Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng (FULL)

Mục đích và đối tượng nghiên cứu của luận án Luận án này nghiên cứu một số khía cạnh ứng dụng của các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân với các mục đích như sau: 1. Tìm mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi, các quy tắc tổng và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; 2. Trả lời câu hỏi “Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet có đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không?”; 3. Làm rõ khả năng của đối đạo hàm trong việc nhận biết tính đơn điệu của các ánh xạ liên tục và khả năng của dưới vi phân bậc hai trong việc nhận biết tính lồi của các hàm số khả vi liên tục; 4. Khảo sát tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Đối tượng nghiên cứu: các quy tắc tính toán, định lý giá trị trung bình xấp xỉ, tính đơn điệu của ánh xạ, tính lồi của hàm số, tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân. 2.2. Các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân và các kỹ thuật của giải tích hàm, giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu,…. 2.3. Các kết quả chính và kết luận Các kết quả chính của luận án này bao gồm: 1. Một kết quả về mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; 2. Một đặc trưng của không gian Asplund theo định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet; 3. Một số điều kiện cần và điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ liên tục là đơn điệu; một số điều kiện cần và điều kiện đủ theo dưới vi phân bậc hai để một hàm số khả vi liên tục là lồi; 4. Các công thức ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu; 5. Một số kết quả về tính ổn định Lipschitz-like của bất đẳng thức biến phân chứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu. Luận án góp phần làm phong phú các kết quả về hệ thống các quy tắc tính toán trong giải tích biến phân. Vì nhiều bài toán thực tế dẫn đến mô hình bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện, nên kết quả về tính ổn định được thiết lập trong luận án này có thể có ích cho việc khảo sát các bài toán đó.

Trường Đại học Vinh

-nguyễn thị quỳnh trang

Một số quy tắc tính toán

trong giải tích biến phân và ứng dụng

luận án tiến sĩ toán học

Nghệ An - 2015

Trường Đại học Vinh

-nguyễn thị quỳnh trang

Một số quy tắc tính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng

Chuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 62 46 01 02

luận án tiến sĩ toán học

Người hướng dẫn khoa học:

1 PGS TS Nguyễn Quang Huy

2 PGS TS Trần Văn Ân

Nghệ An - 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi Các kết quả viết chungvới tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án Cáckết quả trong luận án này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ côngtrình khoa học nào của ai khác.

Nghệ An, 5 - 2015Tác giả

Nguyễn Thị Quỳnh Trang

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫncủa PGS TS Nguyễn Quang Huy và PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các Thầy về sự tận tình hướng dẫn và giúp đỡ.Xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến GS TSKH Nguyễn Đông Yên,người đã luôn hỗ trợ và khuyến khích tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Phòng Giải tích số và Tính toán Khoahọc, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, KhoaSư phạm Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã tạomọi điều kiện để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh

Xin chân thành cảm ơn GS Gue Myung Lee và GS Yongdo Lim đã hỗ trợtạo điều kiện để tác giả trình bày các kết quả nghiên cứu của mình tại seminarcủa Khoa Toán ứng dụng, Đại học Quốc gia Pukyong, Busan, Hàn Quốc, vàtại Hội thảo Quốc tế về Ma trận dương và Toán tử: Sự phát triển và những tiến

bộ gần đây, Đại học Quốc gia Kyungpook, Daegu, Hàn Quốc, 24 - 28/6/2012.Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm vàgóp ý của các Thầy Cô giáo tổ Toán giải tích và của Hội đồng khoa học và đàotạo Khoa Sư Phạm Toán học, Trường Đại học Vinh Tác giả xin chân thànhcảm ơn về những sự quan tâm và giúp đỡ quý báu đó

Nhờ những ý kiến nhận xét và góp ý của GS TSKH Lê Dũng Mưu,PGS TS Trần Đình Kế, hai phản biện độc lập và Hội đồng chấm luận áncấp cơ sở, bản luận án này đã được cải thiện đáng kể so với bản luận án đầutiên Tác giả luận án chân thành cám ơn các phản biện và Hội đồng cấp cơ sở

về những chỉ dẫn quan trọng

Xin được gửi lời cảm ơn đến các anh chị em nghiên cứu sinh, những người

đã chia sẻ những khó khăn trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã luôngiúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Nghệ An, 5 - 2015Nguyễn Thị Quỳnh Trang

Mở đầu 1Chương 1 Nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi 111.1 Các khái niệm cơ bản 111.2 Nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh và quy tắc tổng 191.3 Nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh 22

Chương 2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet

2.1 Kiến thức chuẩn bị 282.2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet 302.3 Đặc trưng tính đơn điệu của ánh xạ qua đối đạo hàm 41

Chương 3 Tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân

3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện 583.2 Công thức ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm 613.3 Tính ổn định kiểu Lipschitz của bài toán VI f(p, ã); Θ(b)
68

Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 81

B (hoặc BX) hình cầu đơn vị đóng (trong X)

X∗ đối ngẫu tôpô của không gian X

σ(X∗, X) tôpô yếu∗ trên X∗

hx∗, xi giá trị của x∗ tại x (x∗ ∈ X∗ và x ∈ X)

∇f (x) : X → Y đạo hàm của f tại x

T∗ : Y∗ → X∗ toán tử liên hợp của T : X → Y

int(Ω) phần trong của tập Ω

x ∈ Rn x là phần tử của Rn được viết dưới dạng

2 kết thúc chứng minh

lim inf ϕ giới hạn dưới của hàm số ϕ

lim sup ϕ giới hạn trên của hàm số ϕ

Lim sup F giới hạn trên Painlevé-Kuratowski theo dãy

của ánh xạ đa trị Fb

N (x; Ω) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x

N (x; Ω) nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x

T (x; Ω) nón pháp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x

Tw(x; Ω) nón pháp tuyến Bouligand-Severi yếu của Ω tại xb

D∗F đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ F

DN∗ F đối đạo hàm pháp tuyến của ánh xạ F

DM∗ F đối đạo hàm hỗn hợp của ánh xạ F

b

∂ϕ dưới vi phân Fréchet của hàm ϕ

∂ϕ dưới vi phân qua giới hạn của hàm ϕ

b

∂2ϕ dưới vi phân bậc hai Fréchet của hàm ϕ

∂N2ϕ dưới vi phân bậc hai pháp tuyến của hàm ϕ

∂M2 ϕ dưới vi phân bậc hai hỗn hợp của hàm ϕ

VI(K; F ) bất đẳng thức biến phân trên tập lồi K

với trường véctơ F

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Giải tích biến phân là một bộ phận toán học được hình thành và pháttriển nhằm trang bị các công cụ để nghiên cứu các bài toán tối ưu và nhữngvấn đề có liên quan ([48], [74]) Một mặt, các bài toán tối ưu thường xuyênxuất hiện trong các khoa học ứng dụng Mặt khác, giải quyết vấn đề dựa vàotối ưu là một phương pháp hiệu quả trong toán học Điều này làm cho giải tíchbiến phân trở thành một lĩnh vực đáng quan tâm xét theo cả góc độ lý thuyếtlẫn góc độ ứng dụng Lĩnh vực này hiện đang được nhiều nhà toán học quantâm nghiên cứu ([5], [11], [38], [48], [53], [55])

1.2 Hệ thống các quy tắc tính toán đóng vai trò quan trọng trong giải tíchbiến phân ([9], [48], [74]) Nó là cầu nối giữa những kết quả tổng quát vớinhững ứng dụng cụ thể Theo B S Mordukhovich ([48, p 361]), "bất kỳ cấutrúc hay tính chất nào được đưa ra là có tiềm năng sử dụng chỉ khi nó có cácquy tắc tính toán thỏa đáng" Chính vì vậy, ngay khi giới thiệu các cấu trúc viphân suy rộng người ta đã chú trọng đến việc thiết lập quy tắc tính toán chochúng Hệ thống các quy tắc tính toán bậc nhất của vi phân suy rộng trong giảitích biến phân về cơ bản đã đầy đủ ([9], [48]) Hiện nay, phát triển quy tắctính toán bậc hai đang là một chủ đề nghiên cứu có tính thời sự trong giải tíchbiến phân ([22], [55], [60]) Cùng với việc tìm kiếm quy tắc tính toán mới, sửdụng các quy tắc tính toán đã được thiết lập để khảo sát các tính chất của ánhxạ, hàm số hoặc tập hợp cũng là một vấn đề rất được quan tâm ([9], [10], [11],

[14], [16], [21], [46], [48], [51], [53], [64], [74]).

1.3 Tính đơn điệu và tính Lipschitz là những tính chất cơ bản trong giảitích biến phân và ứng dụng ([6], [48], [74]) Mặc dù các tính chất này đã đượcnghiên cứu mạnh mẽ trong những thập kỷ qua, một số vấn đề thú vị liên quan

đến chúng, chẳng hạn như, đặc trưng đối đạo hàm của ánh xạ đơn điệu ([13],[20]), đặc trưng dưới vi phân bậc hai của hàm lồi ([11], [13]), tính ổn định kiểuLipschitz (Lipschitz-like) của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bịnhiễu ([60], [79]), , đến nay mới chỉ được giải quyết thỏa đáng cho một sốtrường hợp dưới những giả thiết nhất định Các trường hợp còn lại vẫn đangcần được khảo sát thêm Sự phát triển gần đây của giải tích biến phân, đặc biệt

là hệ thống các quy tắc tính toán, đưa đến cho chúng ta hy vọng có thể đạt

được những bước tiến mới theo hướng nghiên cứu này

Với các lý do như thế, chúng tôi chọn đề tài là "Một số quy tắc tính toántrong giải tích biến phân và ứng dụng"

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án này nghiên cứu một số khía cạnh ứng dụng của các quy tắc tínhtoán trong giải tích biến phân với các mục đích như sau:

- Tìm mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnhqua ánh xạ khả vi, các quy tắc tổng và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker;

- Trả lời câu hỏi "Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet

có đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không?"

- Làm rõ khả năng của đối đạo hàm trong việc nhận biết tính đơn điệu củacác ánh xạ liên tục và khả năng của dưới vi phân bậc hai trong việc nhận biếttính lồi của các hàm số khả vi liên tục;

- Khảo sát tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập

lồi đa diện bị nhiễu.

3 Đối tượng nghiên cứu

Các quy tắc tính toán, định lý giá trị trung bình xấp xỉ, tính đơn điệu của

ánh xạ, tính lồi của hàm số, tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biếnphân trên tập lồi đa diện

4 Phạm vi nghiên cứu

Mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánhxạ khả vi, các quy tắc tổng dạng đẳng thức và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker; tính hiệu lực của định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới viphân Fréchet; các điều kiện theo đối đạo hàm để một ánh xạ liên tục là đơn

điệu và các điều kiện theo dưới vi phân bậc hai để một hàm số khả vi liên tục

là lồi; các điều kiện cần và điều kiện đủ để bất đẳng thức biến phân trên tậplồi đa diện bị nhiễu là ổn định kiểu Lipschitz

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân vàcác kỹ thuật của giải tích hàm, giải tích biến phân, lý thuyết tối ưu,

6 ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả về hệ thống các quy tắctính toán trong giải tích biến phân và ứng dụng Vì nhiều bài toán thực tế dẫn

đến mô hình bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện ([25, p 20 - p 70]),nên kết quả về tính ổn định được thiết lập trong luận án này có thể hữu ích choviệc phân tích những bài toán đó

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Năm 1963, để khảo sát các bài toán tối ưu lồi không khả vi, R T Rockafellar

([72, Definition 2-G]) đã giới thiệu khái niệm dưới vi phân cho các hàm lồi,lúc đầu ông gọi nó là vi phân của hàm lồi ([72, Definition 2-G]) nhưng về sau

đổi thành dưới vi phân của hàm lồi ([73, p 215]) Đây là khái niệm dưới viphân đầu tiên trong giải tích biến phân Những nghiên cứu về vi phân suy rộngcủa hàm lồi và các vấn đề liên quan ở đầu thập niên 1960 dẫn đến sự ra đờicủa Giải tích lồi ([18], [73]) Từ đó đến nay, lĩnh vực này tiếp tục được pháttriển và ngày nay đã trở thành một bộ phận quan trọng của giải tích biến phân

Định lý Moreau-Rockafellar là kết quả trung tâm trong hệ thống quy tắc tínhtoán của giải tích lồi ([48, p 133])

Năm 1973, F H Clarke đã đưa ra khái niệm đạo hàm theo hướng Clarke

và dưới vi phân Clarke của hàm Lipschitz địa phương Những khái niệm nàysau đó đã được mở rộng cho các hàm số bất kỳ Bên cạnh các quy tắc tínhtoán dạng bao hàm thức, F H Clarke cũng đã thiết lập một hệ thống quy tắctính toán dạng đẳng thức cho lớp hàm chính quy Clarke Lý thuyết vi phân suyrộng Clarke có ảnh hưởng rất lớn đến sự phát triển của giải tích không trơn,

đặc biệt trong nửa cuối thập niên 1970 và trong thập niên 1980 Các kết quảcơ bản của lý thuyết vi phân suy rộng này đã được trình bày trong cuốn sáchchuyên khảo "Optimization and Nonsmooth Analysis" của F H Clarke ([17]).Năm 1976, để nghiên cứu điều kiện cần cực trị cho một bài toán điều khiểntối ưu, B S Mordukhovich ([43]) đã giới thiệu khái niệm nón pháp tuyến vàdưới vi phân qua giới hạn Năm 1980, B S Mordukhovich ([44]) đưa ra kháiniệm đối đạo hàm của ánh xạ đa trị, dưới tên gọi là ánh xạ liên hợp (adjointmapping) Thuật ngữ "đối đạo hàm" được sử dụng lần đầu tiên vào năm 1984bởi A D Ioffe ([30]) Dưới vi phân bậc hai được B S Mordukhovich đưa ranăm 1992 ([45]) Đây là những khái niệm cơ bản của lý thuyết vi phân suyrộng Mordukhovich Các quy tắc tính toán quan trọng của lý thuyết vi phânsuy rộng này, bao gồm quy tắc tổng (sum rule), quy tắc chuỗi (chain rule), quy

tắc giao (intersection rule), đã được nghiên cứu trong nhiều công trình, chẳnghạn, các công trình của A D Ioffe ([30], [31]), B S Mordukhovich ([47]),

B S Mordukhovich và N M Nam ([49]), B S Mordukhovich và Y Shao([56], [57]), B S Mordukhovich và J V Outrata ([54]), B S Mordukhovich

và R T Rockafellar ([55]) Lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich đã

được trình bày trong cuốn sách chuyên khảo 2 tập "Variational Analysis andGeneralized Differentiation" của Mordukhovich ([48])

Ngoài những khái niệm vi phân suy rộng kể trên, còn có nhiều khái niệm

vi phân suy rộng khác đã được giới thiệu nhằm mục đích nghiên cứu các bàitoán tối ưu và các vấn đề liên quan, chẳng hạn như các loại đạo hàm theohướng, đạo hàm của ánh xạ đa trị do J.-P Aubin đề xuất, dưới vi phân xấp xỉcủa A D Ioffe, Trong luận án này, chúng tôi giới hạn việc nghiên cứu trongkhuôn khổ lý thuyết vi phân suy rộng Mordukhovich

Chương 1 bắt đầu bằng việc nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bảncần dùng trong luận án này Dựa trên ý tưởng "sử dụng quy tắc chuỗi để chứngminh quy tắc tổng" của R T Rockafellar và R J.-B Wets ([74]), Mục 1.2 chothấy một số quy tắc tổng đã biết là những hệ quả trực tiếp của các công thứctính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh dạng đẳng thức do B S Mordukhovich

và B Wang ([58]) thiết lập năm 2004 Trong Mục 1.3, chúng tôi thu được mộtkết quả về mối quan hệ giữa công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tậpnghịch ảnh và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker (Định lý 1.3.4) Kếtquả này mở rộng kết quả tương ứng của F J Gould và J W Tolle ([26]) từkhông gian hữu hạn chiều lên không gian Banach bất kỳ Công thức tính nónpháp tuyến của tập nghịch ảnh và quy tắc tổng dạng đẳng thức trong Chương 1

được sử dụng để nghiên cứu một số vấn đề trong những chương tiếp theo.Các định lý giá trị trung bình là những kết quả quan trọng trong giải tíchbiến phân G Lebourg (1975) là người đầu tiên đưa ra định lý giá trị trung bình

cho hàm Lipschitz không trơn Năm 1988, D Zagrodny ([82]) đã cho thấy định

lý giá trị trung bình Lebourg không đúng cho hàm liên tục và vì vậy ông đãgiới thiệu định lý giá trị trung bình xấp xỉ Định lý giá trị trung bình xấp xỉsau đó tiếp tục được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học khác như P D Loewen([39]), L Thibault ([68]), J -P Penot ([62]), Năm 1996, B S Mordukhovich

và Y Shao ([56]) đã thiết lập định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phânFréchet trong không gian Asplund, đó là không gian Banach mà mỗi khônggian con đóng khả ly có đối ngẫu khả ly Định lý giá trị trung bình xấp xỉ của

B S Mordukhovich và Y Shao là một công cụ để nghiên cứu vấn đề nhận biếtcác tính chất của hàm số qua dưới vi phân ([48, p 308 - 320]) Trong phépchứng minh một số kết quả theo hướng này, chẳng hạn định lý đặc trưng dưới viphân của hàm Lipschitz địa phương ([48, Theorem 3.52]) và định lý đặc trưngdưới gradient của hàm đơn điệu theo nón ([48, Theorem 3.55]), ngoại trừ việc

sử dụng định lý giá trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet, các lập luậnkhác vẫn đúng trong không gian Banach tùy ý Vì vậy, câu hỏi được đặt ra mộtcách tự nhiên là: Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet có

đúng trong không gian Banach bất kỳ hay không? Trong Chương 2, chúng tôichứng minh được lớp không gian Asplund là lớp không gian Banach rộng nhấtsao cho định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet đúng trongmỗi không gian thuộc nó

Khái niệm ánh xạ đơn điệu cực đại xuất hiện từ đầu thập niên 1960 Dưới viphân của các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới và phép chiếu trực giaolên tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert là những ví dụ về ánh xạ

đơn điệu cực đại Đối với ánh xạ đơn trị liên tục, tính đơn điệu và đơn điệucực đại là trùng nhau Tính đơn điệu cực đại của ánh xạ đã được sử dụng đểnghiên cứu một số khía cạnh quan trọng của các bài toán tối ưu và cân bằng,chẳng hạn như, sự tồn tại nghiệm, tính ổn định nghiệm và sự hội tụ của cácphương pháp số ([5], [6], [7], [25], [36], [61], [76], [81]) Theo kết quả cổ

điển về đặc trưng tính đơn điệu, một ánh xạ đơn trị khả vi là đơn điệu nếu vàchỉ nếu đạo hàm của nó là nửa xác định dương tại mọi điểm ([74, Proposition12.3]) Năm 1962, sử dụng đạo hàm theo hướng, G J Minty ([42]) đã thiếtlập một điều kiện đủ để một ánh xạ đơn trị không trơn là đơn điệu H Jiang và

L Qi ([35]), D T Luc và S Schaible ([41]) đã cho thấy rằng một ánh xạ đơntrị Lipschitz địa phương trong không gian hữu hạn chiều là đơn điệu nếu và chỉnếu mọi ma trận Jacobi suy rộng Clarke của nó là nửa xác định dương Sau đó,thay ma trận Jacobi suy rộng Clarke bằng ma trận Jacobi xấp xỉ, V Jeyakumar

và các cộng sự ([34]) đã thu được một điều kiện đủ để một ánh xạ đơn trịliên tục là đơn điệu Năm 1998, R A Poliquin và R T Rockafellar ([64]) đãchứng minh được rằng đối đạo hàm của một ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại trongkhông gian hữu hạn chiều là có tính chất nửa xác định dương N H Chieu

và N Q Huy ([13]), B S Mordukhovich và T T A Nghia ([51]) đã mở rộngkết quả này cho trường hợp không gian Hilbert Gần đây, N H Chieu và cáccộng sự ([14]) đã thu được một số đặc trưng đối đạo hàm cho tính đơn điệucực đại cho lớp ánh xạ đa trị hypo-đơn điệu (hypomonotone) Trong Chương 2,

sử dụng định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet, các quy tắctổng dạng đẳng thức và định lý Weierstrass về sự tồn tại nghiệm tối ưu, chúngtôi đã thiết lập một điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ đơn trị liêntục f xác định trên không gian Asplund X là đơn điệu (Định lý 2.3.5) Điềukiện đủ của chúng tôi là điều kiện đủ cho tính đơn điệu theo đối đạo hàm đầutiên trong giải tích biến phân Hơn thế, nó cũng là một điều kiện cần nếu f

là Lipschitz địa phương hoặc X là Hilbert Chúng tôi cũng thu được một số

điều kiện đủ theo đối đạo hàm để một ánh xạ là đơn điệu trên một tập con của

X (Định lý 2.3.17) Bằng cách áp dụng các kết quả trên cho ánh xạ đạo hàm,chúng tôi thu được một số điều kiện cần và điều kiện đủ theo dưới vi phân bậchai để một hàm số khả vi liên tục là lồi (Định lý 2.3.21) Kết quả này cải tiếnkết quả của N H Chieu và N Q Huy ([13, Theorem 2.1])

Tính chất kiểu Lipschitz (Lipschitz-like) của các ánh xạ đa trị được giớithiệu bởi J.-P Aubin ([3]) dưới tên gọi là tính giả Lipschitz (pseudo-Lipschitz).

A L Dontchev và R T Rockafellar ([20]) gọi nó là tính chất Aubin, trongkhi B S Mordukhovich gọi nó là tính chất kiểu Lipschitz Năm 1993,

B S Mordukhovich ([46]) đã thiết lập một đặc trưng đối đạo hàm cho tínhkiểu Lipschitz của ánh xạ đa trị, nó được gọi là tiêu chuẩn Mordukhovich([74]) Năm 1996, sử dụng tiêu chuẩn Mordukhovich, A L Dontchev và

R T Rockafellar ([20]) đã thu được một đặc trưng của tính ổn định kiểuLipschitz của bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện không bị nhiễu trongkhông gian hữu hạn chiều Năm 2010, R Henrion và các cộng sự ([28]) đã mởrộng kết quả này lên không gian Banach phản xạ Đối với bất đẳng thức biếnphân trên tập lồi đa diện bị nhiễu, tính ổn định Lipschitz đã được nghiên cứubởi N D Yen ([81]) cho trường hợp bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh và

S Lu và S M Robinson ([40]) cho trường hợp bất đẳng thức affine Năm 2009,trong không gian hữu hạn chiều, N D Yen và J.-C Yao ([79]) đã thu đượcmột số điều kiện đủ để bài toán là ổn định kiểu Lipschitz Trong không gianhữu hạn chiều, gần đây, N T Qui ([65], [67]) đã giới thiệu một số cải tiến củanhững kết quả của J.-C Yao và N D Yen Một kết quả khác đáng chú ý theohướng nghiên cứu này là kết quả của N M Nam ([60]), ở đó tác giả lần đầutiên đặc trưng được tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phânchứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu Tuy nhiên, đặc trưng này chỉ đượcthiết lập tại những điểm mà các véctơ hoạt xác định miền ràng buộc là độc lậptuyến tính Tại những điểm còn lại, thâm chí người ta còn không biết liệu bàitoán có thể ổn định kiểu Lipschitz được hay không Kết quả chính của chúngtôi trong Chương 3 là như sau: tại những điểm mà véctơ hoạt xác định miềnràng buộc là phụ thuộc tuyến tính dương, chúng tôi chứng minh được bài toánkhông ổn định kiểu Lipschitz, còn tại những điểm mà véctơ hoạt xác định miềnràng buộc là độc lập tuyến tính dương nhưng phụ thuộc tuyến tính, chúng tôi

chỉ ra các ví dụ cho thấy bài toán vẫn có thể ổn định kiểu Lipschitz, đồng thờigiới thiệu một điều kiện cần cho tính ổn định kiểu Lipschitz Ngoài ra, trongChương 3 của luận án chúng tôi cũng đã thu được các ước lượng đối đạo hàmcủa ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bịnhiễu.

7.2 Cấu trúc luận án

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục các công trình của tác giả có liênquan đến luận án và Danh sách tài liệu tham khảo, nội dung của luận án gồm

ba chương Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị và các kết quả liên quan

đến nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi Mục 1.1 được dành

để nhắc lại các khái niệm cơ bản của giải tích biến phân cần dùng trong luận

án này Mục 1.2 cho thấy một số qui tắc tổng dạng đẳng thức là những hệ quảcủa các công thức tính chính xác nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh qua ánhxạ khả vi Mục 1.3 được dành cho việc thiết lập một kết quả về mối quan hệgiữa công thức tính chính xác nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh và điều kiệndạng Karush-Kuhn-Tucker Chương 2 nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp

xỉ cho dưới vi phân Fréchet, tính đơn điệu của các ánh xạ và tính lồi của cáchàm số Mục 2.1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị của chươngnày Mục 2.2 đưa ra một đặc trưng của không gian Asplund theo định lý giátrị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet Sử dụng định lý giá trị trungbình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet và các quy tắc tổng, Mục 2.3 được dànhcho việc thiết lập một số kết quả về khả năng nhận biết tính đơn điệu của ánhxạ qua đối đạo hàm và nhận biết tính lồi của hàm số qua dưới vi phân bậc hai.Chương 3 nghiên cứu tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳng thức biến phânchứa tham số trên tập lồi đa diện bị nhiễu Mục 3.1 được dành để phát biểubài toán bất đẳng thức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu Mục 3.2 đượcdành để thiết lập các ước lượng đối đạo hàm của ánh xạ nghiệm của bài toán

này Mục 3.3 thu được các kết quả về tính ổn định kiểu Lipschitz của bất đẳngthức biến phân trên tập lồi đa diện bị nhiễu.

Các kết quả trong luận án đã được tác giả luận án báo cáo tại:

• Seminar tổ Giải tích, Khoa Sư phạm Toán, Trường Đại học Vinh

• Seminar phòng Giải tích số và Tính toán Khoa học, Viện Toán học, ViệnHàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

• Seminar tại Khoa Toán ứng dụng, Đại học Quốc gia Pukyong, Hàn Quốc

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì, 20 - 23/4/2011

• Trường hè Quốc tế về Giải tích biến phân và ứng dụng, Viện Toán học,

Hà Nội, 20 - 25/6/2011

• Hội thảo Việt Nam - Hàn Quốc lần thứ 8 về Lý thuyết tối ưu toán học vàứng dụng, Trường Đại học Đà Lạt, 8 - 10/12/2011

•Hội thảo Quốc tế về Ma trận dương và Toán tử: Sự phát triển và những tiến

bộ gần đây, Đại học Quốc gia Kyungpook, Daegu, Hàn Quốc, 24 - 28/6/2012.Hầu hết kết quả chính của luận án này đã được đăng ở các tạp chí NonlinearAnalysis, Optimization Letters và Taiwanese Journal of Mathematics Một sốkhác đã được gửi tạp chí để xét đăng

và điều kiện tối ưu dạng Karush-Kuhn-Tucker Kết quả chính của chương này

là Định lý 1.3.4, nó mở rộng một kết quả của F J Gould và J W Tolle ([26])

từ không gian hữu hạn chiều lên không gian Banach

u→x

ϕ(u) := inf

δ>0 sup

u∈B δ (x)\{x}

ϕ(u) và lim inf

u→x ϕ(u) := sup

δ>0

inf

u∈B δ (x)\{x}ϕ(u).1.1.1 Định nghĩa ([48, Definition 1.1]) Cho Ω là tập con khác rỗng của X.(i) Với mỗi ε ≥ 0, tập hợp các ε-pháp tuyến của Ω tại ¯x ∈ Ω, ký hiệu

(ii) Nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại ¯x ∈ Ω, ký hiệu N(¯x; Ω), là tậpcon của X∗ được xác định bởi

ở đây “ Lim sup ” là giới hạn trên Painlevé-Kuratowski theo dãy, nghĩa là

x∗ ∈ N (¯x; Ω) khi và chỉ khi tồn tại εk ↓ 0, xk → ¯x, và x∗

k ∈ bNε k(xk; Ω) saocho x∗

k→∞hx∗k, xi = hx∗, xi với mọi x ∈ X Qui ước N(¯x; Ω) := ∅ nếu ¯x 6∈ Ω.TậpNbε(¯x; Ω) là lồi và đóng trong X∗ (theo τkãk) Trong khi đó, N(¯x; Ω) cóthể không lồi và nếu X là vô hạn chiều thì N(¯x; Ω) nói chung là không đóng([48]) Nếu Ω ⊂ X là một tập lồi thì cả N(¯x; Ω) và N (¯b x; Ω)đều trùng với nónpháp tuyến của tập Ω tại ¯x theo nghĩa của giải tích lồi:

∇f (¯x) : X → Y sao cho

lim

x,u→¯ x x6=u

f (x) − f (u) − x), x − u

Trong trường hợp này, ∇f(¯x) được gọi là đạo hàm chặt của f tại ¯x

(ii) Nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục ∇f(¯x) : X → Y sao cho(1.3) đúng với u = ¯x, thì f được gọi là khả vi tại ¯x và ánh xạ ∇f(¯x) : X → Y

được gọi là đạo hàm của f tại ¯x

(iii) Ta nói f là khả vi liên tục tại ¯x nếu tồn tại δ > 0 sao cho f khả vi tạimọi x ∈ Bδ(¯x) và ánh xạ ∇f : Bδ(¯x) → L(X; Y ), x 7→ ∇f (x) là liên tục tại

1.1.3 Nhận xét Nếu f khả vi liên tục tại ¯x thì f khả vi chặt tại ¯x và nếu f khả

vi chặt tại ¯x thì f là khả vi tại ¯x Chiều ngược lại không đúng; chẳng hạn

là khả vi chặt tại 0 nhưng không khả vi liên tục tại 0 ([48, p.19]) Tuy nhiên,nếu f khả vi trên một lân cận của ¯x thì f khả vi chặt tại ¯x khi và chỉ khi f khả

vi liên tục tại ¯x ([63, Proposition 2.56])

Với mỗi x ∈ X, ánh xạ ϕx : X∗ → R, x∗ 7→ ϕx(x∗) := hx∗, xi là một

phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X∗, tức là ϕx ∈ X∗∗ := X∗
∗ Hơn nữa,

ánh xạ Φ : X → X∗∗, x 7→ Φ(x) := ϕx là một ánh xạ tuyến tính liên tục vàkΦ(x)k = kϕxk với mọi x ∈ X Ta gọi Φ là phép nhúng chính tắc X vào X∗∗.Bằng cách đồng nhất x với ϕx, chúng ta xem X như là một không gian concủa X∗∗ và khi đó sẽ viết X ⊂ X∗∗.Nếu Φ(X) = X∗∗, thì X được gọi là mộtkhông gian phản xạ

1.1.4 Định nghĩa ([48]) (i) Ta nói (X, k ã k) là không gian có chuẩn trơn nếuhàm x 7→ kxk là khả vi tại mọi điểm khác 0

(ii)Không gian (X, k ã k) được gọi là có chuẩn tương đương trơn nếu tồn tạimột chuẩn k ã k1 trên X sao cho k ã k1 tương đương với k ã k và (X, k ã k1) làmột không gian có chuẩn trơn

(iii)Không gian X được gọi là Asplund nếu mọi hàm lồi liên tục ϕ : U → Rxác định trên một tập lồi mở U ⊂ X là khả vi tại mọi điểm thuộc một tập contrù mật của U

1.1.5 Chú ý Không gian Banach X là Asplund nếu và chỉ nếu mọi không giancon đóng khả ly của X có đối ngẫu khả ly ([48, p 196]) Lớp không gianAsplund chứa các không gian có chuẩn tương đương trơn ([61, p 70]), đặc biệt

là không gian Banach phản xạ Năm 1990, R Haydon ([27]) chỉ ra một khônggian Asplund mà mọi chuẩn tương đương đều không trơn Các không gianC[a, b], L1[a, b] và L∞[a, b] không là Asplund và c0 là Asplund nhưng khôngphản xạ ([24]) Trong (1.2), ta có thể lấy ε = 0 nếu X là Asplund và tập Ω là

đóng địa phương quanh điểm ¯x, tức là, tồn tại δ > 0 sao cho Ω ∩ Bδ(¯x)là mộttập con đóng của X, ở đây Bδ(¯x) là hình cầu đóng tâm ¯x bán kính δ

1.1.6 Định nghĩa ([48, Definition 1.8]) Cho Ω là một tập con của X và ¯x ∈ Ω.Nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại ¯x, ký hiệu T (¯x; Ω), là tập con của

N (¯x; Ω) 6= T (¯x; Ω)−

Với ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y, miền hữu hiệu và đồ thị của F tương ứng làDomF :=x ∈ X | F (x) 6= ∅ và gphF := (x, y) ∈ X ì Y | y ∈ F (x)

Để định nghĩa vi phân suy rộng của ánh xạ F : X ⇒ Y, J.-P Aubin (1981)

đã sử dụng nón tiếp tuyến của gphF Cách tiếp cận này dẫn đến sự xuất hiệnkhái niệm đạo hàm của ánh xạ đa trị (đạo hàm của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF là ánhxạ đa trị DF : X ⇒ Y thỏa mãn gphDF là nón tiếp tuyến của gphF tại (¯x, ¯y)

và mỗi loại nón tiếp tuyến sẽ cho tương ứng một loại đạo hàm) ([4]) Thay chonón tiếp tuyến, B S Mordukhovich đã dùng nón pháp tuyến của gphF để địnhnghĩa vi phân suy rộng của ánh xạ đa trị Cách tiếp cận của Mordukhovich đãcho chúng ta khái niệm đối đạo hàm của ánh xạ đa trị

1.1.8 Định nghĩa ([48, Definition 1.32]) Cho F : X ⇒ Y và (¯x, ¯y) ∈ X ìY (i)Đối đạo hàm pháp tuyến của F tại (¯x, ¯y) là ánh xạ D∗

NF (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗

được xác định bởi

DN∗F (¯x, ¯y)(y∗) := x∗ ∈ X∗| (x∗, −y∗) ∈ N (¯x, ¯y); gph F

(ii) Đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, ¯y) là ánh xạ Db∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗

được xác định bởi

b

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := x∗ ∈ X∗| (x∗, −y∗) ∈ bN (¯x, ¯y); gph F

(iii)Đối đạo hàm hỗn hợp của F tại (¯x, ¯y) là ánh xạ D∗

MF (¯x, ¯y) và D∗

NF (¯x, ¯y), thìtrong phát biểu chúng ta sẽ dùng D∗F (¯x, ¯y)chung cho cả hai loại đối đạo hàmnày Từ định nghĩa, ta suy ra

b

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) ⊂ D∗MF (¯x, ¯y)(y∗) ⊂ DN∗F (¯x, ¯y)(y∗), ∀y∗ ∈ Y∗

Bao hàm thức thứ hai trở thành đẳng thức nếu Y là một không gian hữu hạnchiều Nếu F (¯x) = {¯y}, thì ta bỏ qua ¯y trong ký hiệu của đối đạo hàm chẳnghạn, ký hiệu D∗

NF (¯x) thay cho D∗

NF (¯x, ¯y)
Nếu F : X → Y là khả vi chặttại ¯x với đạo hàm chặt ∇F (¯x), thì

D∗F (¯x)(y∗) = bD∗F (¯x)(y∗) =∇F (¯x)∗y∗ , ∀y∗ ∈ Y∗, (1.4)

và đẳng thức cuối trong (1.4) cũng đúng nếu ánh xạ F là khả vi tại ¯x ∈ X, ở

đây ∇F (¯x)∗ là toán tử liên hợp của ∇F (¯x) : X → Y ([48, Theorem 1.38])

1.1.10 Định nghĩa ([48]) Cho ϕ : X → R := R ∪ {±∞}.

(i)Miền hữu hiệu và trên đồ thị của ϕ tương ứng là

dom ϕ := x ∈ X | ϕ(x) < ∞ và epi ϕ := (x, α) ∈ X ì R | α ≥ ϕ(x)

(ii)Ta nói ϕ là chính thường nếu dom ϕ 6= ∅ và ϕ(x) > −∞ với mọi x ∈ X

(iii) Hàm ϕ được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu lim inf

u→x ϕ(u) ≥ ϕ(x).(iv) Nếu tồn tại δ > 0 sao cho ϕ là nửa liên tục dưới tại mọi u ∈ Bδ(x) thì

ta gọi ϕ là nửa liên tục dưới quanh x

(v)Nếu ϕ là nửa liên tục dưới tại mọi x thì ϕ được gọi là nửa liên tục dưới.1.1.11 Chú ý Hàm ϕ là nửa liên tục dưới khi và chỉ khi epi ϕ là đóng trong

X ì R Nếu ϕ(x) ∈ R thì ϕ là nửa liên tục dưới quanh x khi và chỉ khi epi ϕ

là một tập con đóng địa phương quanh điểm x, ϕ(x)
∈ X ì R

1.1.12 Định nghĩa ([48]) Cho ¯x ∈ X thỏa mãn ϕ(¯x) ∈ R

(i)Dưới vi phân Fréchet của ϕ tại ¯x là tập b∂ϕ(¯x) ⊂ X∗ được xác định bởi

x 7→ ϕ(x) := −|x| và ¯x := 0) Nếu X là hữu hạn chiều, thì ∂ϕ(¯x) là đóng

Trường hợp vô hạn chiều, ngay cả khi X là không gian Hilbert, ∂ϕ(¯x) vẫn cóthể không đóng ([48, Example 1.7]).

∂ϕ(¯x) = b∂ϕ(¯x) = x∗ ∈ X∗ | hx∗, x − ¯xi ≤ ϕ(x) − ϕ(¯x), ∀x ∈ X Nếu ϕ khả vi chặt tại ¯x thì ∂ϕ(¯x) = ∇ϕ(¯x) và nếu ϕ khả vi tại ¯x thìb

∂ϕ(¯x) = ∇ϕ(¯x) ([48])

1.1.15 Định nghĩa (i) Với Ω ⊂ X, hàm δΩ : X → R cho bởi δΩ(x) := 0 nếu

x ∈ Ω và δΩ(x) := ∞ nếu x ∈ X\Ω, được gọi là hàm chỉ của tập Ω

(ii) Với mỗi ϕ : X → R, ánh xạ đa trị Eϕ : X ⇒ R cho bởi

Eϕ(x) := α ∈ R | α ≥ ϕ(x) với mọi x ∈ X, được gọi là ánh xạ trên

đồ thị liên kết với ϕ

1.1.16 Chú ý Theo [48, p 84 & p 88], ta có N(x; Ω) = ∂δΩ(x) vàb

N (x; Ω) = b∂δΩ(x) Ngoài cách dùng hàm chỉ, chúng ta cũng có thể dùnghàm khoảng cách dΩ(x) = d(x; Ω) := inf

u∈Ωku − xk để biểu diễn các nónpháp tuyến qua các dưới vi phân Cụ thể là, theo [48, pp 98-99], với mỗi

và b∂ϕ(¯x) = Db∗Eϕ x, ϕ(¯¯ x)
(1) Gọi A(¯x) là tập tất cả các hàm chính thường

ϕ : X → R nửa liên tục dưới quanh ¯x ∈ domϕ.Theo [48, Theorem 2.34], X làAsplund nếu và chỉ nếu với mọi ¯x ∈ X và ϕ ∈ A(¯x), ∂ϕ(¯x) = Lim sup

x−→ϕ x ¯

b

∂ϕ(x)

1.2 Nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh và quy tắc tổng

Các công thức tính nón pháp tuyến của tập nghịch ảnh sau đây được thiết lậpbởi B S Mordukhovich và B Wang (2004)

1.2.1 Định lý ([48]) Cho g : X → Y và Θ ⊂ Y với ¯y = g(¯x) ∈ Θ Giả sử gkhả vi chặt tại ¯x và ∇g(¯x) : X → Y là toàn ánh Khi đó, ta có

N ¯x; g−1(Θ)
= ∇g(¯x)∗N (¯y; Θ) (1.5)và

b

N ¯x; g−1(Θ)
= ∇g(¯x)∗N (¯b y; Θ) (1.6)

Do hệ thống quy tắc tính toán của giải tích biến phân là khá phức tạp và khótiếp cận, một cách tự nhiên, từ một số quy tắc tính toán cơ bản người ta muốndẫn ra càng nhiều quy tắc tính toán khác càng tốt Từ kết quả trên, chúng ta

dễ dàng thu lại được các quy tắc tổng dưới đây:

1.2.2 Hệ quả ([48, Theorem 1.62]) Cho f : X → Y là một ánh xạ khả vichặt tại ¯x ∈ X và F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị thỏa mãn ¯y−f(¯x) ∈ F (¯x),

ở đây ¯y ∈ Y Khi đó, với mọi y∗ ∈ Y∗, ta có

DN∗(f + F )(¯x, ¯y)(y∗) = ∇f (¯x)∗y∗+ D∗NF ¯x, ¯y − f (¯x)
(y∗) (1.7)và

∇g(¯x, ¯y) : X ì Y → X ì Y là toàn ánh và ∇g(¯x, ¯y)∗ : X∗ì Y∗ → X∗ì Y∗

cho bởi ∇g(¯x, ¯y)∗(x∗, y∗) = x∗− ∇f (¯x)∗(y∗), y∗
Mặt khác,

gph(f + F ) = (x, y) ∈ X ì Y | y − f (x) ∈ F (x) = g−1 gphF

Do đó, với bất kỳ y∗ ∈ Y∗, theo định nghĩa đối đạo hàm và nhờ (1.5), ta có

x∗ ∈ D∗N(f + F )(¯x, ¯y)(y∗) ⇔ (x∗, −y∗) ∈ N (¯x, ¯y); gph(f + F )

∂(ϕ + ψ)(¯x) = ∇ϕ(¯x) + ∂ψ(¯x) (1.9)và

b

∂(ϕ + ψ)(¯x) = ∇ϕ(¯x) + b∂ψ(¯x) (1.10)Chứng minh Xét ánh xạ g : X ìR → X ìR cho bởi g(x, α) := x, α−ϕ(x)

Do ϕ là một hàm khả vi chặt tại điểm ¯x, ta có g khả vi chặt tại điểm (¯x, ¯α)

và ∇g(¯x, ¯α)(x, α) = x, α − ∇ϕ(¯x)(x)
, ở đây ¯α := ϕ(¯x) + ψ(¯x) Vì vậy,

∇g(¯x, ¯α) : X ì R → X ì R là toàn ánh và ∇g(¯x, ¯α)∗ : X∗ ì R → X∗ì Rcho bởi ∇g(¯x, ¯α)∗(x∗, β) = x∗− β∇ϕ(¯x), β
Mặt khác,

Điều này có nghĩa là (1.9) đúng Công thức (1.10) được chứng minh tương tự,

điểm khác duy nhất là dùng (1.6) thay cho (1.5) 2

1.2.5 Chú ý Phép chứng minh các quy tắc tổng được trình bày ở trong mụcnày là mới, nó dựa trên ý tưởng tiếp cận hệ thống các qui tắc tính toán bằngphương pháp hình học của Mordukhovich [48] (tức là, đầu tiên thiết lập cácquy tắc tính toán cho các nón pháp tuyến, sau đó sử dụng những quy tắc tínhtoán này để dẫn ra các quy tắc tính toán cho đối đạo hàm và dưới vi phân).Trong khi đó, phép chứng minh gốc của các quy tắc tổng này là phép chứngminh trực tiếp, phức tạp hơn phép chứng minh được trình bày ở đây Lưu ýrằng các công thức (1.8) và (1.10) vẫn đúng nếu f : X → Y và ϕ : X → Rtương ứng là khả vi tại ¯x (xem [48, Theorem 1.62] và [48, Proposition 1.107])

1.3 Nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh

Trong mục này, ta giả sử g : X → Y là một ánh xạ khả vi tại ¯x ∈ Ω, ở đây

Ω := g−1(K) và K ⊂ Y Xét bài toán tối ưu (P ):

f (x) → inf,

x ∈ Ω,trong đó f : X → R là một hàm số khả vi tại ¯x

Hàm f và tập Ω tương ứng được gọi là hàm mục tiêu và miền ràng buộc củabài toán (P ) Điểm ¯x được gọi là một nghiệm địa phương của (P ) nếu tồn tại

δ > 0 sao cho f(x) ≥ f(¯x) với mọi x ∈ Ω ∩ Bδ(¯x)

Trong trường hợp, Y := Rm, K := {0Rp} ì Rm−p− (m, p ∈ N, p ≤ m) vàg(x) = g1(x), g2(x), , gm(x)
, bài toán (P ) được gọi là một quy hoạch phituyến (nonlinear program) Nếu miền ràng buộc thỏa mãn một điều kiện nhất

định (chuẩn hóa ràng buộc) và ¯x là một nghiệm địa phương của (P ), thì ta có

điều kiện Karush-Kuhn-Tucker: tồn tại λ = (λ1, , λm) ∈ Rm sao cho

được giới thiệu, trong đó chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính và chuẩn hóaràng buộc Mangasarian-Fromovitz là hai chuẩn hóa ràng buộc đóng vai trò đặcbiệt quan trọng trong lý thuyết quy hoạch phi tuyến và ứng dụng Năm 1971,

F J Gould và J W Tolle ([26]) đã cho thấy nếu dimX < ∞ thì chuẩn hóa ràngbuộc Guignard T (¯x; Ω)− = ∇g(¯x)∗N g(¯x); K
là chuẩn hóa ràng buộc yếu

nhất Theo chúng tôi được biết, trường hợp X là một không gian Banach bất

kỳ, chưa có kết quả nào chỉ ra chuẩn hóa yếu nhất trong quy hoạch phi tuyến.Ngoài qui hoạch phi tuyến, mô hình bài toán (P ) còn bao gồm quy hoạch nửaxác định, quy hoạch nón bậc hai, quy hoạch nửa vô hạn, ([12], [33])

Đối với quy hoạch phi tuyến, ta có

b

N g(¯x); K
= y∗

∈ Rm| λj ≥ 0, ∀j ∈ I(¯x), λigi(¯x) = 0, ∀i = 1, 2, , m ,với I(¯x) := j ∈ {p + 1, , m} | gj(¯x) = 0 và y∗ := (λ1, , λm) Vì thế,khái niệm sau đây là một mở rộng của điều kiện Karush-Kuhn-Tucker

1.3.1 Định nghĩa Ta nói điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) là đúngtại ¯x nếu tồn tại y∗ ∈ bN g(¯x); K
sao cho ∇f(¯x) + ∇g(¯x)∗y∗ = 0

Tiếp theo, chúng ta nhắc lại một kết quả cơ bản của lý thuyết tối ưu, thường

được gọi là quy tắc Fermat suy rộng cho dưới vi phân Fréchet

1.3.2 Bổ đề ([48, Proposition 1.114]) Cho ϕ : X → R là một hàm hữu hạntại ¯x ∈ X Giả sử ¯x là một cực tiểu địa phương của ϕ, nghĩa là tồn tại r > 0sao cho ϕ(x) ≥ ϕ(¯x) với mọi x ∈ Br(¯x) Khi đó, ta có 0 ∈ b∂ϕ(¯x)

Ngoài ra, để thiết lập kết quả chính của mục này, mô tả biến phân (variationaldescription) sau đây của các pháp tuyến Fréchet cũng sẽ được sử dụng

1.3.3 Bổ đề ([48, Theorem 1.30]) Cho Ω là một tập con của không gianBanach X và ¯x ∈ Ω Khi đó, nếu x∗ ∈ bN (¯x; Ω)thì tồn tại một hàm s : X → Rsao cho s(x) ≤ s(¯x) = 0 với mọi x ∈ Ω, s là khả vi tại ¯x và ∇s(¯x) = x∗

Do trong trường hợp dimX < ∞ chuẩn hóa ràng buộc Guignard trùng với

điều kiện N ¯b x; Ω
= ∇g(¯x)∗N g(¯b x); K
, kết quả sau đây có thể xem là một

mở rộng của kết quả đã được đề cập ở trên của Gould và Tolle

1.3.4 Định lý Cho g : X → Y là một ánh xạ khả vi tại ¯x ∈ Ω := g−1(K) với

K ⊂ Y là đóng Khi đó, điều kiện cần và đủ để

y−→K g(¯ x)

hy∗,y−g(¯ x)i ky−g(¯ x)k ≤ 0 Mặt khác, từ giả thiết gkhả vi tại ¯x ta suy ra tồn tại ` > 0 và r > 0 sao cho kg(x) − g(¯x)k ≤ `kx − ¯xkvới mọi x ∈ Br(¯x) Do đó,

Từ đây suy ra x∗ ∈ bN ¯x, Ω
và ta có (1.12) Để chứng minh bao hàm thứcngược lại, giả sử rằng với mọi hàm mục tiêu khả vi tại ¯x, điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) là đúng tại ¯x nếu ¯x là một nghiệm địa phương của (P ).Lấy bất kỳ x∗ ∈ bN ¯x; Ω
Theo Bổ đề 1.3.3, tồn tại hàm f : X → R khả vi tại

¯

x và đạt cực tiểu địa phương trên Ω tại ¯x sao cho ∇f(¯x) = −x∗ Vì điều kiệnkiểu Karush-Kuhn-Tucker cho (P ) là đúng tại ¯x nên tồn tại y∗ ∈ bN g(¯x); K
sao cho ∇f(¯x) + ∇g(¯x)∗y∗ = 0 Do đó,

¯

x cũng là cực tiểu địa phương của ϕ Theo Bổ đề 1.3.2 và Hệ quả 1.2.4, ta có

0 ∈ b∂ϕ(¯x) = ∇f (¯x) + bN ¯x; Ω
Vì vậy, nhờ (1.11), tồn tại y∗ ∈ bN g(¯x); K
sao cho ∇f(¯x) + ∇g(¯x)∗y∗ = 0 Do đó, điều kiện dạng Karush-Kuhn-Tuckercho (P ) đúng tại ¯x Định lý được chứng minh 2Phần còn lại của mục này sẽ trình bày một số điều kiện đủ để công thức tínhnón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnh qua ánh xạ khả vi là đúng

1.3.5 Hệ quả Xét trường hợp Y := Rm, K := {0Rp} ì Rm−p− và g : X → Rm

khả vi tại ¯x ∈ Ω := g−1(K) Giả sử chuẩn hóa ràng buộc Guignard được thỏamãn tại ¯x Khi đó, ta có N ¯b x; Ω
= ∇g(¯x)∗N g(¯b x); K

Chứng minh Giả sử f : X → R là một hàm khả vi tại ¯x và đạt cực tiểu địaphương trên Ω tại ¯x Khi đó, ta có ∇f(¯x)(v) ≥ 0 với mọi v ∈ T (¯x; Ω) Vì vậy,

đúng tại ¯x nếu 0 ∈ intg(¯x) + ∇g(¯x)(X) − K

Lưu ý rằng trong trường hợp Ω là miền ràng buộc của một quy hoạchphi tuyến, chuẩn hóa ràng buộc Robinson trùng với chuẩn hóa ràng buộcMangasarian-Fromovitz

1.3.7 Bổ đề ([33, Theorem 1.6]) Cho f : X → R là một hàm số khả vi tại

¯

x ∈ Ω và g : X → Y là một ánh xạ khả vi liên tục tại ¯x, ở đây Ω := g−1(K)

và K ⊂ Y Giả sử rằng chuẩn hóa Robinson đúng tại ¯x và f đạt cực tiểu địaphương trên Ω tại ¯x Khi đó, ta có 0 ∈ ∇f(¯x) + ∇g(¯x)∗

b

N g(¯x); K

Kết quả sau đây cho thấy rằng nếu miền ràng buộc thỏa mãn chuẩn hóa ràngbuộc Robinson thì công thức tính nón pháp tuyến Fréchet của tập nghịch ảnhqua ánh xạ khả vi là đúng

1.3.8 Hệ quả Cho g : X → Y là một ánh xạ khả vi liên tục và K làmột tập con lồi đóng của Y Giả sử chuẩn hóa ràng buộc Robinson đúng tại

¯

x ∈ Ω := g−1(K) Khi đó, ta có N ¯b x; Ω
= ∇g(¯x)∗N g(¯b x); K

Chứng minh Giả sử f : X → R là một hàm khả vi tại ¯x và đạt cực tiểu địa

Các kết quả của chương này bao gồm:

- Phép chứng minh mới cho một số quy tắc tổng dạng đẳng thức (Hệ quả 1.2.2

Chương 2

Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho

dưới vi phân Fréchet và ứng dụng

Chương này được dành để nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp xỉ chodưới vi phân Fréchet, tính đơn điệu của các ánh xạ liên tục và tính lồi của cáchàm số khả vi liên tục Mục 2.1 nhắc lại một số kết quả cơ bản cần dùng ởphần sau Mục 2.2 được dành để nghiên cứu định lý giá trị trung bình xấp xỉ.Trong mục này, chúng tôi thiết lập một đặc trưng của không gian Asplund theo

định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet Mục 2.3 trình bàycác kết quả về tính đơn điệu của ánh xạ và tính lồi của hàm số Các kết quảcủa chúng tôi trong mục này đã mở rộng một số kết quả cổ điển về đặc trưngtính đơn điệu của ánh xạ và đặc trưng tính lồi của hàm số

Chương này được viết dựa trên các bài báo [15] và [70]

2.1 Kiến thức chuẩn bị

Ngoài các khái niệm và kết quả trong Chương 1, để nghiên cứu định lý giátrị trung bình xấp xỉ, chúng ta cần thêm một số kết quả sau đây

2.1.1 Định lý (Nguyên lý biến phân Ekeland, [48, Theorem 2.26]) Cho(X, d) là một không gian mêtric đầy đủ và ϕ : X → R là một hàm chínhthường nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Với ε > 0, giả sử x0 ∈ X thỏamãn ϕ(x0) ≤ infX ϕ + ε Khi đó, với mỗi λ > 0 tồn tại ¯x ∈ X sao choϕ(¯x) ≤ ϕ(x0), d(¯x, x0) ≤ λvà ϕ(¯x) < ϕ(x) + ε

λd(x, ¯x) với mọi x ∈ X\{¯x}

Điểm x0 ở trong định lý trên được gọi là một ε-nghiệm của bài toán infX ϕ.Khác với nghiệm của bài toán, dưới giả thiết ϕ là một hàm chính thường và bịchặn dưới, ε-nghiệm bao giờ cũng tồn tại

Tiếp theo là một số quy tắc tổng và quy tắc hiệu cho dưới vi phân

2.1.2 Định lý (Định lý Moreau-Rockafellar, [32, Theorem 1, p 200]) Cho

X là một không gian Banach và ϕi : X → R (i = 1, 2) là các hàm lồi chínhthường Giả sử ϕ1 liên tục tại ¯x ∈ domϕ1∩ domϕ2 Khi đó,

2.2 Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet

Mục này trình bày một số vấn đề liên quan đến định lý giá trị trung bìnhxấp xỉ Kết quả chính là một đặc trưng của không gian Asplund theo định lýgiá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet (Định lý 2.2.7)

Định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet của Mordukhovich

và Shao (1996) được phát biểu như sau:

2.2.1 Định lý ([56, Theorem 8.2]) Cho X là một không gian Asplund và

ϕ : X → R là một hàm chính thường nửa liên tục dưới, hữu hạn tại hai

điểm a 6= b và c ∈ [a, b) là một điểm thỏa mãn ψ(c) = min

x∈[a,b]ψ(x), ở đâyψ(x) := ϕ(x) + ϕ(b) − ϕ(a)

kb − ak kx − bk. Khi đó, tồn tại xk

ϕ

−→ cvà x∗

k ∈ b∂ϕ(xk)sao cho

lim inf

k→∞ hx∗k, b − xki ≥ ϕ(b) − ϕ(a)

kb − ak kb − ck, (2.1)lim inf

k→∞ hx∗k, b − ai ≥ ϕ(b) − ϕ(a), (2.2)hơn thế, nếu c 6= a thì

lim

k→∞hx∗k, b − ai = ϕ(b) − ϕ(a) (2.3)2.2.2 Chú ý Cho X là một không gian Banach Ta nói rằng định lý giá trịtrung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet là đúng trong X nếu với mọi hàm

ϕ : X → R thỏa mãn các giả thiết của Định lý 2.2.1, tồn tại xk

ϕ

−→ c và

x∗k ∈ b∂ϕ(xk) sao cho (2.1) - (2.3) đúng Nếu dưới vi phân Fréchet được thaybởi dưới vi phân Clarke ([17]) thì ta có định lý giá trị trung bình xấp xỉ chodưới vi phân Clarke Định lý giá trị trung bình xấp xỉ đầu tiên, do D Zagrodny([82]) thiết lập, là một định lý giá trị trung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Clarke

2.2.3 Nhận xét Trong phép chứng minh định lý giá trị trung bình xấp xỉ,Mordukhovich và Shao ([56]) đã sử dụng một qui tắc tổng mờ được đưa ratrong [23] ở đó không có chứng minh kèm theo, còn Mordukhovich [48] chỉchứng minh cho trường hợp ϕ(a) = ϕ(b) Hơn nữa, phát biểu định lý giá trịtrung bình xấp xỉ cho dưới vi phân Fréchet ở [48] lại đặt

sẽ trở nên phức tạp hơn, do hàm số x 7→ ϕ(b) − ϕ(a)

kb − ak kx − bk nói chung làkhông khả vi ([27]) Chính vì vậy, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết phép chứngminh định lý giá trị trung bình xấp xỉ trong [48, Theorem 3.49] cho trường hợpϕ(a) = ϕ(b) và đưa ra phép chứng minh cho trường hợp ϕ(a) 6= ϕ(b)

2.2.4 Bổ đề ([48, Theorem 3.49]) Cho X là một không gian Asplund Giả sử

ϕ : X → R là một hàm chính thường nửa liên tục dưới, hữu hạn tại hai điểm

a 6= b, ϕ(a) = ϕ(b), và c ∈ [a; b) là điểm mà ϕ(c) = min

x∈[a,b]ϕ(x) Khi đó, tồntại xk

Chứng minh Trong trường hợp ϕ(a) = ϕ(b), các điều kiện (2.1)-(2.3) trở thành

lim inf

k→∞ hx∗k, b − xki ≥ 0, (2.4)lim inf

k→∞ hx∗k, b − ai ≥ 0 (2.5)

và nếu c 6= a thì

lim

k→∞hx∗k, b − ai = 0 (2.6)Trước hết, ta chứng minh tồn tại r > 0 sao cho ϕ bị chặn dưới trên

Θ := [a, b] + rBX Do ϕ chính thường nửa liên tục dưới và ϕ(a), ϕ(b) ∈ R,nên inf

x∈[a,b]ϕ(x) ∈ R Lấy γ < inf

x∈[a,b]ϕ(x) Với mỗi x ∈ [a, b], vì ϕ nửa liên tụcdưới và ϕ(x) > γ nên tồn tại rx > 0 sao cho ϕ(u) ≥ γ với mọi u ∈ B2r x(x)

Do đó, ϕ(u) ≥ γ với mọi u ∈ U := ∪x∈[a,b]B2r x(x) Vì intBr x(x) x∈[a,b] làmột phủ mở của tập compact [a, b] nên tồn tại x1, x2, , xn ∈ [a, b] sao cho[a, b] ⊂ ∪ni=1intBrxi(xi) Lấy bất kỳ r ∈ 0, min{rx i| i = 1, 2, , n}
Khi đó

Θ := [a, b] + rBX ⊂ U Vì vậy ϕ(x) ≥ γ với mọi x ∈ Θ Lưu ý đến tính

đóng của tập Θ, ta có ϑ(x) := ϕ(x) + δ(x; Θ) là một hàm chính thường nửaliên tục dưới Với mỗi k ∈ N, lặp lại các lập luận trên với ϕ(c) − k−2 đóngvai trò của γ, ta suy ra tồn tại rk ∈ (0, r) sao cho ϕ(x) ≥ ϕ(c) − k−2 với mọi

Như vậy ta có infX ϑk(x)+k−2 ≥ ϑk(c).Theo Định lý 2.1.1, tồn tại ˜xk ∈ B1

k(c)sao cho ϑk(x)+1kkx− ˜xkk ≥ ϑk(˜xk)với mọi x ∈ X Vì ˜xk → c ∈ [a, b] ⊂ intΘnên, không mất tính tổng quát, giả sử ˜xk ∈ intΘ với mọi k ∈ N Do đó, ˜xk làmột cực tiểu địa phương của hàm x 7→ ϕ(x) + tkd(x; [a, b]) + k−1kx − ˜xkk.Theo Bổ để 1.3.2,

k ∈ ∂d(ã; [a, b])(vk)nên kv∗

kk ≤ 1và hv∗

k, x−vki ≤ d(x; [a, b])−d(vk; [a, b])với mọi x Nói riêng ra,

hv∗k, b − vki ≤ d(b; [a, b]) − d(vk; [a, b])

= −d(vk; [a, b]) ≤ 0