Đề thi học sinh giỏi toán lớp 8 có đáp án chi tiết đề (9)

Đề bài: Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI : TOÁN 8 - 5

Thời gian: 90’

I Đề bài:

Bài tập 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

a) x2 - (a+b) xy + aby2

b) a2- b2 – 2a + 1

c) a3 – 19a + 30

Bài tập 2:

a) Tìm a,b,c sao cho đa thức x4 + a x2 + bx + c chia hết cho đa thức ( x-3)3

b) cho a + b + c = 2012

Chứng minh rằng : 2 a32 b32 c3 3abc

  

     = 2012 Bài tập3:

a) Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào giả trị của biến

P = ( 2 2 28 ) : 4

b) Cho Q = 1 2013x xy 1 2013y yz1 2013z zx

Chứng minh rằng Q là số nguyên; biết rằng xyz = 1

Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD.Lấy điểm M tuỳ ý trên BD.Từ M kẻ ME  AB; MF

AD.Chứng minh

a) CF = DE; CFDE

b) CM = FE ; CM FE

c) CM,BF,DE đồng qui

III.Đáp án:

Bài 1

(2,5điểm) a) = x

2 – a xy – bxy – aby2 = x(x-by) – ay( x-by)

= ( x- ay)(x – by)

b) = (a2 – 2a + 1) – b2

= ( a – 1)2 – b2

= ( a -1- b)( a – 1 + b)

c)= a3-4a -15a -30

= a(a2-4)-(15a-30)

= a(a-2)(a+2)-15(a-2)

= (a-2) (a2-2a-15)

= (a-2)( a2+3a-5a-15a)

= (a-2)(a+3)(a-5)

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0,25đ Bài 2

(1,5điểm) a) = x

4+a x2+bx+c=(x-3)3(x+d) = (x3-9x2+27x-27)(x+d)

= x4+(d-9)x2+(27-9d)x2+(27d-27)x-27d

cân bằng hệ số ta có

d-9=0  d=9

-27d = c c=-243

27d-27=b b=216

27-9d=a  a=-54

Vậy a=-54;b=216;c=-243;d=9 thì x4+a x2+bx+c chia hết cho

(x-3)3

b)Ta có a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2

 a3+b3+c3-3abc = (a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc

= (a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

= (a+b+c)(a2+b2+c2+2ab –ac-bc)-3ab(a+b+c)

= (a+b+c)( a2+b2+c2-ab –ac-bc)

Vậy

3

  

      

    

= a+b+c = 2013

025đ

0,5đ

0,25đ

0,5đ

0,25đ

Bài 3

(2điểm)

a) P=

( 2) ( 2) 16 4 8 16 4

2( 2)( 2) 2 2( 2)( 2) 2

4 4

2 2



  b) Q = 1 2013x xy1 2013y yz 1 2013z zx

     

1 1

z xz xyz   xz xyz z xy    z xz)

0,75đ

0,25đ

0,5đ

0,5đ

= 2013( 1

z xz  xz z  z xz) = 2013 Bài 4

(4 điểm)

F

E

M

B A

I N

a) AEMF là hình chữ nhật  AF=EM

EBM cân tại E vì EBM = 450  EB =EM

 AF= EB mà AB = AD  AE=FD

 ADE =DCF (c,g,c)  FC=DE và AED=CFD

mà AED+ADE =900  CFD+ADE =900

 FID=900 CFDE

b) MEF =GMC(c.g.c)  CM = FE và EFM =MCG

ta lại có MFC=FCD(so le trong)

mà FCD+ FCM +MCG=900  EFM +MFC+FCM =900

 CNF=900  CM FE

c)Xét EFC có EI,CK là đường cao nên FB là đường cao

thứ 3 nên CM,BF,DE đồng qui

0,5đ

0,5đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ

0,25đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ

G