TOÁN RỜI RẠC 1

Nguy n Duy Nh t, ThS... Ch ng minh suy lu n sau:... Theo lu t logic, ta có.

TOÁN R I R C

Ph m Th B o

email: ptbao@hcmus.edu.vn

www.math.hcmus.edu.vn/~ptbao/TRR/

1 ThS Nguy n Duy Nh t, ThS Nguy n

V n Phong, PGS.TS inh Ng c Thanh, Toán r i r c

Ki m tra gi a k : 30%

Ki m tra cu i k : 70%

đ đ nh có giá tr chân lý xác đ nh, đúng ho c sai

Câu h i, câu c m thán, m nh l nh… không là m nh đ

Ví d :

- m t tr i quay quanh trái đ t

- 1+1 =2

- Hôm nay tr i đ p quá ! (ko là m nh đ )

- H c bài đi ! (ko là m nh đ )

- 3 là s ch n ph i không? (ko là m nh đ )

Chân tr c a m nh đ :

M t m nh đ ch có th đúng ho c sai, không th

đ ng th i v a đúng v a sai Khi m nh đ P đúng ta nói P có chân tr đúng, ng c l i ta nói P có chân tr sai

Chân tr đúng và chân tr sai s đ c ký hi u l n

l t là 1 (hay ,T) và 0 (hay S,F)

a M nh đ ph c h p: là m nh đ đ c xây d ng t các

m nh đ khác nh liên k t b ng các liên t (và, hay, khi

và ch khi,…) ho c tr ng t “không”

b M nh đ s c p (nguyên th y): Là m nh đ không th

xây d ng t các m nh đ khác thông qua liên t ho c

Ví d

- “Hôm nay, An giúp m lau nhà và r a chén”

- “Hôm nay, cô y đ p và thông minh ”

- “Ba đang đ c báo hay xem phim”

d Phép kéo theo: M nh đ P kéo theo Q c a hai m nh đ

P và Q, kí hi u b i P → Q (đ c là “P kéo theo Q” hay

“N u P thì Q” hay “P là đi u ki n đ c a Q” hay “Q là

đi u ki n c n c a P”) là m nh đ đ c đ nh b i:

P → Q sai khi và ch khi P đúng mà Q sai

B ng chân tr

e Phép kéo theo hai chi u: M nh đ P kéo theo Q và

- 2=4 khi và ch khi 2+1=0

- 6 chia h t cho 3 khi và chi khi 6 chia h t cho 2

- London là thành ph n c Anh n u và ch n u thành ph HCM là th đô c a VN

- π >4 là đi u ki n c n và đ c a 5 >6

Bài t p: L p b ng chân tr c a nh ng d ng m nh đ sau

E(p,q) = ¬(p ∧q) ∧p

F(p,q,r) = p ∧(q ∨r) ↔ ¬q

t ng đ ng logic n u chúng có cùng b ng chân tr (hay

Trong phép tính m nh đ ng i ta không phân bi t nh ng

Qui t c thay th : Trong d ng m nh đ E, n u ta thay th bi u

th c con F b i m t d ng m nh đ t ng đ ng logic thì d ng

m nh đ thu đ c v n còn t ng đ ng logic v i E

Ví d ¬(p ∧ q) ∨ r⇔ ( ¬p ∨ ¬ q) ∨ r

10 Lu t h p th p ∨ (p ∧ q) ⇔ p

p ∧ (p ∨ q) ⇔ p

Trong các ch ng minh toán h c, xu t phát t m t s kh ng

đ nh đúng p, q, r…(ti n đ ), ta áp d ng các qui t c suy di n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

N u An đi h c đ y đ thì An đ u toán r i r c

An không đ u toán r i r c

Suy ra: An không đi h c đ y đ

3 Qui t c tam đo n lu n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

Ho c d i d ng s đ

Ch nh t, An th ng lên th vi n ho c v quê

Ch nh t này, An không v quê

Suy ra: Ch nh t này, An lên th vi n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

Hôm nay An h c bài

Hôm nay An ph m n u n

Suy ra: Hôm nay An h c bài và ph m n u n

Qui t c này đ c th hi n b ng h ng đúng:

Hôm nay An đi h c Toán r i r c và h c Anh v n

Suy ra: Hôm nay An h c Toán r i r c

7 Qui t c mâu thu n (ch ng minh b ng ph n ch ng)

Ta có t ng đ ng logic

ch ng minh v trái là m t h ng đúng ta ch ng minh n u

thêm ph đ nh c a h vào các ti n đ thì đ c m t mâu thu n

Ví d Cho a, b, c là 3 đ ng th ng phân bi t và a//c và

b//c ch ng minh a//b

⇔

D ng s đ

Hãy ch ng minh: Cm b ng ph n ch ng

8 Qui t c ch ng minh theo tr ng h p

D a trên h ng đúng:

Ý ngh a: n u p suy ra r và q suy ra r thì p hay q c ng có

th suy ra r

• Ch ng minh r ng:

ch ng minh m t phép suy lu n là sai hay

không là m t h ng đúng Ta ch c n ch ra

m t ph n ví d

Ch ng minh suy lu n sau:

Theo lu t logic, ta có

à

1 nh ngh a V t là m t kh ng đ nh p(x,y, ), trong đó x,y là

các bi n thu c t p h p A, B, Cho tr c sao cho:

- B n thân p(x,y, ) không ph i là m nh đ

- N u thay x,y,… thành giá tr c th thì p(x,y, ) là m nh đ

Ví d

- p(n) = “n +1 là s nguyên t ”

- q(x,y) = “x2 + y = 1”

- r(x,y,z) = “x2 + y2 >z”

2 Các phép toán trên v t Cho tr c các v t p(x), q(x)

theo m t bi n x ∈ A Khi y, ta c ng có các phép toán t ng

“∃x ∈ A, p(x)”

Ví d Các m nh đ sau đúng hay sai

nh ngh a Cho p(x, y) là m t v t theo hai bi n x, y xác đ nh trên A×B Ta đ nh ngh a các m nh đ l ng t hóa c a p(x, y)

nh sau:

“∀x ∈ A,∀y ∈ B, p(x, y)” = “∀x ∈ A, (∀y ∈ B, p(x, y))”

“∀x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” = “∀x ∈ A, (∃y ∈ B, p(x, y))”

“∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” = “∃x ∈ A, (∀y ∈ B, p(x, y))”

“∃x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” = “∃x ∈ A, (∃y ∈ B, p(x, y))”

- M nh đ “∃x ∈ R, ∀y ∈ R, x + 2y < 1” đúng hay sai

M nh đ sai vì không th có x = a ∈ R đ b t đ ng th c

a + 2y < 1 đ c th a v i m i y ∈ R (ch ng h n, y = –a/2 + 2 không th th a b t đ ng th c này)

- M nh đ “∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x + 2y < 1 ” đúng hay sai?

M nh đ đng vì t n t i x0 = 0, y0 = 0 ∈ R ch ng h n th a

x0 + 2y0 < 1

trên A×B Khi đó:

1) “∀x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” ⇔ “∀y ∈ B, ∀x ∈ A, p(x, y)”

2) “∃x ∈ A, ∃y ∈ B, p(x, y)” ⇔ “∃y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)”

3) “∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)” ⇒ “∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)”

Chi u đ o c a 3) nói chung không đúng

V i v t theo 2 bi n

Qui t c đ c bi t hóa ph d ng:

N u m t m nh đ đúng có d ng l ng t hóa trong đó

m t bi n x ∈ A b bu c b i l ng t ph d ng ∀, khi y n u thay th x b i a ∈ A ta s đ c m t m nh đ đúng

Ví d :

“M i ng i đ u ch t”

“Socrate là ng i”

V y “Socrate c ng ch t”

T p h p là m t khái ni m

c b n c a Toán h c

Ví d : 1) T p h p sinh viên c a

m t tr ng đ i h c

2) T p h p các s nguyên 3) T p h p các trái táo trên m t cây c th

Lu t De Morgan:

Ví d

Tích các c a t p h p A v i t p h p B là t p h p bao g m t t c các c p th t (x,y) v i

Ký hi u A.B ho c

Chú ý: Tích c a 2 t p h p không có tính ch t giao hoán

h p

t p X và Y là m t qui t c sao cho m i x thu c X t n t i

duy nh t m t y thu c y đ y = f(x)

Ta vi t:

Ngh a là

f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} đ c g i là nh ng c c a B

Nh v y y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x);

y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x)

f –1 (B)

a n ánh Ta nói f : X → Y là m t đ n ánh n u hai ph n t

khác nhau b t k c a X đ u có nh khác nhau, ngh a là:

Ví d Cho f: N →R đ c xác đ nh f(x)=x2 +1 (là đ n ánh)

Nh v y f : X → Y là m t đ n ánh

⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x')

⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhi u nh t m t ph n t )

⇔ (∀y ∈ Y, ph ng trình f(x) = y (y đ c xem nh tham s )

Ví d Cho f: R →R đ c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là toàn ánh)

g: R →R đ c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không là toàn ánh)

Ví d Cho f: R →R đ c xác đ nh f(x)=x3 +1 (là song ánh)

g: R →R đ c xác đ nh g(x)=x2 +1 (không là song ánh)

trong đó Y ⊂ Y' Ánh x tích h c a f và g là ánh x t X vào Z

xác đ nh b i: h : X → Z

x h(x) = g(f(x))

Ta vi t: h = gof : X → Y → Z

1 Ph ng pháp

V i nh ng bài toán ch ng minh tính đúng đ n c a m t bi u

th c m nh đ có ch a tham s n, nh P(n) Quy n p toán

h c là m t k thu t ch ng minh P(n) đúng v i m i s t nhiên n ≥N0

B c c s : Ch ra P(N0) đúng

B c quy n p: Ch ng minh n u P(k) đúng thì P(k+1)

đúng Trong đó P(k) đ c g i là gi thi t quy n p

G i P(n) = “1+3+…(2n-1)=n2 “

+ B c c s :

Hi n nhiên P(1) đúng vì 1= 12

d ng n