Bài tập đain số lớp 10 chương 2

Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được... VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phươn

1 Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

Điều kiện Kết quả tập nghiệm

a

;

−∞ − 

a;

− +∞

2 Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được.

3 Dấu của nhị thức bậc nhất

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

x ∈ −∞ −; b a÷

x ∈ − +∞b a; ÷

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) 2x 3 3 2( x 7)

−

+

− > + c) 5(x 1) 1 2(x 1)

Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) m x m( − )≤ −x 1 b) mx+ >6 2x+3m

c) m( +1)x m+ <3m+4 d) mx+ >1 m2+x

e) m x( 2) x m x 1

− + − > + f) 3 mx 2(x m) (m 1)2

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) m x2 +4m− < +3 x m2 b) m x2 + ≥ +1 m (3m−2)x

c) mx m− 2 >mx−4 d) 3−mx<2(x m− ) (− m+1)2

Bài 4.

a)

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT MỘT ẨN

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT MỘT ẨN

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

a)

x x

15 8

2 3 2(2 3) 5

4

 − > −





 − > −



b)

7

4

 − < +



 +

 > −



c)

x x



 <

 d)

x x

4

 ≤ +



 <



e)

x x

2

8

2 3 1

2

 − ≥ −





f)

x x

1

15 2 2

3

3 14

2

 − > +



 − <

 g)

x x

5

 − < +





 + < −



3 1 3( 2) 1 5 3

3

 − − − − > −





i) x x

 + > +



Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:

a)

5

7

2

 + > +



 +

 < +



b)

x x

1

15 2 2

3

3 14 2( 4)

2

 − > +



 − <



Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm:

a)







>

−

−

>

− +

0 2

3

0 1

x m

m

x

b)







>

−

>

− 0 3

0 1

mx

x

c)

2

 + > −



 − ≥ − +

 − + <

mx

m 1 0x m

 − >

 − − >



Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui về bất phương trình bậc nhất một ẩn

1 Bất phương trình tích

• Dạng: P(x).Q(x) > 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x) Từ đó suy ra tập nghiệm của (1)

2 Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

• Dạng: Q x P x( ) 0

( )> (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

• Cách giải: Lập bảng xét dấu của Q x P x( )( ) Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).

Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.

3 Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

• Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

• Dạng 1: f x( ) <g x( )⇔ −g x( ) 0g x( )>< f x( )<g x( )

• Dạng 2:

g x

f x có nghĩa

f x g x g x

f x g x

f x g x

( ) 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

 <







> ⇔   ≥< −



  >



Chú ý: Với B > 0 ta cĩ: A B< ⇔ − < <B A B ; A B A B

A B

 < −

> ⇔  > .

Bài 1. Giải các bất phương trình sau:

a) x( +1)(x−1)(3x− >6) 0 b) x(2 −7)(4 5 ) 0− x ≥ c) x2− −x 20 2(> x−11)

d) x x3 (2 +7)(9 3 ) 0− x ≥ e) x3+8x2+17x+10 0< f) x3+6x2+11x+ >6 0

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

x

(2 5)( 2) 0

− + >

− > +

3 1 2

− < −

d) x

x

2

− >

x x

2 − ≥ −

1 2≤ 1

g)

− <

x

2

1 2+ ≥ −

− < +

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) 3x− >2 7 b) 5x−12 3< c) 2x 8 7− ≤

2

+

2

− <

g) 2x− ≤ +5 x 1 h) 2x+ ≤1 x i) x− > +2 x 1

Bài 4. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) x m

x

1

+ − >

mx m

1

− + <

− c) x−1(x m− + >2) 0

HD: Giải và biện luận BPT dạng tích hoặc thương:

a x b a x b1 1 2 2

( + )( + ) 0> , a x b x

a x b x21 12 0

+

>

+ (hoặc < 0 ≥ 0, ≤ 0)

a1 a2

;

= − = − Tính x1−x2 – Lập bảng xét dấu chung a a x1 2 , 1−x2.

– Từ bảng xét dấu, ta chia bài tốn thành nhiều trường hợp Trong mỗi trường hợp ta xét dấu của a x b a x b( 1 + 1)( 2 + 2)(hoặc a x b x

a x b x21 12

+ + ) nhờ qui tắc đan dấu.

a)

m

m

3

2 3

2 3: \ { 1}

< = −∞ − ∪ +∞÷

−

 > = −∞ ÷∪ − +∞



b)

m

m m

m

1

1

0 : ( ;1)

 < = −∞ ∪ − +∞





c) m S

m 3 :3 :S (1;(m 2;) )

 < = +∞



Bài 5. Giải các bất phương trình sau:

a)

1 Dấu của tam thức bậc hai

f(x) = ax2+bx c+ (a ≠ 0)

∆ < 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R

∆ = 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ R b

a

\ 2

− 

∆ > 0 a.f(x) > 0, ∀x ∈ (–∞; x 1 ) ∪ (x 2 ; +∞)

a.f(x) < 0, ∀x ∈ (x 1 ; x 2 )

Nhận xét: • ax2+bx c+ > ∀ ∈ ⇔  <0, x R  >a∆ 00

• ax2+bx c+ < ∀ ∈ ⇔  <0, x R  <a∆ 00

2 Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2+bx c+ >0 (hoặc ≥ 0; < 0;≤ 0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai

VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:

a) x3 2−2x+1 b) x− +2 4x+5 c) −4x2+12x−9

d) x3 2−2x−8 e) x− +2 2x−1 f) x2 2−7x+5

g) (3x2−10x+3)(4x−5) h) (3x2−4 )(2x x2− −x 1) i) x x x

x x

2

+ −

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) x2 2−5x+ <2 0 b) −5x2+4x+12 0< c) 16x2+40x+25 0> d) −2x2+3x− ≥7 0 e) x3 2−4x+ ≥4 0 f) x2− − ≤x 6 0

g) x x

2

2

− − + >

2 2

+ − >

2 2

+ − <

Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:

a) x2−mx m+ + >3 0 b) (1+m x) 2−2mx+2m≤0 c) mx2−2x+ >4 0

HD: Giải và biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành như sau:

– Lập bảng xét dấu chung cho a và ∆.

– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm của BPT.

Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau:

x x

2

2

6 0

 + + >



+ − <

x x

2 2

 + − >



2 2

3 10 0

− − + <



− − + >



III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

d)

x x

2

2

2

 + + ≥



 − + >



2

− + − <



x x

2

 + + <



− + >



x

2

2

1

2 2

2 2

VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai Bài 1. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm

a) (m−5)x2−4mx m+ − =2 0 b) (m−2)x2+2(2m−3)x+5m− =6 0

c) (3−m x) 2−2(m+3)x m+ + =2 0 d) (1+m x) 2−2mx+2m=0

e) (m−2)x2−4mx+2m− =6 0 f) (−m2+2m−3)x2+2(2 3 )− m x− =3 0

Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

a) 3x2+2(m−1)x m+ + >4 0 b) x2+(m+1)x+2m+ >7 0

c) 2x2+(m−2)x m− + >4 0 d) mx2+(m−1)x m+ − <1 0

e) (m−1)x2−2(m+1)x+3(m− >2) 0 f) 3(m+6)x2−3(m+3)x+2m− >3 3

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:

a) (m+2)x2−2(m−1)x+ <4 0 b) (m−3)x2+(m+2)x− >4 0

c) (m2+2m−3)x2+2(m−1)x+ <1 0 d) mx2+2(m−1)x+ ≥4 0

e) (3−m x) 2−2(2m−5)x−2m+ >5 0 f) mx2−4(m+1)x m+ − <5 0

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai

1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

• Dạng 1:

f x g x

( ) 0





• Dạng 2: f x( ) = g x( ) ⇔ f x f x( )( )== −g x( )g x( )

• Dạng 3: f x( ) <g x( )⇔ −g x( ) 0g x( )>< f x( )<g x( )

• Dạng 4:

g x

f x có nghĩa

f x g x g x

f x g x

f x g x

( ) 0 ( )

( ) ( ) ( ) ( )

 <







> ⇔   ≥< −



  >



Chú ý: • A A= ⇔ ≥A 0 ; A = − ⇔ ≤A A 0

• Với B > 0 ta cĩ: A B< ⇔ − < <B A B ; A B A B

A B

 < −

> ⇔  > .

• A B+ = A B+ ⇔AB 0≥ ; A B− = A B+ ⇔AB 0≤

2 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

• Dạng 1: f x g x g x f x [g x ]2

( ) 0 ( ) ( )

( ) ( )





• Dạng 2: f x( )= g x( )⇔ f x f x( ) 0 (( )≥=g x( )hoặc g x( ) 0)≥

at2 bt c

( ), 0 ( ) ( ) 0

0

+ + =



• Dạng 4: f x( )± g x( )=h x( ) Đặt u f x u v

v g x( ); , 0 ( )

 =



=

 đưa về hệ u, v.

• Dạng 5:

[ ]

f x

f x g x g x

f x g x 2

( ) 0

( ) ( )



< ⇔ >

 <



• Dạng 6:

[ ]

g x

f x

f x g x g x

f x g x 2

( ) 0 ( ) 0

( ) ( )

 <



 ≥



> ⇔  ≥



 >





Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x2−5x+ =4 x2+6x+5 b) x2− =1 x2−2x+8 c) 2 3− x2 − −6 x2 =0 d) 2 x − − =x 3 3 e) x2− = −1 1 x f) x x

x x

( 2)

− + + =

−

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:

a) 2x2−5x− <3 0 b) x− >8 x2+3x−4 c) x2− −1 2x<0

d) x2+4x+ >3 x2−4x−5 e) x− − + <3 x 1 2 f) x2−3x+ +2 x2 >2x

x x

2

2

2

x x

3

− + >

x

x2 x

Bài 3. Giải các phương trình sau:

a) 2x− = −3 x 3 b) 5x+10 8= −x c) x− 2x− =5 4

d) x2+2x+ =4 2−x e) 3x2−9x+ = −1 x 2 f) 3x2−9x+ = −1 x 2 g) 3x+ −7 x+ =1 2 h) x2+ −9 x2− =7 2 i) x x

x

Bài 4. Giải các phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a) 3x+ +5 3x+ =6 32x+11 b) 3x+ +1 33x+ =1 3 x−1 c) 31+ x +31− x =2 d) 3x+ +1 3 x+ +2 3x+ =3 0

Bài 5. Giải các phương trình sau: (biến đổi biểu thức dưới căn)

a) x− +2 2x− +5 x+ +2 3 2x− =5 7 2

b) x+ −5 4 x+ +1 x+ −2 2 x+ =1 1

c) 2x−2 2x− −1 2 2x+ −3 4 2x− +1 3 2x+ −8 6 2x− =1 4

Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

a) x2−6x+ =9 4 x2−6x+6 b) x( +4)(x+ −1) 3 x2+5x+ =2 6

c) x( −3)2+3x−22= x2−3x+7 d) (x+1)(x+2) =x2+3x−4

Bài 7. Giải các phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

a) 3x2+5x+ −8 3x2+5x+ =1 1 b) 35x+ −7 35x−13 1=

c) 39− x+ +1 37+ x+ =1 4 d) 324+ x −35+ x =1

x

2

Bài 8. Giải các bất phương trình sau:

a) x2+ −x 12 8< −x b) x2− −x 12 7< −x c) − −x2 4x+21< +x 3

d) x2−3x−10 > −x 2 e) 3x2+13x+ ≥ −4 x 2 f) 2x+ 6x2+ > +1 x 1 g) x+ −3 7− >x 2x−8 h) 2− >x 7− − − −x 3 2x i) 2x+ +3 x+ ≤2 1

Bài 9. Giải các bất phương trình sau:

a) (x−3)(8− +x) 26> − +x2 11x b) (x+5)(x− +2) 3 (x x+ >3) 0

c) x( +1)(x+ <4) 5 x2+5x+28 d) 3x2+5x+ −7 3x2+5x+ ≥2 1

Bài 10.Giải các bất phương trình sau:

x

2 4 2

3

x

2

3

+

c) x( +3) x2− ≤4 x2−9 d) x x x x

Bài 11.Giải các bất phương trình sau:

a) x+ ≤2 3 2x +8 b) 32x2+ ≥1 33x2−1 c) 3x+ >1 x−3

Bài 12.Giải các phương trình sau:

a)

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) a3+b3+c3≥ + +a b c , với a, b, c > 0 và xyz = 1.

b) a b c a b c a b c

+ + + + + + + + ≥ , với a, b, c > 0.

c)

1 + 1 + 1 ≥21 1 1+ + 

− − −  , với a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác, p nửa chu vi. d) a b− +1 b a− ≤1 ab , với a ≥ 1, b ≥ 1.

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3+b3+c3≥33a b c3 3 3 =3 ⇒ 2(a3+b3+c3) 6≥ (1)

a3+ + ≥1 1 33a3 ⇒a3+ ≥2 3a (2) Tương tự: b3+ ≥2 3b (3), c3+ ≥2 3c (4) Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.

b) BĐT ⇔ b a a b+  ÷ + b c c b+  ÷ + c a a c+ ÷≥6

      Dễ dàng chứng minh.

c) Áp dụng BĐT:

x y x y

1 1+ ≥ 4

+ , ta được: p a p b p a p b c

Tương tự:

p b p c a p c p a b

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a b 1 a ab a. a ab a ab

Tương tự: b a 1 ab

2

− ≤ Cộng 2 BĐT ta được đpcm Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 2.

Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) A x

x

1 1

= +

− , với x > 1.

b) B

4

= + , với x, y > 0 và x y 5

4 + =

c) C a b

a b

1 1

= + + + , với a, b > 0 và a b 1+ ≤

d) D a= 3+b3+c3, với a, b, c > 0 và ab bc ca 3+ + =

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x

x

1

1

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 2 Vậy minA = 3.

b) B = x y

4

4

Dấu "=" xảy ra ⇔ x 1; y 1

4

= = Vậy minB = 5.

c) Ta có

a b a b

1 1+ ≥ 4

a b

3

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 1

2 Vậy minC = 5.

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3+b3+ ≥1 3ab , b3+ + ≥c3 1 3bc , c3+a3+ ≥1 3ca

⇒ 2(a3+b3+c3) 3 3(+ ≥ ab bc ca+ + ) 9= ⇒ a3+b3+c3≥3.

Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1 Vậy minD = 3.

Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:

a) A= a+ +1 b+1, với a, b ≥ –1 và a b 1+ =

b) B x= 2(1 2 )− x , với 0 < x < 1

2.

c) C= +(x 1)(1 2 )− x , với 1 x 1

2

− < <

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số 1,1, a+1, b+1 ta được:

A=1 a+ +1 1 b+ ≤1 (1 1)(+ a+ + + =1 b 1) 6 Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = 1

2.

⇒ maxA = 6

b) Áp dụng BĐT Cô–si: B = x x (1 2 )x x x 1 2x 3 1

 + + − 

1

3 Vậy maxB =

1

27.

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C = 1(2x 2)(1 2 )x 1 2x 2 1 2x 2 9

Dấu "=" xảy ra ⇔ x = 1

4

− Vậy maxC = 9

8.

Bài 4. Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm:

2

 + > −

x

2 3 4 0

 − − ≤

 − − ≥



 − ≥ − +

 − + <

m x2 12 2

 + > −

 + >



Bài 5. Tìm m để các hệ bất phương trình sau vô nghiệm:

2

9 3

 + < +

 + < − +

x

mx m

2 10 16 0

 > +



Bài 6. Giải các bất phương trình sau:

a) x

x

x2 x

3

− <

−

x

2 2

x

Bài 7. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) (m−1)x2−2(m+3)x m− + =2 0 b) (m−1)x2+2(m−3)x m+ + =3 0

Bài 8. Tìm m để các biểu thức sau luôn không âm:

a) (3m+1)x2−(3m+1)x m+ +4 b) (m+1)x2−2(m−1)x+3m−3

Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:

a) (m−4)x2+(m+1)x+2m−1 b) (m2+4m−5)x2−2(m−1)x+2

Bài 10.Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:

2 2

2 2

c) x mx

2

+ − <

x mx

x x

2 2

1

− + −

Bài 11.Tìm m để các phương trình sau có:

i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt

a) (m−2)x4−2(m+1)x2+2m− =1 0 b) (m+3)x4−(2m−1)x2− =3 0

Bài 12.Giải các phương trình sau:

a) (x+1) 16x+17 (= +x 1)(8x−23) b) x x

2 2

x2 x x2 x

2 −5 +3 2+ + +3= d)

x x

x

2

1

+ ÷ =

−

Bài 13.Giải các phương trình sau:

a) x2−8x+12 =x2−8x+12 b) x+ −3 4 x− +1 x+ −8 6 x− =1 1 c) 2 2 x − − =1 1 3 d) x+ 14x−49 + x− 14x−49 = 14

e) x+ 1−x2 = − 2(2x2−1)

Bài 14.Giải các bất phương trình sau:

a) x2−4x− <5 4x−17 b) x− + + <1 x 2 3 c) 2 x− −3 3x+ ≤ +1 x 5 d) x x

x

2

2

4

x

x2 x

2

− <

− − f) x− >6 x2−5x+9

g) x2−2x− − >3 2 2x−1 h) 2 x+ < − +1 x 2 3x+1

Bài 15.Giải các phương trình sau:

a) x− 2x+ =3 0 b) 2x+ +3 x+ =1 3x+2 (2x+3)(x+ −1) 16

c) x+ −4 1− =x 1 2− x d) x+ +1 4− +x (x+1)(4−x) 5=

e) 4x− +1 4x2− =1 1 f) 3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x2−5x+2

g) x( +5)(2− =x) 3 x2+3x h) x x( −4) − +x2 4x+ −(x 2)2 =2

i) x2+ x2+11 31= k) x + 9− = − +x x2 9x+9

Bài 16.Giải các bất phương trình sau

a) − −x2 8x−12 > +x 4 b) 5x2+61x <4x+2 c) x x

x

2− +4 − ≥3 2

x

2

2

3 − ≤ +3

x

2 2

5 − ≤ +1

−

a)