tóm tắt Toán 12

tóm tắt Toán 12 tham khảo

Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng

GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 1

a

b x

2

' '

2 1,2

2 , 1

nếu a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; nếu a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a;

S=x1+x2= - b/a ; P=x1.x2= c/a (đl Vieet)

0 ) (

0

2 1

0)(

0

2 1

(2

1cos

);

2cos(

sin- );

2sin(

cos

2

x x

x x

x x

1 sin2x   x ; 1+tg2x=

x

2cos

q  

Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng

GV: Bien Soan: Huỳnh Công Thành DT: 0909077549 2

u v

1

u2

'u

u ' 

(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - u’sinu (tgx)’ = cos x

1

'

u2

(cotgx)’ =

x sin

1

2

 (cotgu)’ =

usin

1

(lnu)’ = uu'

(logax)’ =

a ln x

1

(logau)’ = ulna

'u

'

y

a y

'

'

y

a y

- để hs có cực trị trên D y’=0 có 2 n0 pb

- để hs không có cực trị y’=0 VN hoặc có nghiệm kép

- hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến tại đây qua đthị

- chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua 2 điểm cực trị, nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu

- đồ thị cắt ox tại 3 điểm pb cách đều nhau  ax3+bx2+cx+d=0 có 3 nghiệm lập thành csc  y’=0 có 2 nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox

- để hs có 3 (hoặc 1) cực trị trên D  y’=0 có 3 n0 pb (hoặc 1 n0)

- để hs có điểm uốn  y’’=0 có 2 n0 pb

- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb >0 ; P>0 ; S>0

4

- đồ thị cắt ox tại 4 điểm pb lập thành csc  >0 ; P>0 ; S>0 ; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet

3 Hàm nhất biến :

d cx

b ax y

bc ad y

x e

dx

c bx ax y

 Miền xác định D=R\  e d

 Tính y’=    2

2 2

.

e dx

p nx mx

e dx

- đthị nhận giao điểm 2 tiệm cận làm tâm đối xứng

- có 2 cực trị hoặc không  y’= 0 có 2 nghiệm pb khác nghiệm của mẫu hoặc VN

- nếu xi là cực trị thì giá trị cực trị là

d

b ax

 2 và đó cũng là đt qua 2 điểm cực trị

- đthị cắt ox tại 2 điểm pb  ax2+bx+c=0 có 2 nghiệm pb

5

* CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS:

1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt)

@ Loại 1: pttt tại M(x0,y0)  y=f(x)

tính: y’=

y’(x0)=

pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0

@ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước

ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm được y0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x0)+y0

f

y x x k x

f

)(

'

)(

)

thay (2) vào (1) giải pt này tìm được x thay vào (2) ta được k thế vào pttt d ở trên

2/ Giao điểm của 2 đường: Cho y=f(x) và y = g(x)

+ ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này được mấy nghiệm là có mấy giao điểm

+ bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi về dạng f(x)=g(m)

đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị

) ( ) (

g x f

x g x f

c/ g(x) = ax2+bx+c  0 trong (,)  ag()0 ; ag()0{áp dụng cho dạng có m2}

d/ trong g(x) có chứa m biến đổi về dạng ,m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn nhất của h(x) (m<minh(x))

e/ đối với hàm có mxđ D=R\{x0} thì

 tăng trên (,+) y’0 ; x0

 giảm trên (,+) y’0 ; x0

6

4 Cực trị:

* y = f(x) có cực trị  y’= 0 có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0)

* y=f(x) có cực đại tại x0  

0'

0

0

x y

x y

* y=f(x) có cực tiểu tại x0  

0 '

0

0

x y

x y

c bx ax y

Tính

 / /2

/ ( )

b x a

x g y

0/ / /

a

b g

g

================================================================

5 GTLN, GTNN:

a Trên (a,b) Tính y’

 Lập bảng biến thiên trên (a ; b )

b Trên [a;b] Tính y’

 Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x0   a b ;

a a

b

a b

2 Công thức logarit: loga b = ca c =b ( 0< a1; b>0)

Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0 ; R ta có: log a (x1x2)=loga x1+loga x2 ;

8

* Dạng loga x  b( a> 0 , a0, x>0 )

loga x    b x ab , khi a >1 ; loga x    b x ab , khi 0 < x < 1

 Đặt ẩn phụ; mũ hóa…

VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN:

Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm của hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b)

1

1

1

1

1

1

a dx

eax b 1 ax b

a dx

b ax

a

a m dx

amx n mx n

ln 1

a x

b t

b x

F dt

t f

Các dạng đặc biệt cơ bản:

x a

dx I

e x P

b

a

x

).

10

Loại 2: B = b 

a

dx b ax Ln x

P( ) ( )

Phương pháp:

Đặt u = Ln(ax+b)  dx

b ax

2a Cos a Sin   ;

2

21



 (a < b)

 Hoành độ giao điểm của (c) và tục ox là nghiệm của phương trình: f(x) = 0

Nếu p.trình f(x) = 0 vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn a; b thì:



 b

a

dx x

) (

dx x

f( ) + 



b

dx x

a x

   b

a

b a

dx x f dx

x f

1 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn

 a; Khi (H) quay quanh trục ox tạo ra vật thể có thể tích: b V bf x  dx

a

) (

2





2 Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn

 a; Khi (H) quay quanh trục oy tạo ra vật thể có thể tích: b

g y  dy

a

) (

 (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i

 (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i

 (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i



o Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực : 1,2

2

b x

 Định lý đảo của định lý Viet :

Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1  z2  S và z z1 2  P thì z z1, 2 là nghiệm

của phương trình : 2

0

z SzP ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12

I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG

V ĐỊNH LÍ TALET MN // BC

a) AM AN MN

AB  AC  BC ; b) AM AN

MB  NC

VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p a)(p   b)(p c)  (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông: a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông):

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau)

N M

C B

A

60 o 30 o

C B

A

G P

N M

C B

A

14

b) Cạnh huyền bằng a 2

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 38

6 Tam giác cân:

a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

8 Hình thoi: S = 1

2d1.d2 (d1, d2 là 2 đường chéo)

9 Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo bằng a 2

10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

11 Đường tròn: a) C = 2R (R: bán kính đường tròn)

b) S = R2 (R: bán kính đường tròn)

VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

1 Đường trung tuyến: G: là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) * BG = 2

3BN; * BG = 2GN; * GN =

1

3BN

2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác

VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

15

1 Hình tứ diện đều: Có 4 mặt là các tam giác đều bằng nhau

Chân đường cao trùng với tâm của đáy (hay trùng với trọng tâm của tam giác đáy)

Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau

2 Hình chóp đều: Có đáy là đa giác đều Có các mặt bên là những tam giác cân bằng

nhau Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các

Nếu AH () thì d(A, ()) = AH (với H ())

IX KHỐI ĐA DIỆN:

1 Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao)

2 Thể tích khối chóp: V = 1Bh

3 (diện tích đáy là đa giác)

 O H

A

d' d



7 Thể tích của khối trụ tròn xoay: V = Bh =  R2h ( h: chiều cao khối trụ)

8 Diện tích của mặt cầu: S = 4 R2 (R: bk mặt cầu )

9 Thể tích của khối nón tròn xoay: V = 3

4 R

2 1 1

3

1 3 3

a a b b

a a b

b

a a b

a 

6) a,b  a.b.Sina,b

2 2

1 1

b a

b a

b

a b

II TOẠ ĐỘ ĐIỂM:

Trog không gian Oxyz cho A  xA; yA; zA  ; B  xB; yB; zB  1) AB   xB  xA; yB  yA; zB  zA

A B

A B

C B A G

C B A G

C B A G

z z z z

y y y y

x x x x

4) G là trọng tâm tứ diện ABCD  GA  GB  GC  GD  0 

D C B A G

D C B A G

D C B A G

z z z z z

y y y y y

X x x x x

5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có:

k ky y

y

k kx x

x

B A M

B A M

B A M

1 1

1 , k  1

z z z

y y

y

x x

x

A I

B A I

B A

2 1 1 3

1 3 3 2

3

,

b b

a a b b

a a b b

a a b

a 

2) Phương trình tổng quát của mp    có dạng: Ax + By + Cz + D = 0

Với A2  B2  C2  0 ; trong đó n  A;B;Clà VTPT của mp   

19

 Trục Ox chứa i    1 ; 0 ; 0 

 Trục Oy chứa j  0;1;0

 Trục Oz chứa k  0;0;1

Vấn Đề 4: Viết phương tình mp    là mặt phẳng trung trực của AB

 Mp     AB Nên có VTPT là AB đi qua I là trung điểm của AB

y x

Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện của mặt cầu (S) tại tiếp điểm A

 Xác định tâm I của mặt cầu (S)

 Mặt phẳng    : Mp tiếp diện có VTPT : IA

 Viết phương trình tổng quát

IV ĐƯỜNG THẲNG:

 Phương trình đường thẳng:

2 2

1 1

1 1

D z C y B x A

D z C y B x A

với A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C2

2) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0 x0; y0; z0 có VTCP

t a y y

t a x x

3 0

2 0

1 0

0 1

0

a

z

z a

y

y a

2

2

1 1 1

1

D z C y B

x

A

D z C y

1 1 2

2

1 1 2

2

1 1

;

;

B A

B A A

C

A C C

B

C B

a

 Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng :

 Cần biết VTCP a    a1; a2; a3  và điểm M0 x0; y0; z0 

 Viết phương trình tham số theo công thức (2)

 Viết phương trình chính tắc theo công thức (3)

 Viết phương trình tổng quát thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát:

0

2

0 1

0

a

z z a

x x

a

y y a

x x

 Rút gọn về dạng (1)

 Chú ý: Viết phương trình tổng quát về phương trình tham số Hoặc chính tắc Ta tìm:

- VTCP u    a1; a2; a3 bằng vấn đề 11

- Cho một ẩn bằng 0 Hoặc bằng một giá trị nào đó.Giải hệ tìm x, y => z

- Có điểm thuộc đường thẳng

- Kết luận

 Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng  đi qua điểm M0x0;y0;z0 và vuông góc với mặt phẳng   : AxByCzD0

 Mp    có VTPT là n    A ; B ; C 

21

Đường thẳng  đi qua điểm M0 và có VTCP là n

 Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát

 Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu của d trên mp  

 Mp   đi qua điểm M0 d

 Viết phương trình tổng quát của Mp  

 Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 x0; z y0; 0 và vuông góc với

hai đường 1 và 2

 1 có VTCP u1

 2 có VTCP u2

 d vuông góc với 1 và 2 Nên d có VTCP làu d   u 1,u 2

 Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt cả hai đường

1

 và 2

 Thay toạ độ A vào phương trình 1 và 2  A  1, A  2

 Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 1

 Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua điểm A và chứa 2

 Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d    P cắt cả hai đường 1 và 2

 Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau 1 và 2

 Gọi u1 và u2lần lượt là VTCP của 1 và 2

 Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng 1 và 2

 Gọi    là mặt phẳng chứa 1 và có một VTCP là nP ( VTPT của (P) )

 Gọi   là mặt phẳng chứa 2 và có một VTCP là nP ( VTPT của (P) )

 Đường thẳng d        

 Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M 0 vuông góc với đường thẳng 1 và cắt đường thẳng 2

 Gọi   là mặt phẳng đi qua M0 và vuông góc 1

 Gọi   là mặt phẳng đi qua điểm M0 và chứa 2

2 B C A

D Cz By

 Viết phương trình mặt cầu

 Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD

2 2

CI AI

BI AI

 Giải Hpt  I IA = R

0 0 0

0,

C B A

D Cz By Ax M

M d

M

,, 0 1

1 

4) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau  và /

 Gọi u và u/ lần lượt là VTCP của  và /

  đi qua điểm M0 , M0/  / :    

/ 0 0 / /

,

,,

u u

M M u

u d

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a Cos

2 2

2 1

2 3

2 2

2 1

3 3 2 2 1 1

.

.

b b b a a a

b a b a b a b

a

b a Cos

/ / / A B C C

B A

CC BB AA Cos

2 B C a b c A

Cc Bb Aa Sin

là tâm đường tròn giao tuyến

6 Tọa độ giao điểm của đường thẳng  và mặt cầu (S)

* Viết phương trình đường  về dạng phương trình tham số

* Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta được phương trình () theo t

 Nếu ptr () vô nghiệm =>  không cắt mặt cầu (S)

 Nếu ptr () có nghiệm kép =>  cắt (S) tại một điểm

Nếu ptr () có hai nghiệm =>  cắt (S) tại hai điểm

Thế t = vào phương trình tham số của  => Tọa độ giao điểm

 Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M / đối xứng của M qua mặt phẳng  

 Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng của M qua  

 Gọi d là đường thẳng đi qua M và d  Nên d có VTCP là n

 Viết phương trình tham số của d

 Vì H là trung điểm của MM/ => Tọa độ điểm M/

 Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M / đối xứng của M 0 qua đường thẳng d

/ 0

/ 0

/ 0

z z z

y y

y

x x

x

H H H

=> M /