vì vậy các lập trình viên mới tạo các ngôn ngữ để cho máy đọc hiểu đc chử e là 2,718… , còn để tính giá trị của e5 thì các nhà toán học tạo ra 1 công cụ khác để tính nó và công cụ đó máy
Trang 1Các thủ thuật hỗ trợ tính toán thông qua T(100)
Thủ thuật nhân chia bằng cách gán giá trị 100 cho biến đã được nhiều người biết đến , tôi chỉ trình bày sơ lại bằng cách gán các đa thức thành T x( )
Thực hiện phép nhân đa thức sau
(2 3)(6 1)(3 2)
Cách 1 :
2
(2 3)(3 1)( 2)
Cách 2 :
Đặt T x( ) (2 x3)(3x1)(x2)
Ta có : T(100) 6191094 6 / 19 / 10 / 94
Suy ra : T( ) 6x x319x210x94
Phân tích thêm : T x( ) 6 x319x210x100 6 6x319x210x x 6
Vậy : T(x)6x319x211x6
Bạn đọc có thể kiểm tra bằng cách nhập : N x( ) (2 x3)(3x1)(x2) (6 x319x211x6)
Thì ta có : N(1)N(2)N(3)N(4) 0
Ta thấy bậc của đa thức N tối đa là 3 , mà N(x) nhận 4 nghiệm 1,2,3,4 nên suy ra
N x( ) 0 x3 nghĩa là
(2 3)(3 1)( 2) (6 (2 3)(3 1)( 2) (6 19 11 6)
Tuy nhiên thuật toán này không ổn đinh lắm , tôi xét ví dụ sau
Nhân đa thức sau : (22x11)(21x10)
Ta nhân bình thường thì KQ là : 462x211x1 01
Trang 2Còn nếu dùng T(100) thì KQ là : 4620990 4 / 62 / 09 / 90 nghĩa là :
(22 11)(21 10) 4 62 9 90 ( @_@ )
Tôi xin trình bày 1 thuật toán để nhân khác như sau :
_Nguồn gốc của nó đi từ 1 câu chuyện rất thú vị là ,, làm sao người ta có thể tính được giá trị của một có số vô tỷ như là : e5
_Chắn chắn tôi và các bạn cũng lầm tưởng rằng để tính e mũ 5 trong máy tính là máy tính nó hiểu lấy e.e.e.e.e … Haizz sau khi vào S.G.U tôi mới vỡ mộng … máy tính thậm chí nó chả hiểu chữ e là 2,718 … vì vậy các lập trình viên mới tạo các ngôn ngữ để cho máy đọc hiểu đc chử e
là 2,718… , còn để tính giá trị của e5
thì các nhà toán học tạo ra 1 công cụ khác để tính nó và công cụ đó máy tính có thể hiểu … từ đó dẫn đến việc ta phải đi tìm 1 cái hàm đa thức mà giá trị của nó gần với giá trị của hàm e x
_Khai triển Taylor và MacLorin được tạo ra để giải quyết công việc trên , ngoài ra còn 1 loại khai triển nữa là khai triển Laurent , khi có dịp tôi sẽ trình bày sau
_Khai triển Taylor là dạng tổng quát , nhưng cái chúng ta cần là khai triển Maclorin
Cho đa thức f x( ) liên tục và có đạo hàm moi cấp ( f thuộc lớp C vô cùng )
Thì ta có : f x( )xấp xĩ với
[ n n]
n
(0)
Đây là dạng khai triển của khai triển Maclorin :
Ví dụ với : f x( )e x thì f x( )e x xấp xĩ với :
x
n
n
1! 2! ! .
n
2
1 1! 2! . !
k n x
x k
e
0
1 lim
!
n
5 1 1 5 1 52 1 5
k n
n k k
e
0
5 1 li
!
5 m
bốc khói bây giờ
Vậy với 1 đa thức thì sao ???
Tôi lấy chính ví dụ đa thức trên : T x( )(22x11)(21x10)
Áp dụng khai triễn :
[ n n]
n
2
(0)
Trang 3Thì do bậc của T chỉ là 2 nên từ đạo hàm cấp 3 trở di là 0 hết vì vậy ta có
T x( )(22 11)(21 10) T(x)=T(0)+ T'(0) x+ T''(0) x2
Ta có : T(0) 110, '(0) 11, ''(0) 924T T ráp lên T x( ) 110 11 x462x2
Bây h ta thử với :
T x( ) (6 x10)(9x12)(x1)(3x25x6)
Dễ thấy deg( ) 5T nên T x( ) sẽ có khai triển :
T(x)=T(0)+ x+ x2 '''(0)x3 (0)x4 5](0)x5
ta có : T(0) 720, '(0)T 852, ''(0) 78, '''(0) 738,T T T [4](0) 594, T [5](0) 162
T(0) 720, '(0)T 852, ''(0) 156, '''(0) 4428,T T T (0) 14256, T 5]19440
Ráp vào ta có : T( )x 720852x78x2738x3594x4162x5
Cơ mà việc tính mấy cái đạo hàm trên kia cho nhanh thì phức tạp lắm tôi sẽ sử dụng máy tính
để hỗ trợ về mặt tính toán cho các bạn ,
Thuật toán :
Nhập : T x( ) (6 x10)(9x12)(x1)(3x25x6)
Tính : T(0) 720lưu vô A
x
( )
rồi calcx 0,0001 , x 0,00015 , x 0,00005 thì máy cho ra kết quả xoay
quanh số 851,99nghĩa là
x
T x A x
0
( )
x2
( )
rồi calcx 0,0001 , x 0,00015 , x 0,00005 thì máy cho ra kết quả
xoay quanh số 78,01 nghĩa là
x
T x A Bx
x2 0
( )
Trang 4Lại nhập : T x A Bx Cx
x
2 3
( )
rồi calcx 0,0001 , x 0,00015 , x 0,00005 thì máy cho ra kết
quả xoay quanh số 738,05 nghĩa là
x
T x A Bx Cx
x3 0
2
( )
x
2 4
3
rồi calcx 0,0001 , x 0,00015 , x 0,00005 thì máy cho ra
kết quả xoay quanh số 594,1 nghĩa là
x
T x A Bx Cx Dx
x
4 0
( )
lưu vào E Lúc này ta có : T x( ) A Bx Cx 2Dx3Ex4( )x5để tìm vị trí còn lại ta chỉ cần nhập
T x( ) ( A Bx Cx 2Dx3Ex4)sau đó calc x 1 máy cho kết quả : 162
Vậy : T x( ) A Bx Cx 2Dx3Ex4162x5 hay
T( ) 720852 78x2738 3594 4162 5
Túm lại ta có : thuật toán ngược như sau :
a0 T(0)
x
T x T
a
x
0
1
( ) (0)
lim
x
d T x
dx( ( )) 0
x
T x a a x
a
x
( )
lim
…
k k
T x a a x a x a x a x
a
x
0
Ngoài ra chúng ta có thể đi theo chiều thuận như sau :
Nếu T x a a x a x2 a x3 a x k k a x n n
Trang 5n n
n n
n
k k
k k
a a x a x a x a x a x
T x
( )
Từ đó :
x
( )
Suy ra :
n n n
T x a x
a
( )
lim
k x
k k
T x a x a x a x
a x
1 1
1 1
Vd : đưa biểu thức A(22x13) (2 2x 5 () x26x9)2(4x29x12) về dạng đa thức
Cách 1 :
Xét T x (22x13) (2 2x 5 () x26x9)2(4x29x12)
Ta có bậc của T x( ) là 6 nên : T x a x6 a x5 a x4 a x3 a x2 a x a
T(0) 1817
x
T x
a
x
0
1
( ) 1817
x
a
x2
( ) 1817 3765
x
a
x
2 0
( ) 1817 3765 2916
x
a
x
( ) 1817 3765 2916 194
x
a
x
2
4 0
3
1
Hay A(22x13) (2 2x 5 () x26x9)2(4x29x12)
A 1817 3765x 2916x2 194x3 312x4 57x5 4x6
Cách 2 :
Trang 6Xét T x (22x13) (2 2x 5 () x26x9)2(4x29x12)
x
T x
a
x
( )
x
T x x
a
x
6
( ) 4
x
a
x
6 4
5 4
x
a
x
x
a
x
6 2
2
5
Do T(0) 1817
Hay A(22x13) (2 2x 5 () x26x9)2(4x29x12)
A 1817 3765x 2916x2 194x3 312x4 57x5 4x6
Trong thực tập ta có thể đốt cháy giai đoạn như sau :
Vd : B(3x32x1) (42 x25x6) (123 x4 x 1)(x21)
Xét T x( ) (3 x32x1) (42 x25x6) (123 x4 x 1)(x21)
Vì bậc của T x( ) là 6 nên có thể nhẩm ngay được : a 2 3
63 4 12 61
Và: a0T(0) 218 hơn nữa
x
d
dx
1
0
T x x6 a x5 a x4 a x3 a x2 x
x
a
x
6 5 0
5
( ) 61
x
a
x
( ) 60 240
Trang 7a
x
4 3
0
3
1
3
Hay : B(3x32x1) (42 x25x6) (123 x4 x 1)(x21)
B61 6240 5588 4852 3887 2545x218
Các ứng dụng :
Chia có dư :
x
x
2
2 3
x
x
3 3
2
x
x
3
3 2
3
x x
x5 x3 x2 x
3 1
2 2
2
3
x
x5 x3 x2 x
2
3
3
x
x
2
b2 T(0) 1
3
và b T1 (1) T(0) 1
9
Trang 8x x x x x x x
3
3
Ngoài ra ta có thể làm như sau , bằng cách ứng dụng các kết qủa của giải tích phức ta có :
Mở Mode 2 , cho máy vào môi trường số phức
3
lưu vào A
b i
A
b b
1
1 2
2
4
6 3. 1
3
Hay :
x
a x a x a x a
x
x x
x
2
2
Và cũng dễ thấy a3 4
3
nên ta có :
x
x
x
2
3
x
x
x
3
2
3
Vậy:
x
x
x
3
3
Xem :
x
x5 x3 x2 x
3
2
( )
a0 T(0) và a T1 (1)T(0)
Trang 9Tách phân thức có bậc mẫu lớn hơn 3 :
1
1
Ta có :
x
x
x
2
2
2
1
2
3
12 ( 1)( 2)( 3)(
30 ( 1)( 2)( 3)(
220 ( 1)( 2)(
2) 2) 2) 3)(
12( 1) 30( 2) 220( 3)
2 2
( 1)( 2)( 3)( 2)
33
và D T(1) T(0) 1
22
Vậy :
x
12( 1) 30( 2) 220( 3)
Ngoài ra ta cũng có thể dùng cách tương tự là tìm phần đuôi trước
Cho x2 2 0 x i 2 lưu vào A
1 ( 1)( 2)( 3) 1 2i Di 2 B
33 22
E
i Di E
D
1
22
Trang 10Còn khá nhiều ứng dụng khác của số phức , nhưng mà khi quá lạm dụng các em sẽ dễ bị đánh mất đi độ hiểu về mặt toán học khi làm bài các phương pháp mình đưa lên đây chỉ mang tính
hỗ trợ cho các em , dĩ nhiên có rất nhiều cách để đưa ra đáp số cuối cùng nhưng mà các em ko nên học 1 cách máy móc như vậy , vì vào phòng thi chỉ cần lệch đi 1 tý là bó tay ngay
Nếu chia tham số thì ta làm như sau : chỉ cần cho tham số m=100 sau đó ta phân tích như bình thường
Vd : khai triển (xm)(x2m x2)
Giải :
đặt T x( ) ( x100)(x2100x2) ta sẽ có
T x a x3 a x2 a x a
x
d
dx
1
0
( ) 10002
2 ( ) 10002 200
2 ( ) ( 10002 200) 1 200
Vậy : T x( )x3200x210002x200 nghĩa là T x( )x32mx2(m22)x2m
Vd : chia x32mx2(m22)x2mcho x m
Giải :
x m
3 2 2 ( 2 2) 2
vào máy
x m
2
0 2
1
x m
2
Giờ bận đi khai giảng ở S.G.U rồi sẽ viết thêm sau nhé