Các phương pháp hiện đại trong nghiên cứu tính toán thiết kế kỹ thuật điện đặng văn đào

Tuy nhiên do tính chất phức tạp của bài toán điện từ, theo mô hình mạch đôi khi đã bỏ qua hoặc chưa diễn tả đầy đủ những hiện tượng quan trọng như : dòng điện xoáy, hiệu ứng bề m ặt, hi

ĐẶNG VĂN ĐÀO - LÊ VĂN DOANH

M ực LỤC

Trang

Chương 1 : THIẾT LẬP Mỏ IIÌNH TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

1.5 Biêu thức trường trong hệ toạ độ chuyển động 18

1.7 Điều kiện biên giới giữa hai môi trường 22

1.9 Thiết lập mô hình - Phân loại mô hình 23

1.10 Mô hình trường điện từ tông quát viết cho H 25

1.11 Mô hình trường điện từ tổng quát viết cho E 26

1.12 Mô hình trường điện từ tổng quát viết cho (pvh Ă 271.13 Mô hình điện trường tĩnh trong điện môi 291.14 Mô hình trường dòng điện không đổi trong vật dẫn 32

2.13 Từ trường dòng diện không đôi, dây dẫn tiết diện tròn 70

2.14 Tác dụng chắn từ trường của trụ rỗng sắt từ 742.lõ Tác dụng chắn từ trường của quả cầu rỗng sát từ 772.16 Nghiên cứu dường dây truyền tải đồng trục 792.17 Anh hưởng hiệu ứng mặt ngoài đôi với dây dẫn dẹt chữ

2.18 Phanh điện từ - Tính trường dòng điện xoáy 85

3.5 Sự chuyến từ mô hình Maxwell sang mô hình mạch từ 101

Phương pháp mạch từ không gian thay thế

PHẨN TỬ HỬU HẠN

4.1 Nguyên lý cơ bản của phương pháp PTHH 1344.2 Phẩn tử hữu hạn một chiều (một thứ nguyên 1D) 1364.3 Phần tử hữu hạn hai chiều (hai thứ nguyên 2D) 1544.4 Phần tử hữu hạn ba chiều 3D (ba thứ nguyên) 1654.5 Các bài toán diễn biến theo thời gian 1704.6 Chương trình tính phẩn tử hữu hạn hình tam giác 171

Chương 5 : CÁC PHAN t ủ HỬU h ạ n v à c á c h à m

6.6 Sử dụng thuật toán song song tìm nghiệm phương trình

KÊ THEO PHƯƠNG PHÁP PHAN TỬ HỬU HẠN

7.4 Chương trình phôi hợp nhiều hiện tượng vật lý 247

7.9 Áp dụng mô hình vật liệu sắt từ vào bài toán phần tử hữu hạn 266

THIẾT KÊ THIẾT BỊ ĐIỆN TỪ THEO PHƯƠNG PHÁP PHẢN TỬ HỮU HẠN

8.1 Đại cương vê các chương trình tính toán và thiêt kê thiêt

cường độ diện trường E và cường độ từ trường H , phân bô" trong không gian và

diễn biến theo thời gian Đê giải quyết lớp bài toán này ta phải sử dụng công cụ phương trình vật lý - toán Công việc này rất khó khăn và mức độ khó khăn tăng gấp bội khi bờ của bài toán nghiên cứu có hình dáng phức tạp bất kỳ

Tuy nhiên đa sô" thiết bị điện có kích thước vô cùng nhỏ so vối bước sóng

điện từ ở tần sô" công nghiệp f= 50 Hz, bước sóng điện từ À= c/f= 300000/50

= 6000 kin và môi trường xung quanh thiết bị điện có điện dẫn nhỏ hơn rất nhiêu so với điện dẫn của vật dẫn, vì thê ta có thể coi quá trình điện từ chỉ diễn biến theo thời gian, mà không phụ thuộc vào không gian, điều này tương ứng với mô hình mạch

Đa sô" thiết bị điện thực tê thỏa mãn các điều kiện của mô hình mạch, do đó

mô hình mạch trỏ thành công cụ rất quen thuộc vối các kỹ sư điện, đến nỗi muốn giải quyết bất kỳ vấn dể kỹ thuật nào, từ việc giải thích nguyên lý làm việc đến việc phát hiện hư hỏng, sửa chừa, vận hành khai thác, thiết kế chế tạo thict bị điện các kỹ sư điện đều dựa vào mô hình mạch

Đê nghiên cứu các thiết bị điện theo mô hình mạch người ta phải tiên hành các bước sau :

- Liệt kê các hiện tượng năng lượng chủ yếu xảy ra trong thiết bị điện

- Thay thế các hiện tượng năng lượng bằng các thông sô" lý tưởng hoá, đó là

các thông sô" của nguồn e(t) /(t) và cãc phần tử mạch R, L, c, M quen biết

Chúng là tuyến tính nếu các thông sô" đặc trưng là hằng sô", là phi tuyên nêu các

5

thông sô" mạch phụ thuộc vào dòng điện hoặc điện áp, là biến sô" nốu các phần tử mạch phụ thuộc vào thòi gian.

- Thành lập sơ đồ thay thế gồm các phần tử lý tưởng có kết cấu hình học phản ánh thiết bị thực tế Kết quả bước này ta được sơ đồ điện diễn ta gần đúng các quá trình năng lượng điện từ xảy ra trong thiết bị điện

- Áp dụng các định luật cơ bản đôi với sơ đồ thay thế, thường là các định luật Kirchhoff Kết quả ta nhận được hệ phương trình diễn tả các quan hệ giữa các biến trạng thái là dòng điện hoặc điện áp theo các thông sô" đặc trưng của mạch điện Cĩiải hệ phương trình này ta tìm được các đại lượng cần tìm

Bài toán thiết kế thiết bị điện là bài toán tổng hợp thông sô" phức tạip Để giải quyết vấn đề này một mặt ta phải dựa vào sơ đồ thay thế của mô» hình

mạch, mặt khác phải dựa vào các công thức kinh nghiệm tích lũy qua nhiều

mẫu thiết kế, các hệ số thực nghiệm Tuy nhiên do tính chất phức tạp của bài

toán điện từ, theo mô hình mạch đôi khi đã bỏ qua hoặc chưa diễn tả đầy đủ những hiện tượng quan trọng như : dòng điện xoáy, hiệu ứng bề m ặt, hiện

tượng bão hòa, hiện tượng từ trễ, trong một sô" trường hợp mô hình mạch gây sai sô" lớn, không thể chấp nhận được Ví dụ trường hợp thiết kê" các máy phát điện công suất lớn, điện áp cao, ỏ đó ngoài quá trình điện từ còn phải nLghiên

cứu tỷ mỷ trường nhiệt, ứng suất cơ

Đế khắc phục những hạn chê" của mô hình mạch người ta buộc phải quay vê

mô hình trường Tuy nhiên việc giải các bài toán theo mô hình trường g;ặp trở ngại chính là các phương pháp giải tích để giải phương trình đạo hàm riêitìg rất phức tạp và khó hiểu với sô" đông các kỹ sư, đồng thời khó tìm được nghiệm với các bài toán bờ phức tạp

Ta có thể phân loại các phương trình vật lý - toán thường gặp ra làm ba loại, mỗi loại đặc trưng cho một lớp hiện tượng vật lý riêng

- Phương trình kiểu êlip được diễn tả bàng phương trình :

8 ^ 0 d 20 õx2 dy2

Phương trình kiểu elip biểu diễn cho các bài toán thê", xuất hiện trong việc nghiên cứu chê" độ xác lập trong trường tĩnh điện, từ tĩnh, trong các bài toán cơ khi nghiên cứu hiến dạng của vật rắn, trong dòng chảy, trong phân bô" nhiệt

Điều kiện bò' thường gắn với các điếu kiện sau đây :

Điều kiện bờ gắn VỚI phương trình parabôn có hai kiểu :

- Điểu kiện Dirichlet, Neumann hoặc hỗn hợp trên bờ không gian của miền

- Điều kiện đầu (t = 0) trên toàn miền

- Phương trình kiểu hypecbôn :

Phương trình hypecbôn đặc trưng cho hiện tượng truyền sóng, sóng dao động có thể là sóng cơ học hoặc sóng điện từ Phương trình này có thể biến đổi thành phương trình kiểu êlip khi kích thích có dạng chu kỳ

Điều kiện giới hạn gắn với phương trình truyền sóng là điều kiện Cauchy ỏ

thòi điểm ban đầu của hàm 0 hoặc đạo hàm theo thời gian

Các phương trình kiểu parabôn và hypecbôn liên quan đến chế độ quá độ Giải bài toán này cho phép phân tích sự tiến triển của hiện tượng vật lý theo thời gian

Các phương trình đạo hàm fr$ng và điều kiện giới hạn tạo nên bài toán chỉnh thỏa mãn ba điều kiện sau đây :

Bảng dưới đây tóm tắt sự phôi hợp của các phương trình đạo hàm riêng và điều kiện giới hạn dẫn đến bài toán chính :

Kiểu điều

kiện bờ Loại bờ Phương trinh êlip Phương trinh parabôn

Phương trình hypecbôn

Dirichlet

Mặt hở Không đủ Duy nhất, nghiệm ổn

định theo môt chiểu Không đủ

Mặt kín Nghiệm duy nhất,

Neumann

Mặt hở Không đủ Nghiêm duy nhất ổn

định theo một chiểu Không đủ

Việc giải các phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp giải tích rất khó khăn khi bờ của bài toán có hình dáng phức tạp Đế giải quyết khó khăn

này người ta sử dụng các phương pháp sô Phương pháp số mạnh nhất và thích

hợp nhất đôi vói phương trình đạo hàm riêng là phương pháp các phần tư hữu hạn Để thuận tiện từ nay ta viết tắt là phương pháp PTHH

Phương pháp PTHH do các nhà cơ học khởi xướng từ hơn nửa thế ký trước Năm 1941 A Hrenikoff sau đó vào năm 1943 Mc Henry đã thay thế kết cấu cơ học liên tục bằng mạng lưới các phần tử Năm 1952 B Langeíbrs, sau đó năm

1954 J H Argvris đã thiết lập quá trình phân tích các kết cấu và lập công thức tính toán lưới cấu trúc dưới dạng ma trận

Năm 1956 Turner M.J., Clough H.C., Martin H.c và Topp L,J dà sử dụng

mô hình khung tam giác để tính toán cấu trúc máy bay

Tên gọi “phần tử hữu hạn” xuất hiện lần đầu tiên vào năm 1960 trong công

trình của R.w Clough.

Phương pháp PTHH là kết quả nghiên cứu của các nhà toán học khi phát triển phương pháp tính biến phân : Ritz (1909), Galerkin (1915), Biezeno Koch (1923) và phương pháp sai phân hữu hạn : South Well (1940), Yarga (1960) với

sự đóng góp của các nhà kỹ thuật, tuy nhiên ban đầu ứng dụng của phương pháp PTHH bị hạn chế do thiếu công cụ tính toán đủ mạnh Chỉ khi xuất hiện máy tính số’ đủ manh phương pháp PTHH mới được phát triển và hoàn thiện

Trong lĩnh vực kỹ thuật điện, nam 1967 M A Winslow đã sử dụng lưới PTHH tam giác để giải phương trình Poisson Năm 1969 p Silvester và M.V.K Chari đã ứng dụng các PTHH trong việc giải quyết một sô"bài toán điện từ [1].

Từ 1971 o.c Zienkeiwicz dã phổ biến và ứng dụng rộng rãi phương pháp PTHH trong nhiều lĩnh vực : cơ, thủy, nhiệt [2]

Năm 1974 A Konrad đã sử dụng PTHH tam giác trong bài toán trường điện

từ vectơ Năm 1979 J Simkin và c.w Trowbridge đã giải trường vectơ theo thế vectơ và thê vô hướng Từ trường được giải trực tiếp bằng các PTHH qua các công trình của S.R.H Hoole, z J Cendes và P.R.P.Hoole vào năm 1985

Năm 1981 J.L Coulomb phân tích điện trường và từ trường bằng mô hình 3D Năm 1987 J.L Sabonnadière và J.L Coulomb đã trinh bày những ứng dụng của phương pháp PTHH vối kỹ thuật CAD thiết kế các thiễt bị điện từ [3]

Các công trình vê phương pháp PTHH tăng theo cấp sô" mũ : năm 1961 : 10 công trình, năm 1971 : 844 công trình Tính đến năm 1979 đã có 8000 công trình về phương pháp PTHH Cây tổng quát của phương pháp PTHH diễn tả quá trình hình thành của nó được cho trên hình M.l

Phương pháp PTHH tỏ ra ưu việt hơn hẳn phương pháp sai phân hữu hạn

do có thể xây dựng thuật toán tổng quát và thích hợp với hình dáng bờ bất kỳ

Ưu điểm này càng thể hiện rõ trong quá trình tính toán là có thể chọn hình dáng phần tử bất kỳ, chiến lược phân miền bài toán và thực hiện tính toán cũng hết sức linh hoạt, do dó thòi gian tính giảm đáng kể so với phương pháp sai phân hữu hạn

Vì những lý do kể trên, ngày nay các bài toán thiết kế cơ khí, điện từ, nhiệt, thủy nói chung đều dùng phương pháp PTHH

Việc sử dụng phương pháp PTHH gắn liền vối việc phát triển kỹ thuật thiêt

kế nhờ máy tính CAD (Computer Aided Design) Trên thị trường phần mềm xuất hiện hàng loạt sản phẩm cho bài toán thiết kế máy điện, khí cụ điện cho bài toán 2D, 3D

Tuy nhiên ta cũng phải nhận thấy rằng phương pháp PTHH dù rât mạnh

và vạn nãng nhưng đòi hỏi công cụ tính toán là các máy tính có dung lượng rất lớn Một bài toán thiết kế theo phương pháp PTHH ở mức khiêm tôn cũng cần phải giải hệ phương trình đại sô" tuyến tính có hàng ngàn ẩn sô, công việc này không thích hợp đôi với các máy tính PC, vì thê một phương hướng có triển

9

vọng l à kêt hợp tính đơn giản cưa bài toán mạch VỐI tính vạn năng, chính xác

của phương pháp PTHH, đó là phương pháp mạch từ không gian thay thế Theo

phương pháp này không gian dưới cực từ được chia thành một sô" miền Mỗi miền dược mô hình hóa bằng mạch từ thay thế và dùng công cụ mạch để tìm sự phân bô" trường trong thiết bị

Quyên sách này là tập hợp các sưu tầm, nghiên cứu của các tác giả trong việc tính toán, thiết kế thiết bị bàng phương pháp PTHH Quyển sách được chia thành 8 chương :

- Chương 1 trình bày khái quát vê mô hình trường điện từ, cách thiết lập bài toán về trường điện từ

- Chương 2 trình bày các phương pháp giải tích nghiên cứu bài toán trường

- Chương 3 tông quát hóa các phương pháp cơ bản nghiên cứu bài toán trường điện từ, đi sâu giới thiệu phương pháp mạch từ không gian thay thế

- Chương 4 trình bày tinh thần cơ bản của phương pháp PTHH đi từ bài toán 1D, 2D đến 3D

- Chương 5 trình bày các PTHH và các hàm gần đúng, các PTHH thông dụng nhất liên quan đến kỹ thuật CAD trong việc mô tả đối tượng và phân miền tự động bài toán trên máy tính

- Chương 6 trình bày các phương pháp sô" thường gặp để giải các bài toán xây dựng theo phương pháp PTHH

- Chương 7 trình bày kỹ thuật tổ chức, cấu trúc hệ thông chương trình CAD theo phương pháp PTHH

- Chương 8 trình bày tom tắt các sản phàm phần mềm CAD theo phương pháp PTHH dùng cho bài toán kỹ thuật điện đang lưu hành trên thị trường.Các tác giả mong muôn trình bày bản chất của phương pháp PTHH qua nhiều ví dụ cụ thể và chương trình mẫu thích hợp

Quyền sách này dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên các ngành điện của các trường đại học Nó cũng được dùng làm tài liệu tham khảo cho các lớp cao học, hệ nghiên cứu sinh và các kỹ sư điện dang làm việc trong các cơ quan nghiên cứu, thiết kế và chế tạo thiết bị điện

11

Vì phạm vi rộng lớn, tính chất mới mẻ của vấn đề củng như do trình dộ hạn chế của các tác giả nên quyên sách đầu tiên về phương pháp phần tủ hữu hạn trong lĩnh vực kỹ thuật điện bằng tiếng Việt không tránh khỏi sai sót.

Các tác giả mong muôn nhận được các nhận xét góp ý của đông đảo bạn đọc.Các tác giả chân thành cám ơn tập thể Bộ môn Thiết bị điện - điện tử, Khoa Năng lượng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội đã động viên và tạo điều kiện tốt cho việc hoàn thành quyển sách này

Mọi thư từ góp ý xin gửi về bộ môn Thiết bị điện - điện tử, khoa Năng lượng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, điện thoại : 8692511

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn

CÁC TÁC GIẢ

vectơ cường độ điện trường E hoặc véctơ cảm ứng điệnD Từ trường được đặc trưng bằng vectơ từ cảm B hoặc vectơ cường độ từ trường H Điện từ trường là

một dạng của vật chất Điện tích và dòng điện là nguồn của điện từ trường

1.1 NGUỒN CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG

Khi nghiên cứu, nguồn của điện từ trường được biểu diễn bằng các đại lượng: điện tích điểm, mật độ dòng diện, dòng diện

Diện tích điểm là lý tưởng hóa một vật thê mang điện có kích thước rất nhỏ,

có thể bỏ qua so với kích thước của các đổi tượng khác trong khi nghiên cứu các hiện tượng điện từ

Diện tích điểm có điện tích q và diêm dặt trong không gian.

Dơn vị của q là c (Culông)

Khi điện tích phản b<3 liên tục trong khôi V, hoặc trên diện tích s, hoặc trên đường L, ta dùng khái niệm mật độ diện tích đế đặc trưng cho nguồn, và được định nghía như sau :

Khi các điện tích q chuyên động với cùng vận tốc V sẽ gảy ra dòng điện Người ta định nghĩa véctơ mật độ dòng điện như sau :

trong đó n là sô" lượng điện tích q trong một đơn vị khôi.

Nếu điện tích phân bô" có mật độ điện tích khôi p với vận tốc trung bình vd ,

mật độ dòng điện là :

Đơn vị của dòng điện là A

Khi điện tích không chuyển dộng, từ trường bằng không, cường độ điện

trường E tại điểm M trong không gian dươc tính như sau :

Khi điện tích phân bô" trên bề mặt s VỚI

ứng với điện tích dương, nếu điện tích âm,

E có chiểu ngược lại

Hình 1-3

Đơn vị của cường độ điện trường là Vm'1

Vectơ cảm ứng điện D được tính là :

Đơn vị của cảm ứng điện D là Cm*2.

Cảm ứng điện D còn dược gọi là mật độ điện thông.

1.3 TỪ CẢM B

Khi điện tích chuyến động sẽ sinh ra từ trường trong không gian Ta xét

điện tích q chuyển động, ớ thời điếm xét điện tích ở điểm 0 có vận tôc V T ừ

cảm B tại điểm M trong không gian do điện tích q chuyến động được tính như

sau (hình 1-5) :

15

B - J L q ĩ L ĩ L

% Từ biểu thức này ta dễ dàng suy ra từ

trường do dòng điện gây ra

d í - nguyên tô'chiều dài, m;

I - dòng điện chạy trong dây dẫn, A;

Cường độ từ trường được tính là :

1.4 ĐIỆN THẾ VÔ HƯỚNG </, TỪ THÊ VÉCTƠ A

Khi giải các bài toán trường diện từ, ta có thể giải trực tiếp với các đại lượng

E D B H , hoặc thông qua đại lượng trung gian là thế Việc đưa vào các đại

lượng diện thô, từ thê khong nhưng thuận lợi cho việc tính toán, mà các đại lượng thê còn trực tiêp liên hệ với năng lượng điện từ

Người ta thường dùng hai khái niệm : điện thê vô hướng (Ọ và từ thế vectơ

A Cơ sở toán học của các đại lượng thê như sau : trường E có rot E - 0 có thể dặt E = - grad(p\ trường B có diu B - 0 có thể đặt B - rot A Xuất phát

từ định nghĩa trên, biêu thức của điện thê (p tại điểm M (hình 1-1, 1-2, 1-3, 1-4)

do điện tích diêm và điện tích phản bôT gây ra được tính là :

Đôi với điện tích điểm q :

Ã* = -4 dl

4tt tj r

¡L i

Đơn vị của điện thế (p là V, của từ thếA là Wbm*1.

Trong trường hợp tổng quát công thức (1-67) (1-63) ở mục 1-12 các biểu thức của điện từ trường được viết là :

ôt

Dòng điện 1 chạy trong dây dẫn L :

Các biểu thức của trường E ,J3 ở trên được viết trong hệ tọa độ không

chuyển động đôi với nguồn Trong hệ tọa độ chuyển động vỏi vận tốc V đôi với

nguồn, trường sẽ có giá trị E' , B' Quan hệ giữa các thành phần của trường ở

hai toạ độ như sau :

điện động quay trong máy điện Thật vậy, trong máy phát điện đồng bộ, dòng điên kích từ môt chiều trong dâv quấn rôto sẽ tạo ra từ trường và điện trường trong máy phát.

Trong tọa độ gắn liền với rô to sẽ tồn tại từ trường B và điện trường E

Trong tọa độ gắn liền VỐI stato sẽ có từ trường B' = B và điện trường E' - E + V X B Thành phần V xB sẽ sinh ra sức điện động quay e trong dây quấn stato máy phát đồng b.ộ

Trong (1-28), sự xuất hiện thành phần V y B giải thích rõ khái niệm sức

1.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL

Tất cả các hiện tượng điện từ xảy ra trong các thiết bị điện đều được nghiên cứu và giải thích nhờ vào hệ phương trình Maxwell Có thể nói hệ phương trình Maxwell quyết định sự làm việc và các đặc tính của thiết bị điện

Hệ phương trình Maxwell mô tả các quan hệ (các định luật) giữa các đại

lượng E ,D ,H ,B đặc trưng cho trường và các đại lượng p, J đặc trưng cho nguồn gây ra các trường, trong môi trường có các hệ số vật lý Y> £> ự'

Đê thuận tiện cho người sử dụng, hệ phương trình Maxwell thường được viết dưới hai dạng : dạng vi phân và dạng tích phân

1.6.1 Hệ phương trình Maxwell dưới dạng vi phân

E - vectơ cường độ điện trường Vm'1;

£ - hệ sô" điện môi F m ‘;

Trong vật liệu đồng nhất, đắng hướng //, ¿) ỵ là các đại lượng vô hướng, là

hằng sô" khi vật liệu tuyến tính, là hàm sô" của trường khi vật liệu phi tuyến, ơ

vật liệu không đẳng hướng //, £y ỵ là các tensơ ; ví dụ ở vật liệu sắt từ không

đẳng hướng

/ ' x 0 0/ / = 0 B y 0

0 0 B ,

Đơn vị của từ thông là Wb, của sức điện động là V, của điện tích là c.

1.6.3 Hệ phương trình Maxwell dưới dạng số phức

Khi nguồn và trường biến thiên hình sin theo thời gian, t a ‘biểu diễn

trường và nguồn dưới dạng phức E , H , D , B , J :

21

Trong các bài toán kỹ thuật điện, các thiết bị điện từ làm bằng các vật liệu khác nhau, vì thế miền giải bài toán trường chứa các miền con, các miền con này có các đặc tính vật lý và nguồn khác nhau.

Từ miền này qua miền kia tại biên giới, trường phải tuân theo các quy tắc nhất định phù hợp với các định luật của trường Các quy tắc ấy là điều kiện biên giói

Điều kiện biên giới là các quan hệ

giữa các thành phần tiếp tuyến và

thành phần pháp tuyến của trường,

trong hai miền tại biên giới (hình 1-8)

Giả sử có hai miền tiếp giáp nhau,

miền một có //j, /ị, £ị miền hai có /J2ì

y<h &> Giả sử tại biên giới có tồn tại

mật độ điện tích mặt ơ và mật độ

đường dòng điện j

j =n x ( H n - H 2t )(1-53)

n là vectơ pháp tuyến tại biên

Điều kiện biên giối cho ở bảng 1-1

1.7 ĐIỀU KIỆN BIÊN GIỚI GIỮA HAI MÔI TRƯỜNG

BẢNG 1-1 ĐIỂU KIỆN BIÊN GIỚI Hai môi trường bất kỳ

Khi lập mô hình, cần xác định biên giới của toàn miền Các điều kiện trên biên giới của miền giải bài toán được gọi là điều kiện bà.

Có ba kiểu điều kiện bò như sau :

1.8 ĐIỂU KIỆN BỜ

1.8.1 Điểu kiện Dirichlet

Biết giá trị hàm ẹ, A, B, E tại biên giới, ở xa vô cực tất cả các đại lượng

1.8.2 Điểu kiện Neumann

Biết giá trị đạo hàm của các đại

lượng trên biên giới

Ví du : aA(s) + p — — - = f 4( s)

ôn

1.8.4 Điểu kiện chưa xác định

Biết đại lượng hằng sô" trên biên song giá trị chưa biết :

A(s) = hằng số

Để xác định đúng điều kiện bờ, đòi hỏi phải có kinh nghiệm và nắm vững lý thuyết và các hiện tượng điện từ

1.9 THIẾT LẬP MÔ HỈNH - PHÂN LOẠI Mố HỈNH

Để giải hệ phương trình Maxwell, ta phải chọn và xây dựng mô hình phù hợp VỚI hiện tượng điện từ v à công cụ giải Mô hình thường là một phương

23

trình, viết cho một ấn sô" An sô" trong mô hình có thể là một đại lượng trực tiếp

của trưòng như B hoặc E hoặc là một đại lượng trung gian, là thê cp, A Mô

hình được xây dựng xuất phát từ hệ phương trình Maxwell cho đổi tượng nghiên cứu cụ thể, vì thế nó mô tả đầy đủ hiện tượng điện từ trong thiết bị, thuận lợi cho việc giải và sử dụng Sau khi giải mô hình, tìm được ân sô" cua mô hình, từ đó dựa vào hệ phương trình Maxwell, tính được tất cả các đại lượng

của trường và các đại lượng dẫn xuất như : từ thông ộ, điện thông (f>0, sức điện động cảm ứng e, lực F và mômen điện từ M, công suất và năng lượng điện từ,

các tổn hao công suất trong thiết bị, và các thông sô" điện cảm L, hỗ cám M

trong các sơ đồ mạch thay thê" các thiết bị điện

1.9.1 Thiết lập mô hình

Để thiết lập mô hình nghiên cứu, cần thiết phải có đầy đủ các thông tin sau:

- Các đặc tính không gian và thời gian của nguồn Nguồn tập trung hay phân bô" trong không gian theo một quy luật nào đó Nguồn không đôi hay biến thiên theo thời gian theo một quy luật nào đó

- Đặc tính vật lý và hình học của các miền con và toàn miền của không gian nghiên cứu Môi trường nghiên cứu là cách điện, dẫh điện, sắt từ hay không khí , các thông sô"của môi trường là tuyến tính hay phi tuyến

- Phân tích các hiện tượng điện từ để biết trong thiết bị tồn tại các trường

gì, quy luật phân bô" không gian và thời gian của các trường Chú ý tính đôì xứng hình học, đôi xứng và phản đô"i xứng vật lý, điều kiện biên giới và điều kiện bờ

- Trên cơ sở các thông tin ơ trên dựa vào mục đích nghiên cứu, cần xác định đại lượng vật lý gì, để quyết định lựa chọn mô hình và an sô" của mô hình

Đế giảm bớt độ phức tạp của mô hình, chỉ nên xét các hiện tượng chủ yêu,

bỏ qua các hiện tượng thứ yếu, xét tính đôi xứng, thu gọn miền giải bằng cách tạo các biên giới gần đúng làm cho mô hình đơn giản hơn

1.9.2 Phân loại mô hình

Vối mục đích hệ thông hóa kiến thức và thuận lợi cho người nghiên cứu, khi lựa chọn mô hình, trước hết ta đưa ra mô hình tổng quát, sau đó phân loại cho các mô hình cụ thê

Mô hình tổng quát thường sử dụng là :

- mô hình viết cho B hoặc H :

- mô hình viết cho E hoặc J :

- mô hình viết cho (p A

Khi xét đên sự biên thiên của trường, người ta phân ra mô hình tĩnh và mô hình động

Mô hình tĩnh dược sử dụng để nghiên cứu hiện tượng điện từ trong các thiết

bị diện, ơ đó trường và nguồn không biến thiên theo thòi gian

Mô hình tinh gồm :

- mô hình điện trường tĩnh;

- mô hình trường dòng điện không đổi;

- mô hình từ tĩnh

Mô hình động nghiên cứu' hiện tượng điện từ trong các thiết bị điện, ở dó trường và nguồn biến thiên theo thòi gian

Đây là trường hợp thường gặp trong kỹ thuật điện, khi nghiên cứu các thiết

bị có kích từ biến thiên, kích từ không đổi và chuyển động, kích từ biên đổi và chuyên động

Mô hình động thường gặp trong kỹ thuật điện :

Trong trường hợp tổng quát, mật độ dòng điện J (1-40) gồm hai phần : mật độ dòng điện dân do cảm ứng ỵE và mật độ dòng điện ngoài J ng do

nguồn ngoài

Hai phương trình đầu tiên của hệ phương trình Maxwell

25

sau đó thay thế V X E ỏ phương trình (1-56) vào, ta sẽ có mô hình viết cho H

Giải mô hình (1-58) ta sẽ có H , từ đó dựa vào hệ phương trình Maxwell sẽ

tính được các đại lượng khác của trường

Loại ẩn số H bằng cách áp dụng toán tửrot cả hai vế phương trình (1-56)

sau đó thay thế V x i/ bằng phương trình (1-55) vào, ta sẽ có mô hình viêt

Giải mô hình (1-62) này, ta sè có E , từ đó dựa vào hệ phương trình

Maxwell sẽ tính được các đại lượng khác của trường

1.12 MÔ HÌNH TRƯỜNG Đ!ỆN TỪ TổNG QUÁT VIẾT CHO ĐIỆN THẾ VÔ

Giải mô hình ta có điện thế vô hưống (p và từ thế vectơ A , từ đó theo (1-63)

và (1-67) sẽ tính được các đại lượng của trường

Trong hệ tọa độ vuông góc th ế vectơ A có ba thành phần

Vì thế tại mỗi điểm trong không gian phải tính toán đồng thời bôn đại lượng :

Ax , A y , A z , <pt do đó khối lượng và thời gian tính toán rất lốn, đòi hỏi phải có

công cụ tính rất mạnh

Mặt khác khi xét đến các hiện tượng như : hiệu ứng bể mặt, hằng sô" từ thẩm // thay đổi rất lớn khi thép bão hòa, các phương trình trở thành phi tuyến, vấn đề ổn định cần được nghiên cứu

Để giải quyết những khó khăn trên, cần sử dụng kỹ thuật tính hiện đại, đồng thời sử dụng các giả thiết gần đúng để mô hình tính toán được đơn giản hơn

Dưới đây sẽ đưa ra sự lựa chọn các mô hình (1-58), (1-62), (1-68), (1-69) vào các bài toán cụ thể trong kỷ thuật điện

1.13 MÔ HÌNH ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH TRONG ĐIỆN MÕI

Mô hình này nghiên cứu các hiện tượng tình điện trong các thiết bị Điện trường tĩnh do các điện tích phân bô" gây ra có trị sô" không đổi theo thòi gian

Mô hình này được sử dụng khi nghiên cứu độ bển cách điện, độ bền điện mồi của sứ cách điện, các khí cụ điện, các tụ điện, dồng thời đế tính điện dung của các phần tử, giữa các phần tử VỚ I nhau và đôi với đất

Đây là phương trình Poisson

Trong miền không có mật độ điện tích, p = 0.

Đây là phương trình Laplace

Trong hệ tọa độ vuông góc

õ2 (ơ d2ọ

ồx cy

-.2

ơ ẹ õz2

Trong hệ tọa độ cầu

d(p 06

I d2<p r~sin20

1.13.3 Điểu kiện biên giới (bảng 1-1)

E\t ~ 7?2t

Đ Vn- D 2n = ơ

1.13.4 Điều kiện bờ

Điều kiện D irichlet:

- Trên mặt đẳng thế (p bằng hằng sô" đã biết

- ỏ xa vô cực (hoặc coi là vô cực) Ọ)w = 0.

- Trên mặt phản đốì xứng vật lý (p - 0.

Điều kiện Neumann :

- Trên măt đối xứng — = 0

õn

- Trong trường hơp tổng quát — = K

ồn

K là đại lượng đã biết.

1.13.5 Các đại lượng dẫn xuâ't

Lực điện tác dụng lên điện tích q

Thiết lập mô hình, miền giải và điều kiện bờ.

Chọn mô hình cho điện thế (p

ơ xa vô cực được gần đúng tại một khoảng cách hữu hạn (hình 1-1 1)

Hình 1 - 1 1 vẽ miền giải bài toán và đã ghi rõ các điều kiện bò

1.14 MÒ HỈNH TRƯỜNG DÒNG ĐIỆN KHÔNG Đ ổl TRONG VẬT DAN

Mô hình này thường được sử dụng để nghiên cứu sự phân bô' dòng điện trong các vật dẫn, trong các bình điện phân, trong các thiết bị bảo vệ catôt nhúng chìm, được đặt dưới điện áp một chiều không đổi

Ta có thê lập mô hình cho điện thế vô hướng <p hoặc cho điện thế vectơ T

Sử dụng mô hình (1-69) cho điện thế (p, vì rằng trường không biến thiên

theo thời gian - — = 0 , mô hình (1-69) trỏ thành :

õt

Giải mô hình (1-95) sẽ được cp, từ đó tính Ẻ theo (1-94) và J theo (1-93)

Vì rằng d i v J = 0 cho phép ta định nghĩa điện thế vectơ T như sau :

Thường biết điện áp giữa hai cực, nghĩa là điện thê ẹ ở một cực được chọn

một giá trị thuận lợi cho tính toán

33

Nếu biết mật độ dòng điện tại mỗi cực ta có điều kiện :

Thành lập mô hình và điều kiện bò để nghiên cứu sự phân bô" điện thê và dòng điện trong vật dẫn

Tại B

dcp dx ô(p ồx

x=a Ịy|<d

Trong miền không có mật độ dòng điện ngoài J ng = 0 biểu thức (1-102)

35

Đây là phương trình Laplace Giải mô hình (1-107) sẽ có từ đó tính được

Điều kiện bò thường dựa vào các mặt đã biết giá trị (P m , và các mặt đôi xứng

và phản đối xứng

Điều kiện biên giới giữa các môi trường (xem bảng 1-1)

Điều kiện bờ thường xác định như sau :

sử dụng mô hình (1-68) cho từ thế vectơ A vì rằng trường không biến thiên cA

ô 2A., õ 2A., .,

V r + = - ư *

Phương trình (1-119) được sử dụng khi nghiên cứu từ trường trong khe hở

và trong lõi thép của máy diện quay với giả thiết bỏ qua ảnh hưởng phần đầu nõì

Chú ý rằng tại miền không có mật độ dỏng diện J ng , mô hình (1-113) trở

thành :

Có thể sử dụng từ thế vectơ A cho miền không có mật độ dòng điện, vì thê khi bài toán có nhiều miền, ta dùng từ thế vectơ A để mô hình cho bài toán.Điều kiện biên giới xem mục 1.7 bảng 1-1

37

Điều kiện bò thường như sau :

Mô hình này thường sử dụng đề nghiên cứu trường và

vật dẫn đặt trong từ trường biến thiên

dòng diện xoáy' trong

Sử dụng mô hình (1-58) viết cho H , vì rằng không có J ng , phương trình

(1-127)

1.16.3 Mô hình từ động viết cho từ thế vectơ A

Mô hình này được sử dụng tính trường và dòng điện xcáy trong môi trường dẫn do dòng điện kích từ biến thiên gây ra

Khi vật dẫn đủ dài, vectơ J thẳng góc với mặt phẳng chứa các thành

phần của trường, Vectơ A và J n chỉ có một thành phần theo trục Zy ta có mô hình