toan hoc

Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số 2.. Tớnh thể tớch khối chúp.. Chọn ngẫu nhiờn 5 người đi trực tuần.. Hóy tớnh xỏc suất để chọn được đội trực tuần cú số học sinh nam nhiều hơn

Trường ĐH Hồng Đức

Khoa KHTN

*********

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2009

MễN: Toỏn; Khối B

Thời gian làm bài: 180 phỳt

I - PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)

Cõu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = - x + 3x - 2 (C)3 2

1 Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số

2 Tỡm m sao cho tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của ( C ) song song với ( d m ) : y = -9x + m

Cõu II (2,0 điểm)

1 Giải hệ phương trỡnh:







=

− + +

−=

+

−

+

0

1 2 3 y x y x

y x y x

2 Giải phương trỡnh: ( )

1 1

sin 4

4

13 sin

2 2 cos 3 2

2

2

−

=

−











 −

−

−

x

x

x x

x

0

cos

sin

π

Cõu IV(1,0 điểm)Cho hỡnh chúp tứ giỏc SABCD, đỏy là hỡnh thoi, AC = 6, BD = 8 và SA=SC; SB=SD

Cỏc mặt bờn hợp với đỏy một gúc 450 Tớnh thể tớch khối chúp

Cõu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dơng thoả mãn đẳng thức: ab+bc+ca = abc Chứng minh rằng:

3 2 2

2 2 2 2 2 2

2

≥ + + + +

+

ca

c a bc

b c ab

a

II - PHẦN RIấNG (3,0 điểm) Thớ sinh chỉ đựoc làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)

1 Theo chương trỡnh Chuẩn

Cõu VI.a (2,0 điểm) 1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giỏc ABC cõn tại B, với A(-1; 1),

C( - 3; - 5) Đỉnh B nằm trờn đường thẳng d: y - 2x = 0 Viết phương trỡnh cỏc đường thẳng AB, BC

2 Trong khụng gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1) , C(1; 1; 3) Hóy tỡm điểm M thuộc mặt phẳng(ABC) sao cho MA2 +MB2 +MC2 nhỏ nhất

Cõu VII.a (1,0 điểm) Một học cú 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ Chọn ngẫu nhiờn 5 người đi trực

tuần Hóy tớnh xỏc suất để chọn được đội trực tuần cú số học sinh nam nhiều hơn số học sinh nữ

2 Theo chương trỡnh Nõng cao

Cõu VI.b (2,0 điểm)1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường trũn lần lượt cú phương trỡnh:

(C1): x2 +y2 + 2x+ 2y− 11 = 0

(C2): x2 +y2 − 2x+ 2y− 7 = 0 và A( 1; 2) là giao điểm của (C1) và (C2)

Viết phương trỡnh đường thẳng ( d ) đi qua A và cắt (C1), (C2) lần lượt tại hai điểm M,N khỏc A sao cho AM=AN

2 Cho 2 điểm A(1 ; 1 ; 1), B(3 ; 1 ; -1) và mặt phẳng (P) có phơng trình: x + y - z - 2 = 0 Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho ∆MAB là tam giác đều

Cõu VII.b (1 điểm)Đa thức P(x) = ( 1 −x2 − 2x3 ) 10 đợc khai triển dạng: P(x) = a0 + a1x + + a30x30 Tìm hệ số a10

Họ tờn thớ sinh: ……….Số bỏo danh:………

trờng ĐH hồng đức

(Đáp án – Thang điểm có 4 trang)

I PHẦN CHUNG

Câu I: (2,0 điểm)

Tập xác định của hàm số: ¡

Giới hạn tại vô cực: lim ( )

f x =- x + x=- x x-

Bảng biến thiên:

x - ¥ 0 2 +¥

f x - 0 + 0 -'( )

+¥ 2

f x( )

-2

- ¥

Nhận xét: Hàm số đạt cực đại tại x = 2, f CD= ;2

đạt cực tiểu tại x=0,f CT =- 2

0,5

Đồ thị:

x y

-2

2

0

y = -x

3 + 3x

2 - 2

0,25

Gọi ∆là tiếp tuyến của (C), do ∆song song với dm nên k∆=-9

3x 6x 9 3x 6x 9 0

* Với x=-1 suy ra pt (∆): y = -9x-9

Kết hợp với giả thiết bài toán suy ra m=-9 hoặc m=25

Câu II: (2,0 điểm)

Điều kiện x+y ≥ 0 và 3x+2y ≥ 0 Đặt u = x y + và v = 3x 2y + , suy ra x = v2 – 2u2 và

Phương trình đã cho trở thành u v 2 1 2 v u 12

u 2u 5v 0 3u 5u 2 0

⇔

0,5

= =





⇔

 = − =



u 2,v 3

u ,v (lo¹i)

Với u=2, v=3 suy ra hệ đã cho có nghiệm 0,25

4sin x 1 0 cos 2x x k , k

π

Phương trình đã cho tương đương với (2 3 cos 2x 1 cos 2x) 2cos 2x 1

2

π

sin 2x 3 cos 2x 0 tan 2x 3

⇔ = + π ⇔ = + ∈¢

0,5

Kết hợp với điều kiện ta có

2

3 , k 5

3

π

 = + π



∈

 π

 = + π



Câu III: (1,0 điểm)

Tính tích phân

/4 2 0

sin x

cos x 1 3cos 2x

π

=

+

Ta có

6cos x 2 4 2 tan x

Đặt t = 4 2 tan x− 2 , ta có t2 = 4 2 tan x− 2 , suy ra 2tdt = -4tanx dx2

cos x ; x 0 π/ 4

t 2 2

Suy ra

2

2

t.dt I

t

= ∫ =

2

2

t

−

0,5

Câu IV: (1,0 điểm)

Từ giả thiết suy ra SO ⊥ (ABCD) Gọi H là hình chiếu của O lên AB, ta có ·SOH 45= o 0,25

Ta có 12 1 2 12 1 1 25

OH =OA +OB = +9 16 144= , suy ra OH=12

5 , do đó SO = OH.tan 45o=12

Vậy VSABCD = 1

3.SO.SABCD =

1

3.

12

5 .

6.8

2 =

96

Câu V: (1,0 điểm)

Ta có ab+bc+ca=abc 1 1 1 1

a b c

⇔ + + = Điều phải chứng minh tương đương với

3

b +a + c +b + a +c ≥ Đặt ur

= 1 1 1, ,

b a a

  ; v

r

= 1 1 1, ,

c b b

  ; w

uur

= 1 1 1, ,

a c c

 .

0,25

Khi đó u v w 12 22 12 22 12 22

r r uur

w

u

+ + =  + + ÷ + + + ÷ + + + ÷ =  + + ÷ =

r r uur

Mặt khác ta luôn có ur + +vr wuur≥ + +ur r uurv w , suy ra điều phải chứng minh

0,5

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

kv, k 0 u

1 w

v m , m 0 a b c

3

ab bc ca abc

 = >

 = > ⇔ = = =



 + + =



r r

r uur

0,25

Ghi chú: Học sinh có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky để giải bài này

II PHẨN RIÊNG

1 Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa: (2,0 điểm)

Gọi B(xB, 2xB) ∈ (d), do ∆ABC cân tại B nên BA2=BC2

(x 1) (2x 1) (x 3) (2x 5)

8 x 7

⇔ = Vậy B 8 16;

7 7

 .

0,5

Pt đt AB: x 1 y 1 3x 5y 8 0

15 / 7 9 / 7

+ = − ⇔ − + =

Pt đt BC: x 3 y 5 51x 29y 8 0

29 / 7 51/ 7

Gọi G là trọng tâm ABC∆ , ta có MA2+MB2+MC2 =

MAuuuur +MBuuur +MCuuur = MG GAuuuur uuur+ + MG GBuuuur uuur+ + MG GCuuuur uuur+ = 3MG2+(GA2+GB2+GC2) 0,5

Vậy MA2+MB2+MC2 nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, do đó M≡G(1; 2; 2). 0,5

Câu VIIa: (1,0 điểm)

Gọi A là biến cố “chọn được 5 người trong đó nam nhiều hơn nữ”; B là biến cố “chọn được 5

nam”; C là biến cố “chọn được 4 nam, 1 nữ”; D là biến cố “ chọn được 3 nam, 2 nữ” Ta có

A=B∪C∪D và B, C, D đôi một xung khắc

0,5 Suy xác suất để chọn được 5 người trong đó nam nhiều hơn nữ là:

P(A) = P(B) + P(B) + P(C) =

5 12

C C C C C C

C

+ + = 21 175 350 546 182

795 795 265

2 Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb: (2,0 điểm)

Nhận xét: AM = AN, do đó A là trung điểm MN

Gọi M(xM, yM), suy ra N(2xA-xM;2yA-yM) = (2- xM; 4- yM) 0,25

Do M ∈ C1, N∈ C2 nên

x y 2x 2y 11 0

2 x 4 y 2 2 x 2 4 y 7 0







x y 2x 2y 11 0 (1)

x y 2x 10y 17 0 (2)





Trừ vế với vế (1) cho (2) ta được 4xM + 12yM – 28 = 0 Vậy MN có pt: x + 3y - 7 = 0

0,5

Dễ kiểm tra được d(I 1 / MN) < R 1 và d(I 2 / MN) < R 2 Suy ra MN: x + 3y - 7 = 0 thỏa mãn ycbt 0,25

Gọi M(x; y; z), khi đó ta có:

( )

x y z 2 0

M P

 + − − =

∈





0,5

10 x

10

x 1 y 1 z 1 8

z 2

2



= ±





Vậy M 10;0; 2 10

Câu VIIb: (1,0 điểm)

1) Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển P(x) = (1 - x2 - 2x3)10 1,0

Ta có P(x) = [1 - x2(1 + 2x)]10

=

10

10

k 0

C ( 1) x (1 2x)

=

( 1) C x C (2x)

10 k

k k i i 2k i

10 k

k 0 i 0

( 1) C C 2 x +

= =

−

Tìm 0 k 10;0 i k;k,i≤ ≤ ≤ ≤ ∈¥ sao cho 2k + i = 10 ta được k = 4, i = 2 hoặc k = 5, i = 0.

Vậy hệ số cần tìm là 4 2 5 0

a =4C C −C C =5040 – 252 = 4788 0,5

Hết