b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P.. Vẽ đ-ờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC.. Một tiếp tuyến với đđ-ờng tròn O cắt cạnh AB, AC theo thứ tự tại M, N.. b/ Chứng minh rằng: OM, ON chia tứ giác
Trang 1Phòng GD&ĐT Đề kiểm tra khảo sát HSG
Thời gian: 120 phút
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức.
3
2 2 : 9
3 3 3 3
2
x
x x
x x
x x
x
a/ Rút gọn P
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 2: (2 điểm)
a/ Giải phơng trình sau: 3 7 x 1 x 2
b/ Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x y 1980
Bài 3: (2 điểm)
a/ Cho a.x2009 b.y2009 c.z2009 và 1 11 1
z y
Chứng minh rằng: 2009a.x2008 b.y2008 c.z2008 2009a 2009b 2009c
b/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
x
x
5
9
Bài 4: (3 điểm) Cho ABC cân tại A có góc B = , O là trung điểm của BC Vẽ đ-ờng tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC Một tiếp tuyến với đđ-ờng tròn (O) cắt cạnh AB,
AC theo thứ tự tại M, N
a/ Chứng minh rằng: MON =
b/ Chứng minh rằng: OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác
đồng dạng
c/ Cho BC = 2a Xác định vị trí của tiếp tuyến MN để tổng BM + CN nhỏ nhất
Bài 5: (1 điểm) Cho ABC nhọn, các đờng cao AA' ,BB' ,CC' cắt nhau tại H
Chứng minh rằng: 6
' '
CH H
B
BH H
A AH
Hớng dẫn giải
Bài 1: a) Rút gọn kết quả là: P =
3
3
x
b) Vì P < 0 nên P nhỏ nhất khi
3
3
x lớn nhất x 3 nhỏ nhất x = 0
Do đó P nhỏ nhất là -1 khi x = 0
Bài 2: a) Đặt điều kiện cho ẩn, đặt ẩn phụ a = 3 7 x , b = 1 x
Trang 2Suy ra a3 + b2 = 8 và a + b = 2.
Giải ra đợc (a, b) = (-1, 3); (-2, 4); (2, 0)
Từ đó suy ra nghiệm x 8 ; 15 ; 1
b) Biến đổi thành x y 6 55 suy ra x, y là các căn thức đồng dạng của
55 Đặt x a 55 ; y b 55 thì a + b = 6
Tính đợc (a, b) = (1, 5); (2, 4); (3 3); (4, 2); (5, 1)
Do đó (x, y) = (55, 1375); (220, 880); (495, 495); (880, 220); (1375, 55)
Bài 3: a) Đặt M = 2009a.x2008 b.y2008 c.z2008
2009
2009 2009
.
.
a x z y x x a z
z c y
y b x
x a
=>
x
M
a
2009 Tơng tự 2009b M y ;
z
M
c
2009
Suy ra điều phải chứng minh
b) Đặt điều kiện Ta có
6 9 9 6
1 9
1 9
x
Do đó A
30
1
Dấu “=” xảy ra khi x = 18
Bài 4:
a) Ta có B + C + 2M1 + 2N1 = 3600
=> + M1 + N1 = 1800 => MON =
b) GV tự làm
c) Chứng minh BM.CN = a2
=> BM + CN 2a dấu “=” xảy ra khi BM = CN
=> Tiếp tuyến MN // BC
Bài 5:
Đặt S1 là dt AHB;
S2 là dt BHC ; S3 là dt CHA
S là dt ABC
=> S = S1+S2+S3
O
A
M
N
1 1
H A
B' C'
Trang 3Ta có 6 6
2
1 3
1
3 2
3
2 1 2
3
1
3
3
2 1
2 3
1
2
1
S
S S S
S S S
S S S
S S
S S
S S
S S
S
S
S
2 1 3 2
2
1
1
3
3
S
S S
S S
S S
S S S
S S S
S
S
' ' '
9 '
' '
' '
'
HA
AH HC
CH HB
BH HA
AA HC
CC HB
BB
(đpcm) Dấu “=” xảy ra khi S1 = S2 = S3 => ABC đều