Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC.. Để mở của cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01 trang)
KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA NĂM 2016
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu I (1,0 điểm)
1 Cho số phức z 1 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w2z z
2 Cho log x2 2 Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 3 4
2
Alog x log x log x
Câu II (1,0 điểm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x4 2x2
Câu III (1,0 điểm). Tìm m để hàm số 3 2
f x x 3x mx 1 có hai điểm cực trị Gọi x ,x1 2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để x21 x22 3
Câu IV (1,0 điểm). Tính tích phân 3
2 0
I 3x x x 16 dx
Câu V (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 1; 0;1 và
C 2; 1; 3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC Tìm tọa
độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC
Câu VI (1,0 điểm)
1 Giải phương trình 2sin x 7 sinx 4 02
2 Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng của lớp mình Bảng gồm 10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một số
Để mở của cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đố theo thứ tự đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10 Học sinh B không biết quy tắc mở của trên, đã ấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển Tính xác suất để B
mở được cửa phòng học đó
Câu VII (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B,
AC 2a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A'B tạo với mặt phẳng ABC một góc 45o Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A'B'C' và chứng minh A'B vuông góc với B'C
Câu VIII (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD
và P là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình
x y 1 0 , M 0; 4 , N 2; 2 và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2 Tìm tọa độ các điểm P, A và B
Câu IX (1,0 điểm). Giải phương trình
3log 2 x 2 x 2log 2 x 2 x log 9x 1 log x 0
Câu X (1,0 điểm). Xét các số thực x, y thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 (*)
1 Tìm giá trị lớn nhất của x y
2 Tìm m để x y 4 7 x y 2 2
3 x y 1 2 3 x y m đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)
Trang 2ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu I : 1 Cho số phức z 1 2i Tìm phần thực và phần ảo của số phức w2z z
2 Cho log x2 2 Tính giá trị của biểu thức 2 2 1 3 4
2
Alog x log x log x
Lời giải
1 Ta có : z 1 2i z 1 2iw2z z 2 1 2i 1 2i 3 2i
Kết luận : Phần thực và phần ảo của w lần lượt là 3 và 2
2 ĐKXĐ : x 0 Khi đó 2 2 1 2 1 2 2
A 2log x 3log x log x log x
Kết luận : 2
A
2
Câu II : Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y x4 2x2
Lời giải
TXĐ : D Ta có : y' 4x34x 4x x 2 1 y' 0 x 0 hoặc x 1 hoặc x 1 Giới hạn :
xlim y xlim y
Bảng biến thiên :
x 1 0 1
y’
y 1 1
0 Nhận xét : Hàm số đồng biến trên ; 1 hoặc 0;1 , nghịch biến trên 1; 0 hoặc 1;
Điểm cực đại : A 1;1 và B 1;1 Điểm cực tiểu : O 0; 0
Đồ thị hàm số :
Nhận xét : Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng
Câu III : Tìm m để hàm số 3 2
f x x 3x mx 1 có hai điểm cực trị Gọi x ,x1 2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để x12x22 3
Lời giải
Trang 3Ta có : 2
f ' x 3x 6x m f x có 2 điểm cực trị f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt x ,x1 2
Áp dụng định lý Vi-ét ta được :
1 2
2m
m
3
x x
3
(thỏa mãn m 3 )
Kết luận : 3
m
2
Câu IV : Tính tích phân 3
2 0
I 3x x x 16 dx
Lời giải
0
3
2
3
0
0
1
3
Kết luận : I 88
Câu V : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 3; 2; 2 , B 1; 0;1 và
C 2; 1; 3 Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC
Lời giải
Gọi mặt phẳng qua A vuông góc BC là P Ta có BC1; 1; 2 là véc-tơ pháp tuyến P suy
ra P có dạng x y 2z t 0 Lại có A P 3 2 4 t 0 t 3
Vậy P có phương trình là x y 2z 3 0
Phương trình đường thẳng BC là x 1 y z 1
Gọi H t 1, t,2t 1 là hình chiếu của
A lên BC Khi đó AHBC 0 t 1 3 t 2 2 2t 1 2 0 6t 6 0 t 1 Suy ra H 0,1, 1
Kết luận : Phương trình mặt phẳng qua A vuông góc BC là x y 2z 3 0
Tọa độ hình chiếu của A lên BC là 0,1, 1
Câu VI : 1 Giải phương trình 2sin x 7 sinx 4 02
2 Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng của lớp mình Bảng gồm
10 nút, mỗi nút được ghi một số từ 0 đến 9 và không có hai nút nào được ghi cùng một
số Để mở của cần nhấn liên tiếp 3 nút khác nhau sao cho 3 số trên 3 nút đố theo thứ tự
đã nhấn tạo thành một dãy số tăng và có tổng bằng 10 Học sinh B không biết quy tắc
mở của trên, đã ấn ngẫu nhiên liên tiếp 3 nút khác nhau trên bảng điều khiển Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó
Lời giải
Trang 4sinx 4
1 sinx 1
2 sinx
2
(vì sinx 1 x ) x 6 2k k
5
6
Kết luận : x 2k
6
hoặc 5
6
với k
2 Gọi 3 nút bạn B ấn có ghi số X, Y, Z (X, Y, Z là số nguyên từ 0 đến 9 và đôi một khác nhau) Vậy số cách chọn bộ X, Y,Z là A103 720
Điều kiện để mở được cửa phòng là X Y Z 10
Khi đó, chỉ có 8 khả năng sau :
X, Y,Z 0,1,9 ; 0,2,8 ; 0,3,7 ; 0,4,6 ; 1,2,7 ; 1,3,6 ; 1,4,5 ; 2,3,5
Vậy xác suất để B mở được cửa phòng là 8 1
P
720 90
Câu VII : Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC 2a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng
A'B tạo với mặt phẳng ABC một góc 45o Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'
và chứng minh A'B vuông góc với B'C
Lời giải
Vì ABC vuông cân tại B, M là trung điểm AC nên AC
2
ABC
1
2
MB AC A'M ABC A'M là chiều cao hình lăng trụ và A' BM90o
Vì A'B tạo với mặt phẳng ABC một góc 45o
nên A' BM45o A' BM vuông cân tại M
A'M BM a
Vậy VABC.A ' B ' C ' A'M S ABC a3 Lại có :
Vậy A'B vuông góc với B'C (đpcm)
Câu VIII : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng BC, BD và P
là giao điểm của hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trình
x y 1 0 , M 0; 4 , N 2; 2 và hoành độ điểm A nhỏ hơn 2 Tìm tọa độ các điểm P, A, B
Lời giải
Trang 5Phương trình đường thẳng MN là x y 4 0 , P là giao điểm của MN và AC nên tọa độ điểm P thỏa mãn HPT
x y 4 0 5 3 5 3
x y 1 0
Gọi A a,a 1 với a 2 Gọi O là trung điểm BD Khi đó AMBANB 90 o nên
M, N thuộc đường tròn đường kính AB Suy ra
o o
Vậy A, P, O, N cùng thuộc một đường tròn APO ANO 90oOPACP là trung điểm AC PA PM (vì AMC90o) Vậy do a 2 nên :
Suy ra A 0, 1 mà P là trung điểm AC nên C 5,4
Phương trình đường thẳng CM là y 4 0 Vì B CM nên gọi B b,4
Do ANNB 0 2 b 2 3 4 2 0 b 1 B 1,4
Kết luận : 5 3
P ,
2 2
; A 0, 1 ; B1,4
Câu IX : Giải phương trình
3log 2 x 2 x 2log 2 x 2 x log 9x 1 log x 0
Lời giải
ĐKXĐ : 0 x 2 Ta có :
2 2
3
2
1
2
(vì 2 x 2 x 0 4 2 4 x 2 0 vô lý)
Trang 6 2 2 2 17
9
Thử lại chỉ thấy 2 17
x 9
thỏa mãn đề bài
3
2 x 2 x 3x 2 x 2 x 3x 0 Ta luôn có :
2
2 x 2 x 4 2 4 x 4 2 x 2 x 3x 2 6 0 Vô lý Kết luận : 2 17
x
9
Câu X : Xét các số thực x, y thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 (*)
1 Tìm giá trị lớn nhất của x y
2 Tìm m để x y 4 7 x y 2 2
3 x y 1 2 3 x y m đúng với mọi x, y thỏa mãn (*)
Lời giải
1 ĐKXĐ : x 2,y 3 Ta có x y 7 1 2 1 2
Vì 1 2 1 2
Vậy GTLN của x + y là 7 khi x = 6 và y = 1
2 Đặt x y 4 7 x y 2 2
P3 x y 1 2 3 x y Đặt t x y thì theo câu 1 ta được t 7
Nếu x y 1 0 thì do x 2,y 3 x 2,y 3 P 9476
243
(*) x y 1 4 x y 1 2 x 2 y 3 4 x y 1 t 3
x y x 1 y 1 2x 2y 2 5 P 3 t 1 2 15
Xét f t 3t 4 t 1 2 7 t 15 với t 3;7 Ta được :
f ' t 3 ln 3 2 t 1 2 ln 2
f '' t 3 ln 3 2 ln 2 ln 2t ln 2 2 0 t 3;7
Lại có f ' 3 f ' 7 0 suy ra f ' t có 1 nghiệm k 3,7 Vì f '' t 0 nên :
3
Nếu tk,7f ' t 0 f t f 7 20
Tóm lại ta được 148
P max
3
khi chẳng hạn x 2,y 1
3 x y 1 2 3 x y m khi và chỉ khi 148
m 3
Kết luận : 148
m
3
