a)ra và ra = ptgA

KỲ ANH LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2002 – 2003

Môn Toán 9

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (6đ) Cho biểu thức : A = x y2 2 x y2 2 2

Bài 4 (5đ) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một đường thẳng d cố định nằm

ngoài (O) ; M là một điểm di động nằm trên đường thẳng d Từ M kẻ các tiếp tuyến

MA, MB với đường tròn (O).(A, B là các tiếp điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d, dây cung AB cắt OH, OM tại I và K Chứng minh rằng:

b) Đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên d.

Bài 5 (3đ) Các đường cao của tam giác ba góc nhọn ABC cắt nhau tại O, trên các

đoạn OB, OC lấy 2 điểm B1 và C1 sao cho AB C AC B 90· 1 = · 1 = o Chứng minh rằng: AB1

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 (6đ) Cho biểu thức: A = 2 x x 3x 3 : 2 x 2 1

Bài 3 (1,5đ) Số nào lớn hơn : (27112003!)2 hay 2711200327112003 ? ( n! = 1.2.3.4…n)

Bài 4 (6đ) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, d và d’ là các đường thẳng vuông

vuông góc với MO cắt d và d’ lần lượt tại K và N.

c) Gọi H là tiếp điểm của (O) và MN ; I là giao điểm của MB và AN Chứng minh:

HI song song với BN.

Bài 5 (1,5đ) Cho tứ giác lồi ABCD Xét hai tứ giác lồi F1 và F2 mà mỗi tứ giác mới này có hai đỉnh đối diện là trung điểm các đường chéo và hai đỉnh kia là trung điểm các cạnh đối của tứ giác ABCD Biết rằng diện tích của F1 và F2 bằng nhau Chứng minh rằng : Một trong hai đường chéo của tứ giác ABCD chia diện tích của nó thành hai phần bằng nhau.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2004 – 2005

Môn Toán 9

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Cho biểu thức A = x 1 : 2x 1

a) Chứng minh : EF là tiếp tuyến của đường tròn đi qua qua A, B, C.

b) Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ H xuống EF ; CE cắt BF tại K Chứng minh: K là trung điểm HI.

Bài 4 : Cho tứ giác ABCD, sao cho AB > AD và đỉnh C nằm trên đường phân giác

Thời gian làm bài : 150 phút Câu 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức : x2 – 1 có căn bậc hai;

a) CMR: ME + MF = AH b) Gọi I là trung điểm AM Tứ giác HEIF là hình gì?Vì sao?

AB AC+ =AD b) 12 12 12

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ ANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007

a) Tìm các giá trị của x để A(x) xác định Rút gọn A(x).

b) Chứng minh nếu x > 1 thì A(x).A(-x) < 0.

Câu 9 : Cho a, b, c ≥ 0 và a + b + c ≥27 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b + c + a

HẾT

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THẠCH HÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9 THCS – NĂM HỌC 2006 – 2007

Môn Toán 9

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Cho biểu thức : P =

3 3

a) Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Chứng minh rằng : Khi m thay đổi thì đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4 : Cho ∆ABC vuông tại A Qua A vẽ đường thẳng d vuông góc với trung tuyến

AI Các tia phân giác của các góc AIB và AIC cắt d lần lượt ở D và E.

c) Một đường thẳng x di động qua trọng tâm G của tam giác cắt AB ở M, cắt bAC ở

Thời gian làm bài : 150 phút

Bài 1 : Rút gọn các biểu thức sau:

a) Chứng minh : AC và BD vuông góc với nhau ;

đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.

Bài 4 : Cho ∆AOB Điểm M thuộc cạnh AB, kẻ MP, MQ lần lượt song song với OB,

a) Chứng minh: OP OQ 1

OA+OB =b) Gọi I là giao điểm của AQ và BP Chứng minh : Diện tớch tứ giỏc OPIQ bằng diện tớch tam giỏc AIB.

Bài 5 : Cho x, y, z là cỏc số thỏa món : xy + yz + zx = 2006 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của

biểu thức: P = x4 + y4 + z4.

HẾT

phòng gd - đt đức thọ

đề thi olympic huyện năm học 2010 - 2011

Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Cho biểu thức:

3

321

2332

1115

−+

−

=

x

x x

x x

x

x P

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 2: Giải các phơng trình sau: a) 7−x = x−5 b) x2 +3x+1=(x+3) x2 +1

Bài 3: Cho phơng trình: x2 −2(m+1)x+2m+3=0 (Trong đó m là tham số )

a) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn ( )2 4

Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) và I là điểm chính giữa cung AB

(Cung AB không chứa C, D) Dây ID, IC cắt AB lần lợt tại M và N

a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp

b) Đờng thẳng IC và AD cắt nhau tại E ; đờng thẳng ID và BC cắt nhau tại F Chứng minh rằng

FE song song với AB

Bài 5: Cho x,y〉0 thoả mãn:x2 +y2 =4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

11

x P

L u ý : Học sinh không đợc sử dụng bất kì loại máy tính bỏ túi nào

Hết

-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Mụn: Toỏn Thời gian làm bài: 150 phỳt

(khụng kể thời gian phỏt đề)

Cõu 1: (5điểm) Rỳt gọn biểu thức:

)1a(

1a

1

1

A

+++

100

199

11

4

13

113

12

112

11

11

Cõu 3: (3điểm) Giải phương trỡnh 3+ 2x−3 =x

Cõu 4: (3,5điểm) Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của

1b

b1a

aA

2 2

kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện

đề thi môn toánThời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Cõu 1: (4 điểm)

a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiờn n thỡ An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chớnh phương

b Tỡm cỏc số nguyờn x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5

Từ điểm P nằm ngoài (O;R) kẻ hai tiếp tuyến PA và PB với A và B là cỏc tiếp điểm Gọi H

là chõn đường vuụng gúc hạ từ A đến đường kớnh BC của đường trũn

a Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

b Tớnh AH theo R và PO = d

c Đường thẳng a đi qua P sao cho khoảng cỏch từ O đến đường thẳng a bằng R 2 , đường thẳng vuụng gúc với PO tại O cắt tia PB tại M Xỏc định vị trớ của điểm P trờn đường thẳng a để diện tớch ∆POM đạt giỏ trị nhỏ nhất

Cõu 5: (2 điểm)

Cho ba số dương a, b, c thoả món abc = 1 Chứng minh rằng:

Đề chính thức

-Hết-ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi này gồm 01 trang)

Câu 1: (3 điểm) Cho A =

−

=

−+

85))(

(

45))(

(

2 2

2 2

y x y x

y x y x

Câu 5: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 16

16 2

10 2

10

)1

()(

4

12

1

y x y

x x

y y

Một người đi bộ từ nhà đến sân ga Trong 12 phút đầu, người đó đi được 700m và thấy rằng

như vậy sẽ đến sân ga chậm 40 phút, vì thế trên quãng đường còn lại, người ấy đi với vận tốc 5km/h nên đến sân ga sớm 5 phút Hãy tính quãng đường từ nhà đến sân ga

Bài 3 (4 điểm):

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n2 + n + 1 không chia hết cho 9

b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 +2012x2+2011x +2012

Bài 4: (2,5 điểm) Tỡm số tự nhiờn n để n+18 và n−41 là hai số chớnh phương.

Bài 5: (1,5 điểm) Chứng minh đa thức sau.

A = n3 + 3n2 + 2n chia hết cho 6, với mọi số nguyờn n

Bài 6: (6,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC vuụng gúc tại đỉnh A, đường cao AH Đường trũn đường kớnh BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường trũn đường kớnh CH cắt cạnh AC tại điểm E Gọi I,J theo thứ tự là cỏc trung điểm của cỏc đoạn thẳng BH, CH

a,Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trờn một đường trũn Xỏc định hỡnh dạng tứ giỏc ADHE b,Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường trũn

c,Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tớnh độ dài đoạn thẳng DE?

đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện

Môn : Toán lớp 9 Năm học 2010-2011

( Thời gian làm bài 150 phút )

Câu 1: ( 2,5 điểm )

1 So sánh :

2008

20092009

2008 + và 2008+ 2009

2 Cho biểu thức

2010

1

3

12

11

1

++++

)13.(

3610

3

−+

−+

2 Biết góc MAN có số đo bằng 450, CM + CN = 7 cm, CM - CN = 1 cm Tính diện tích tam giác AMN

3 Từ điểm O trong tam giác AIK kẻ OP, OQ, OR lần lợt vuông góc với IK, AK, AI ( P ∈IK,

Q∈AK, R ∈AI) Xác định vị trí điểm O để OP2 +OQ2 +OR2 nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5: ( 1,0 điểm ) Cho ba số a, b, c thoả mãn 0≤a,b,c≤2 và a+b+c=3 Chứng minh rằng:

Cho x, y là hai số dương thỏa món : x2 + y2 = 4

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức :

Chứng minh: PQ // IK

Bài 6: ( 4,0 điểm)

Cho tam giỏc ABC cú BC = a , CA = b , AB = c Gọi đường cao hạ từ cỏc đỉnh A,B,C xuống cỏc cạnh BC , CA và AB tương ứng là ha , hb , hc Gọi O là một điểm bất kỳ trong tam giỏc đú và khoảng cỏch từ O xuống ba cạnh BC , CA và AB tương ứng là x , y và

z

Tớnh

c b

z h

y h

Thời gian làm bài 120 phỳt khụng kể thời gian giao đề

Với x 0; x> ≠ 1; x 1≠

4a) Rỳt gọn biểu thức A

b) Tớnh giỏ trị của A khi x 17 12 2= −

a) Chứng minh 4 điểm C, H, O, I cựng thuộc một đường trũn

b) Chứng minh MC là tiếp tuyến của (O;R)

c) Chứng minh K là trung điểm của CH

d) Xỏc định vị trớ của C để chu vi tam giỏc ACB đạt giỏ trị lớn nhất? Tỡm giỏ trị lớn nhất đú theo R

Bài 5: (1,5 điểm) Cho ( ) (2008 )2008

M= 3+ 2 + 3− 2a) Chứng minh rằng M cú giỏ trị nguyờn

b) Tỡm chữ số tận cựng của M

Chỳ ý: Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh.

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ

đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán9

Năm học: 2008-2009

Thời gian: 150 phút

Bài 1: Chứng minh khi m thay đổi, các đờng thẳng có phơng trình:

(2m - 1) x + my + 3 = 0 luôn đi qua một điểm cố định

Bài 5: Cho 00 < α < 900 Chứng minh rằng: sin2008α +cos2009α <1

Bài 6: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

Bài 7: Tìm tất cả các đa thức P(x) thoả mãn: P(x + 1) = P(x) + 2x + 1 với ∀x ∈ R

Bài 8: Cho ∆ABC có ba cạnh là a, b, c, có chu vi là 2p và diện tích S; r là bán kính đ ờng tròn nội

tiếp; ra là bán kinh đờng tròn bàng tiếp trong góc A của tam giác Chứng minh: p(p – a)tgA

2 = S

Bài 9: Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB M chuyển động trên nửa đờng tròn Xác định vị trí

điểm M để MA + 3 MB đạt giá trị lớn nhất

Bài 10: Cho dãy số { }a đợc xác định theo công thức:n

Thời gian làm bài 90 phút

Câu I Tìm tập hợp số hữu tỷ x để x2+4 là số hữu tỷ ?

Câu II x, y, z là các số thực dơng thoả mãn 1+ 4 +9 =1

z y

x Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y

+ z

Câu III Giải phơng trình: 81x4 + 5 = 33102x3+12x

Câu IV Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của a là số nguyên lớn nhất không vợt quá a, kí

15x−

Câu V Cho hình vuông ABCD, trên đờng chéo AC lấy điểm M; I, Q là trung điểm của AM và

MC Qua M vẽ đờng thẳng song song với AD, đờng thẳng này cắt AB tại N, cắt CD tại K

Chứng minh: IB.AK = DQ.CN

Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2008 - 2009Thời gian: 120 phút

Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau

Bài 3: Chứng minh rằng với α < 450, ta có sin2α = 2sinα cosα

Bài 4: Cho tam giác ABC có ãABC = 60 ; BC = a ; AB = c (a, c là hai độ dài cho trớc) Hình chữ 0

nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC

a/ Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Tính diện tích lớn nhất đó

b/ Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa

Tính diện tích của hình vuông đó

Bài 5: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng: 19b - a3 23 +19c - b3 23 +19a - c3 23 3(a + b + c)

ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤

- Hết

-đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9, Năm học 2007-2008

Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1 Tìm x, y ∈N* sao cho:

b) O là trung điểm của HD.

y1)(

yy1

yy1(

−

−+

−

−

Câu 2.Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y2 −5= 17−x2

Câu 3 Cho đa thức:

1y2x

1)(

y3x

+

+++ Trong đó x > 0 và y > 0.

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2 2

2 2

2

2

)ba(a

b)

ba(b

a

++

+++

Trong đó a và b là các số thực khác không

Câu 5 Cho tam giác vuông ABC (góc A = 900), đờng cao AH, có cạnh AB = 2 cm, đoạn HC = 3

cm Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ tam giác đều ABD

a) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 1 Cho phương trỡnh: 3 13 1

a) Giải phương trỡnh khi m = 2

b) Tỡm m để phương trỡnh cú đỳng hai nghiệm dương phõn biệt

Bài 2 a) Cho a, b, c là những số nguyờn thỏa món điều kiện:

Chứng minh rằng a3+ + b3 c3 chia hết cho 3

b) Giải phương trỡnh: x3 + ax2 + bx 1 0 + = , biết rằng a, b là cỏc số hữu tỉ

Bài 3 Cho x, y là các số nguyên dương, thỏa mãn: x y 2011 + =

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P = x(x2 + + y) y(y2 + x)

Bài 4 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, một dây cung MN = R

di chuyển trên nửa đường tròn Qua M kẻ đường thẳng song song với ON

cắt đường thẳng AB tai E Qua N kẻ đường thẳng song song với OM cắt đường thẵng AB tại F

a) Chứng minh tam giác MNE và tam giác NFM đồng dạng

b) Gọi K là giao điểm của EN và FM Hãy xác định vị trí của dây MN để

tam giác MKN có chu vi lớn nhất

Bài 5 Cho a, b, c là những số dương thỏa mãn: abc 1 = Chứng minh :

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2010-2011

LỜI GIẢI MÔN TOÁN LỚP 9

(Lời giải gồm 02 trang)

Từ (2) ta được x2− − =tx 1 0, với mỗi giá trị tùy ý của t, phương trình này luôn có đúng 1 nghiệm

dương (nghiệm còn lại âm), mà (3) đã có 1 nghiệm t = 1, nên để (1) có đúng 2 nghiệm dương phân biệt thì điều kiện cần và đủ là : Phương trình (4) hoặc có nghiệm kép t 1≠ hoặc có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm t = 1 Điều đó tương đương với :

Do x 1= + 2 là nghiệm của (1) nên: (1+ 2)3+a(1+ 2)2+b(1+ 2) 1 0+ =

Biến đổi và rút gọn, ta được: (3a b 8) (2a b 5) 2 0+ + + + + = (2)

Do a, b là các số hữu tỷ nên (2) chỉ xảy ra khi và chỉ khi 3a b 8 0 a 3

Có thể giả sử: x > y, suy ra: 1006 x 2010≤ ≤ (1) Đặt 2011 = a.

Khi đó: P = (x3+y ) 2xy (x y)3 + = + 3−3xy(x y) 2xy a+ + = −3 3x(a x)a 2x(a x)− + −

P = (3a 2)x− 2−(3a2−2a)x a+ 3 2 3 1 2 1 2 3

(3a 2)(x ax) a (3a 2)[(x a) a ] a

Suy ra: Giá trị lớn nhất của P đạt được tại x = 2010 (y =1) và max P = 8 120 605 021

Giá trị nhỏ nhất của P đạt được tại x = 1006 (y = 1005) và min P = 2 035 205 401

Ta có ·EMN 120= 0 (cùng bù với ·MNO 60= o do ME//ON)

Tương tự ·FNM 120= 0 nên ·EMN= ·FNM (2)

Từ (1), (2) ta được MNE∆ ~ NFM∆

MKN MEK EMK KMN EMK= + = +

= ·EMN 120= 0 nên K thuộc cung chứa góc

1200 dựng trên đoạn MN

Trên tia MK, lấy điểm I sao cho

KI = KN thì tam giác IKN là tam giác đều nên MK + KN = MI

Do I thuộc cung chứa góc 600 của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, I nên MI lớn nhất

(tức chu vi tam giác MKN lớn nhất, vì cạnh MN = R không đổi) khi và chỉ khi MI là

đường kính, khi đó K là trung điểm của cung MN nên ·MNK 30= 0 ⇒MEN 30· = 0⇒E ≡A

Tính giá trị của biểu thức Q m = 2 + + n3 p4

Bài 4: Cho tam giác ABC có góc B nhọn, trên cung nhỏ AC của đờng tròn ngoại tiếp

tam giác ABC, lấy điểm D khác A, C Gọi K, H lần lợt là hình chiếu của D trên các

đờng thẳng BC, AB I là giao điểm của KH và AC

b) Lấy điểm E là trung điểm AB Đờng tròn ngoại tiếp tam giác HDE cắt

IK tại F Chứng minh rằng F là trung điểm của IK

Bài 5: Cho hai số thực x, y ≠ 0 thỏa mãn ( x y 1 xy x + + ) = +2 y2

3

511

2

2

++

−+

x x

=++

9612

43

2 3 3

2 2

x y x x

x y

b a

a

Chứng minh tam giỏc ABC đều

Bài 4 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, gọi D là trung điểm của cạnh BC Lấy điểm M

bất kỳ trên đoạn thẳng AD (M không trùng với A) Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD

a) Chứng minh AH vuông góc với BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng

Bài 5 Các số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x+ y+z =1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

z z

y z y

y y

x y x

x F

++

+++

+++

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THCS - NĂM HỌC 2012 -2013

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9

11

1

++

−

−+

x

x x

33

51

11

−

t t

20

75)2(0143

5 2

t

t t

t t

=+

−

1)

2(

12

2 3

2 2

y x

y x

=+

1

1

3 3

2 2

y a

y a

11,11

,1

2 2

3 3 2

y a y

a y a

y a

abc c b a

1111

−++nguyên.

0.5

Không mất tính tổng quát, giả sử 1≤a<b<c⇒

abc c b a

111

1+ + − < 3 hay S < 3.

Hơn nữa ta có

abc a c b a

1111

+) S = 1 Ta có 1 =

abc c b a

1111

−+

c b a

111

1111

−+

c b a

111

>1 ⇒ b =1 loại vì không thỏa mãn b > a.

Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:

=+

=+

z b a

y a c

x c b

2

,2

,2

z y x c y z x b x z y

31112

32

12

12

z z

x x

z y

x z

Bài 4

5,0điểm

x D

b) 2.5 điểm Từ giả thiết suy ra ∠AIB=900 nên I là điểm chính giữa của cung

Mặt khác, theo kết quả câu a thì tia HN là tia phân giác của ∠AHB và ∠AHB là góc nội tiếp chắn cung AIB của đường tròn đường kính AB, nên tia HN phải đi qua I.

x y x

y x y x y x y x

++

+

=++

−++

=+

4 4 2

2

4 4 4 4 2

x y x

y x

4

34

54

12

−

=

−++

≥

−++

52

2 2

4

−

≥+

z

4

34

52

2 2

4

−

≥+

12

4

34

Ghi chú: Mọi cách giải đúng và gọn đều cho điểm tối đa tương ứng

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Bài 4 Cho đường tròn đường tròn (O; R), đường kính AB vuông góc với dây

cung CD tại H ( H O ≠ ) Biết AH = a; CD = 2b.

a) Chứng minh rằng các tam giác HAD và HCB đồng dạng với nhau

UBND HUYỆN NGHI XUÂN

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2013 -2014

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1: a Tính giá trị của biểu thức: A= 6 2 5− + 14 6 5−

Chứng minh rằng P chia hết cho 30 khi và chỉ khi S chia hết cho 30

Câu 3: Cho ba số x, y, z khác 0 và thoả mãn:



Tớnh giỏ trị của biểu thức: P = ( y2009 + z2009) ( z2011+ x2011) ( x2013 + y2013)

Cõu 4: a Cho tam giỏc nhọn ABC cú trực tõm H, trọng tõm I; Giao điểm 3 đường trung

trực là O, trung điểm của BC là M

Tớnh giỏ trị biểu thức: IO22 OM22

++

b Cho gúc ãxOy Một đường thẳng d thay đổi luụn cắt cỏc tia Ox; Oy tại M và N Biết giỏ trị biểu thức 1 1

OM +ON khụng thay đổi khi đường thẳng d thay đổi

Chứng minh rằng đường thẳng d luụn đi qua một điểm cố định

Cõu 5: a Cho cỏc số x; y; z khụng õm, khụng đồng thời bằng 0 và thỏa món:

đề thi olympic huyện năm học 2011 - 2012

Môn toán lớp 9; Thời gian làm bài 120 phútCâu 1:

a) Rỳt gọn biểu thức: M=

21139

625)62049)(

625(

−

−

−+

b) Cho x=3182+ 33125 +3 182− 33125 Chứng minh x là một số tự nhiờn

Câu 2: Cho hệ phương trỡnh:







= +

= +

1 - m 4y 2)x - (m

0 3)y (m -

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

xyz

z xy y

zx x

yz

C©u 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung BC không chứa

điểm A Gọi điểm H và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ điểm M đến cạnh BC và

AC, điểm I là chân đường vuông góc hạ từ điểm M đến đường thẳng AB

Chứng minh: a) Tứ giác BHMI nội tiếp

b) Ba điểm H, I, K thẳng hàngc) AB AC BC

625)62049)(

625(

)23()625()23

(1 điểm)

b) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi

m

m m

(1 điểm)

(1 điểm)

(0,5 điểm)

b) ĐK: x≥1; y≥2; z≥3

xyz

z xy y

zx x

y x

x−1+ −2 + −3

Theo bất đẳng thức COSI ta có:

22

11

x− ≤ − + =

23.3

;22

122

12

13222

z

z y

y x x

Dấu đẳng thức xẩy ra khi: x=2; y=4; z=6

Vậy: Max M =

32

122

12

(0,5 điểm)

(1 điểm) (0,5 điểm)

b) Tứ giác BHMI nội tiếp ⇒BHI· =BMI· (1)

Tứ giác CKHM nội tiếp ⇒KHC· =KMC· (2)

(0,5 điểm)

2

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

2

2 2 2

a c

c b a c

b

c b a b

a

c b a

+

++++

++++

++

a c

b c

b

a b

a

c

+

++

++ +3

Ta l¹i cã: a2+b2 ≥2ab nªn

ab

c b a

c

2

2 2 2

b bc

a c b

a

2

;2

2 2 2

2 2 2 2

2

≤+

≤+

a c

b c

b

a b

a

c

+

++

+

b bc

a ab

c

222

2 2 2

2 2 2 2 2

+

++

+

c b a a c c b b a

(0,5 điểm)

(0,5 điểm)

(0,5 điểm) (0,5 điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Câu 2: (4,5 điểm) a) 2,25 điểm b) 2,25 điểm

a) Phương trình đã cho tương đương với 4 ( 2)2

y y

x x

Với mọi số nguyên m thì m m;( −1);(m+1);(m−2);(m+2) là 5 số nguyên liên tiếp

nên trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3;1 thừa số chia

hết cho 5 mà 2; 3; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên tích của chúng chia

hết cho 2.3.5 Hay m m( −1)(m+1)(m−2)(m+2) chia hết cho 30 (2)

Và m m;( −1);(m+1)m m;( −1);(m+1);(m−2);(m+2) là 3 số nguyên liên tiếp nên

trong đó có 1 thừa số chia hết cho 2; 1 thừa số chia hết cho 3 mà 2; 3 nguyên tố

cùng nhau nên tích của chúng chia hết cho 2.3 Hay 5 (m m−1)(m+1) chia hết cho

2

x y z =+ + (2)

a) Ta có MO // HA (cùng vuông góc với BC)

OK // BH (cùng vuông góc với AC)

⇒·KOM = ·BHA (góc có cạnh tương ứng song song)

MK // AB (M, K là trung điểm BC và AC)

⇒ ·HAB = ·OMK (góc có cạnh tương ứng song song)

⇒∆ABH đồng dạng với ∆MKO (1,0)

AH = AB =2 ( 0,5)

Xét ∆AIH và ∆MIO có MO MI 1

AH = AI = 2 và ·OMI = ·HAI (so le trong)

⇒∆AIH đồng dạng với ∆MIO ⇒ IO 1

OM +ON = a (1) ( a là số dương cho trước) Lấy điểm D trên Oy sao

cho OD = a thì OD < ON Vẽ DI song song với Ox ( I∈đoạn MN ) Lấy E trên Ox

sao cho OE = ID Khi đó OEID là hình bình hành

D∈ Oy; E∈ Ox nên D; E cố định Mặt khác O cố định và OEID là hình bình hành

nên I cố định Vậy d luôn đi qua I cố định (ĐPCM)

0,75

CÂU 5 (3,5 điểm) Câu a) 2 điểm Câu b) 1,5 điểm

a) Trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức: Với ∀a, b, c ∈ R và x, y, z > 0 ta có

I O

Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số dương ta có:

1

x y z VT

2013

( Ghi chú: Mọi cách giải khác đúng và hợp lí đều cho điểm tối đa tương ứng)

275)

1)(

3(

32

67311

15

−+

−+

−

=

−+

+

−

−+

x x x

x

x x x

x x

3

52)1)(

3(

)52)(

1(

+

−

=

−+

x

x x

b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P (2 ®iÓm)

Do x +3≥3 nªn

3

23

1753

17

++

Bµi 2: (5®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau:

a) (2,5 ®) 7−x =x−5; Víi ®iÒu kiÖn:x 5≥

MÆt kh¸c ·DAB DCB 180+· = o ⇒DEF DBA· =·

⇒EF song song víi AB

Suy ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P b»ng 9 khi x y= = 2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút

(không kể thời gian phát đề)

E

FI

1 1

avìđ)

đ)

(đ)đ)

đ)

5,0((

)1a(a

1aa25,0()

a

5,0()1a(a

)1aa25

,0()

1a(a

)1a()1a(a

a

5,0()

1a(a

)1a()11aa

(

a

5,0()

1a(a

a)1a()1a(a)

1a(

1a

1

1

A

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

4

2 2

2 2

2

2 2

2 2 2

2 2

2

>

+

++

=

+

++

=+

++++

=

+

+++++

=

+

++++

=++

+

=

b/ Từ câu a suy ra

đ)đ)

1100100

199

1

4

13

13

12

12

11

1

99

1(100

199

11

4

13

113

12

112

1a

11)1a(a

1aa)1a

(

1a

1

1

2 2 2

=+

++

=+

+

Cộng từng vế của (2) và (3), ta cĩ:

đ)đ)

đ)25

,0(0yx

(x

2

1(2005y

2005x

)yx(2005x

x2005

y

=+

=

=+

++

−

=+

+++

+

Câu 3: ĐKXĐ: 2x – 3 ≥ 0 (0,25đ)

đ)6

xnhất duynghiệm 1

có

pt

Vậy

đ)nhận)

loại)đ)

đ)đ)

đ)

5,0(

5,0((

6x

;(2x

3x5

,0(0)6x)(

2x

(

3x

5.0(012x8x

3x5

,0(9x6x3x2

03x

25,0(3x3x2x

3x2

3

2 1

2 2

Câu 4 : Đặt a – 1 = x > 0, b – 1 = y > 0 (0,25đ), ta cĩ:

đ)đ)

5,0(4y

1yx

1

x

5,0(y

1y2yx

1x2x5,0(y

)1y(x

=

++

EBOCBKnênBvới phụcùngB

có

lại

Ta

đ)BC

KB

đ)E

OB

1(KB

OBBC

BEB

KˆtgO

ˆ

75,0(BKˆOKˆECˆBAˆ

II §¸p ¸n vµ biĨu ®iĨm:

Câu 1: (4 điểm)

a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì An = n(n+1)(n+2)(n+3)+ 1 là số chính phương

b Tìm các số nguyên x để x3 - 2x2 +9x - 9 chia hết cho x2 + 5

a Ta cĩ:

3 2) 1(

b Đặt A = x3 - 2x2 +9x - 9 = x(x2 +5) - 2(x2 + 5) + 4x + 1

Do đĩ: AM (x2 +5) ⇔ (4x + 1) M (x2 + 5) (1)

Vì 4x ≠ -1 và 4x ≠ 1, nên từ (1) suy ra (4x + 1)(4x - 1) M (x2 + 5)

⇒ (16x2 - 1) M (x2 + 5) ⇒16(x2 + 5) - 81 M (x2 + 5) ⇒ 81M (x2 +5)

Vì x2 + 5 ≥ 5 nên chỉ xảy ra một trong hai trường hợp sau:

x2 + 5 = 81 ⇔ x2 = 76 (khơng cĩ giá trị x nguyên nào thoả mãn)

x2+ 5 = 27 ⇔ x2 = 22 (khơng cĩ giá trị x nguyên nào thoả mãn)

x2 + 5 = 9 ⇔ x2 = 4 ⇔ x = 2 (t/m) hoặc x = -2 (khơng thoả mãn (1)

Vậy với x = 2 thoả mãn điều kiện bài tốn

0.50.250.250.5

0.250.25Câu 2: (4 điểm)

a Tính giá trị của biểu thức A =

0.25 0.25 0.25

b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

Vì u>0,v>0, từ (2) suy ra: u v− − =2 0 Vì vậy 2x2+5x+12 = 2x2+3x+ +2 2(3)

Bình phương 2 vế và thu gọn ta được phương trình 2 2x2+3x+ = +2 x 3

71,

tớch ∆POM đạt giỏ trị nhỏ nhất.

j a

Ta có: ãABC BPO=ã (góc có cạnh tơng ứng vuông góc) ; ãHAC BPO=ã (góc có cạnh

t-ơng ứng song song) ⇒BPOã =ãHAC ⇒ ∆ACH : ∆POB (g,g)

0.5

0.5 0.5 0.25 0.25 0.5

∆MOP vuông tại O, có : PB.MB = OB 2 = R 2 (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra S MOP ≥ R 2

⇒ ∆MOP có diện tích nhỏ nhất bằng R 2 khi và chỉ khi PB = BM = R.

⇒ ∆ PBO vuông cân tại B ⇒ OP = R 2.

Vậy ∆MOP có diện tích nhỏ nhất khi OP = R 2 Khi đó P là chân đờng vuông góc

0.5 0.25

0.25 0.25 0.25 0.25