Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 viên bi chọn được là một số chia hết cho 3.. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm B có hoành độ dương.. Cho tứ diện ABCD, M là một đ
Trang 1SỞ GD&ĐT THANH HÓA
TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 2
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2014- 2015 MÔN: TOÁN - KHỐI 11
(Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1( 4,0 điểm)
1 Giải phương trình 2 3.
1 2 cos 2
5 sin 6 2 sin 3 2 cos
2
=
−
− +
+
x
x x
x
2 Tính giới hạn sau:
n
n I
n
→+∞
Câu 2( 4,0 điểm)
1 Một hộp đựng 50 viên bi được đánh số từ 1 đến 50, chọn ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để tổng các số ghi trên 3 viên bi chọn được là một số chia hết cho 3
2 Cho tam giác nhọn ABC có góc B bằng 450 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = cotA + cotC
Câu 3( 4,0 điểm)
1 Giải hệ phương trình sau: ( ) ( 2 2 ) ( 2 2)
2
2 Cho khai triển: ( )10( 2)2 2 14
1 2+ x 3 4+ x+4x = +a a x a x+ + + a x Tìm giá trị của a6?
Câu 4( 6,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, có BD nằm trên đường thẳng d: x + y – 3 = 0, điểm M( -1; 2) thuộc đường thẳng AB, điểm N(2; -2) thuộc đường thẳng AD Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết điểm B có hoành độ dương
2 Cho tứ diện ABCD, M là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với AD, BD, CD tương ứng cắt các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD) tại A’, B’, C’ Tìm vị trí điểm M sao cho MA’.MB’.MC’ đạt giá trị lớn nhất
3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(1 ; 1) và đường tròn (C) có tâm I, bán kính R = 2 Viết phương trình đường tròn là ảnh của đường tròn (C) qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 450 và phép vị
tự tâm O, tỉ số k= 2
Câu 5( 2,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz Chứng minh rằng :
( )2 ( )2 ( )2
4
……… Hết………
Họ tên thí sinh:……… Số báo danh:………
Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ĐÁP ÁN
1.1
1 2 cos 2
5 sin 6 2 sin 3 2 cos
2
=
−
− +
+
x
x x
x
x
Phương trình đã cho tương đương với:
cos2x+ 3 sin 2x+6sinx− =5 2 3 cosx ⇔2 3 sinx−1 cosx+ −1 2sin x+6sinx− =5 0
x x
=
=
π
=
⇔ + = − ⇔
2
2 6
6
6
x= π +k π
(với k∈Z )
0,25 0,5
0,5
0,5 0,25 1.2
2 Tính giới hạn sau:
n
n I
n
→+∞
Ta có:
2
suy ra
n
n u
n
=
=
2
+ + ÷ + + ÷ + + ÷ + − + − + ÷
= ( )
( ) ( 2 ) (2 2( )1)
1
n
+ +
2
n I
+ +
0,5
0,5
0,5 0,5
Câu
2
2.1 - Số cách chọn 3 viên bi từ 50 viên bi là 3
50
C
- Trong 50 viên bi ban đầu được chia làm ba loại: có 17 viên bi ghi số chia cho 3 dư 1;
17 viên bi ghi số chia cho 3 dư 2 và 16 viên bi ghi số chia hết cho 3
C +C +C = cách TH2: 3 viên bi được chọn mỗi viên một loại C C C171 171 161 =4624
0,5 0,5
0,5
Trang 30,5 2.2
+
0 0
os
2
=
− +
− +
2
c A C− + > ,
2
Vậy min
2 2 1 2
P =
0
0,5
0,5
0,5 0,5
Câu
3
3.1
( )
2
3
x≥ − y≤
Từ phương trình (1): x3−3x2+3x− =1 y3+3y2+3y+1
( ) (3 )3
⇔ − = + ⇔ = − , thế y = x – 2 vào (2) ta được
2
2
2
2
x x
− + + − + +
2
1
2 0
2
x x
x
x x
x
= −
⇔ − − = ⇔ =
Vậy hệ phương trình có nghiệm là (-1; -3) và (2; 0)
0,5
0,5
0,5 0,5
1 2+ x 3 4+ x+4x = +a a x a x+ + + a x Tìm giá trị của a ?6
2
1 2+ x 3 4+ x+4x = +1 2x 2+ +1 2x
Hệ số của x6 trong kt ( )10
4 1 2x+ là4.2 C6 106
Hệ số của x6 trong kt ( )12
4 1 2x+ là4.2 C6 126
Hệ số của x6 trong kt ( )14
1 2x+ là2 C6 146
0,5 0,5
0,5 0,5 Câu
Trang 4ta có tọa độ điểm H(t; 3 – t).MH tuuuur( +1;1−t),
mà MH ⊥ ⇔d MH uuuuur r = ⇔ + − + = ⇔ = ⇔0 t 1 1 t 0 t 0 MHuuuur( )1;1
suy ra MB= 2MH =2, điểm B thuộc d nên B(b; 3 – b);
⇔ + + − = ⇔ = = − , điểm B(1; 2)
Ta có pt đường thẳng AB: y = 2; AD: x = 2 tọa độ điểm A(2; 2)
Điểm D là giao điểm của BD và AD nên D(2; 1)
Gọi I là trung điểm của BD, suy ra 3 3;
2 2
I
Vậy A(2;2), B(1;2), C(1;1), D(2,1)
0,5
0,5 0,5
0,5
AM ∩ BC = {A1}
BM ∩ AC = {B1},
Trong (DAA1) :
Kẻ đường thẳng qua M
song song với AD cắt DA1 tại A’
1
ABC
S
∆
∆
1
ABC
S
∆
∆
1
ABC
∆
∆
Hay M là trọng tâm tam giác ABC
0,5
0,5
0,5
0,5
1 là ảnh của I qua phép quay tâm O, góc quay 450 thì I1(0; 2)
Gọi I’ là ảnh của I1 qua phép vị tự tâm O, tỉ số k= 2 thì I’(0 ; 2)
Do đó phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện phép quay và phép vị tự thì I có
ảnh là I’(0 ;2) Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép đồng dạng nói trên thì (C’) có tâm là I’
và bán kính 'R =kR=2 2
x + −y =
0,5 0,5
0,5 0,5 câu
5
Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn xy + yz + zx = 3xyz
Trang 5Chứng minh rằng : ( )2 ( )2 ( )2
4
x y z
⇔ + + =
Đặt a 1,b 1,c 1 a b c 3
Ta có
1
1
1
BĐT đã cho tương đương với
3 4
b c + a c + b a ≥
Áp dụng BĐT Cô – si ta có:
3 2 3 2 3 2
3
3
3
b c
a c
a b
+
+
+
3
dpcm
+ +
dấu ‘=’ xảy ra khi a = b = c = 1, hay x = y = z = 1
0,5
0,5
0,5
0,5
Chú ý : Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa câu đó.