Cấu Trúc Và Giải Thuật

Trước hết sắp xếp các cạnh của đồ thị G theo thứ tự không giảm của trọng số.. Bắt đầu từ ET= ∅ , ở mỗi bước ta sẽ lần lượt duyệt trong danh sách cạnh đã sắp xếp, từ cạnh có độ dài nhỏ đ

Cây khung

tối thiểu

THUẬT TOÁN KRUSKAL

 Ý tưởng

 Cho đồ thị có trọng số G = (V, E)

 Thuật toán sẽ xây dựng tập cạnh ET của cây khung nhỏ

nhất T=(V T , E T ) theo từng bước Trước hết sắp xếp các

cạnh của đồ thị G theo thứ tự không giảm của trọng số Bắt đầu từ ET= ∅ , ở mỗi bước ta sẽ lần lượt duyệt trong danh sách cạnh đã sắp xếp, từ cạnh có độ dài nhỏ đến cạnh có độ dài lớn hơn, để tìm ra cạnh mà việc bổ sung

nó vào tập ET không tạo thành chu trình trong tập này

 Giải thuật

1 Bắt đầu từ đồ thị rỗng T có n đỉnh.

2 Sắp xếp các cạnh của G theo thứ tự không giảm

của trọng số

3 Bắt đầu từ cạnh đầu tiên của dãy này, ta cứ thêm

dần các cạnh của dãy đã được xếp vào T theo nguyên tắc cạnh thêm vào không được tạo thành chu trình trong T

4 Lặp lại Bước 3 cho đến khi nào số cạnh trong T

bằng n−1, ta thu được cây khung nhỏ nhất cần tìm

3/51

THUẬT TOÁN KRUSKAL

THUẬT TOÁN KRUSKAL

 Ví dụ:

 Bắt đầu T = ∅

 Sắp xếp không giảm

theo trọng số

(v 3 , v 5 ) 4 , (v 4 , v 6 ) 8 , (v 4 , v 5 ) 9 , (v 5 , v 6 ) 14 ,

(v 3 , v 4 ) 16 , (v 1 , v 3 ) 17 , (v 2 , v 3 ) 18 , (v 2 , v 4 ) 20 , (v 1 ,

v 2 ) 33

THUẬT TOÁN KRUSKAL

N = 6 (đỉnh)  5 cạnh

5/51

v 1

v 2

v 3

v 4

v 5

v 6

(v3, v5) 4 , (v4, v6) 8 , (v4, v5) 9 , (v5, v6) 14 , (v3, v4) 16 , (v1, v3)

17 , (v2, v3) 18 , (v2, v4) 20 , (v1, v2) 33

Tổng trọng số = 4 + 8 + 9 + 17 + 18 = 56

THUẬT TOÁN PRIM

 Ý tưởng

 Cho đồ thị có trọng số G = (V, E)

 Bắt đầu, khởi tạo tập VT = {1 đỉnh bất kỳ }

 Sau đó lặp cho đến khi hết các đỉnh của đồ thị (Tức là

VT = V) Mỗi bước lặp, ta chọn cạnh nhỏ nhất (u,v) sao

cho u ∈ VT, v ∈ V – VT Thêm v vào VT, (u,v) vào ET.

 Kết thúc ta đc cây khung tối thiểu T = (V T , E T )

THUẬT TOÁN PRIM

 Ví dụ:

 Chọn đỉnh VT = {v1}

 (Sắp xếp không giảm

theo trọng số)

(v3, v5) 4, (v4, v6) 8, (v4, v5) 9, (v5, v6) 14,

(v3, v4) 16, (v 1 , v 3 ) 17, (v2, v3) 18, (v2, v4) 20,

(v 1 , v 2 ) 33

7/51

 Ví dụ:

 Chọn (v1, v3)

 VT = {v1, v3}, ET = { (v1, v3) }

 Lặp lại,

VT = {v1, v3, v5},

ET = { (v1, v3), (v3, v5) }

(v 3 , v 5 ) 4, (v4, v6) 8, (v4, v5) 9, (v5, v6) 14,

(v 3 , v 4 ) 16, (v1, v3) 17, (v 2 , v 3 ) 18, (v2, v4) 20,

(v , v ) 33

THUẬT TOÁN PRIM

v 1

v 3

v 5

THUẬT TOÁN PRIM

N = 6 (đỉnh)

9/51

v 1

v 2

v 3

v 4

v 5

v 6

Tổng trọng số = 4 + 8 + 9 + 17 + 18 = 56

THUẬT TOÁN PRIM

 Mô tả thông qua bảng các thao tác

TT (u,v) min VT V - VT ET

0 Khởi tạo v1 v2, v3, v4, v5, v6 ∅

1 (v1, v3, 17) v1, v3 v2, v4, v5, v6 (v1, v3)

2 (v3, v5, 4) v1, v3, v5 v2, v4, v6 (v1, v3),

(v3, v5)

THUẬT TOÁN PRIM

 Giải thuật

1 VT:={v*}, trong đó v* là đỉnh tuỳ ý của đồ thị G

ET:=∅

2 Với mỗi đỉnh vj∉VT, tìm đỉnh wj∈VT sao cho

m(wj,vj) = min m(xi, vj)=:βj

xi∈VT

và gán cho đỉnh vj nhãn [wj, βj] Nếu không tìm đuợc

wj như vậy (tức là khi vj không kề với bất cứ đỉnh nào trong VT) thì gán cho vj nhãn [0, ∞]

11/51

THUẬT TOÁN PRIM

 Giải thuật

3 Chọn đỉnh vj* sao cho

βj* = min βj

vj∉VT

VT := VT ∪ {vj*},

ET := ET ∪ {(wj*, vj*)}

Nếu |VT| = n thì thuật toán dừng và (VT, ET) là cây khung nhỏ nhất

Nếu |VT| < n thì chuyển sang Bước 4

THUẬT TOÁN PRIM

 Giải thuật

4 Đối với tất cả các đỉnh vj∉VT mà kề với vj*, ta thay đổi nhãn của chúng như sau:

Nếu βj > m(vj*, vj) thì đặt βj:=m(vj*, vj) và nhãn của

vj là [vj*, βj] Ngược lại, ta giữ nguyên nhãn của vj Sau đó quay lại Bước 3

13/51

THUẬT TOÁN PRIM

 Ví dụ

THUẬT TOÁN PRIM

15/51

BÀI T P Ậ

Đồ thị G vô hướng được cho bởi danh sách cạnh như sau:

c,k,4 c,e,7 h,k,5 g,h,8 a,b,4 d,k,8 e,h,5 f,h,9 b,c,8 f,b,6 d,e,5 b,e,6 d,c,5 e,f,5 d,g,5 a,f,6

e,g,7 k,g,6

1 Phát biểu thuật toán Kruskal / Prim

2 Tìm cây khung tối thiểu theo thuật toán Kruskal / Prim

3 Chỉ ra tổng trọng số các cạnh và dãy các cạnh của