Dựng đờng tròn M tiếp xúc với AB.. Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đờng tròn M.. c Tìm vị trí của điểm M sao cho AC.. Trờn tia đối của tia AB lấy điểm M và qua M kẻ cỏc tiếp tuy
Trang 1ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LỚP 9 - LẦN 1
MễN: TOÁN
(Thời gian làm bài: 150 phỳt) Ngày kiểm tra: 25/11/2015
Cõu 1 (4 điểm) Cho biểu thức:
( )(1 ) ( )( 1) ( 1 1)( )
P
a, Pỳt gọn biểu thức P
b, Tỡm cỏc giỏ trị nguyờn của x; y thoả món P = 2
Cõu 2 (4 điểm) Giải cỏc phương trỡnh sau:
a
Cõu 3 (2 điểm) Cho a; b; c; d là cỏc số nguyờn thoả món a5 + b5 = 4(c5 + d5) Chứng minh rằng a + b + c + d chia hết cho 5
Cõu 4 (2 điểm) Cho x= 2 3 2 2 3 11 − ( 3 )
− + Tớnh giỏ trị của biểu thức:
( ) 2015 2014
2
A
=
+
Cõu 5 (4,5 điểm):
Cho điểm M nằm trên đờng tròn (O), đờng kính AB Dựng đờng tròn (M) tiếp xúc với AB Qua A và B, kẻ các tiếp tuyến AC; BD tới đờng tròn (M)
a) Chứng minh ba điểm C; M; D thẳng hàng
b) Chứng minh AC + BD không đổi
c) Tìm vị trí của điểm M sao cho AC BD lớn nhất
Câu 6 (1,5 điểm): Cho tam giác nhọn ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
3 3
3 sinA sinB sinC
Cõu 7 (2 điểm) Cho a; b; c là cỏc số thực thoả món 0 < a; b; c < 1 và ab + ac + bc =1
Chứng minh rằng: 2( ) 2( ) 2( )
3 2
(Hết)
Chỳ ý: Thớ sinh khụng được sử dụng mỏy tớnh cầm tay.
Trang 2ĐÁP ÁN
Câu 1 (4 điểm) Cho biểu thức:
a, ĐKXĐ: x≥ 0;y≥ 0;y≠ 1; x+ y ≠ 0
P
x x x y y y xy x y
=
=
=
=
=
b, P = 2 ⇔ x + xy − y = 2 với x≥ 0;y≥ 0;y≠ 1; x+ y ≠ 0 ⇔ x(1 + y) (− y + 1) = ⇔ 1 ( x − 1 1)( + y) = 1
Ta cã: 1 + y ≥ 1 ⇒ x− ≤1 1 ⇔ ≤ ≤ 0 x 4 ⇒ x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vµo P ta cã c¸c cÆp gi¸ trÞ (4; 0) vµ (2 ; 2) tho¶ m·n
Câu 2 a, ĐKXĐ: 1; 2
3
x≠ x≠
6
a
Đặt y = 3x 2
x
+ Ta có phương trình: 2 13 6
y + y =
Giải phương trình trên ta được: y = 1; y = 5,5
Với y = 1 ta có pt 3x 2
x
+ =1 vô nghiệm
Với y = 5,5 ta có pt 3x 2
x
+ =5,5 có nghiệm 1; 4
x= x= .
So sánh với ĐKXĐ ta có pt có hai nghiệm: 1; 4
x= x=
Trang 3b, ĐKXĐ: 1
2
x≥
Biến đổi phương trình về dạng ( 2x+ − 1 x)( 2x− − = 1 1) 0
Từ đó suy ra nghiệm x = 1
Câu 3:
a5 + b5 = 4(c5 + d5) ⇒ a5 + b5 +c5 + d5 = 5(c5 + d5) ⇒a5 + b5 +c5 + d5 M5
Ta chứng minh a5 – a M5 với mọi số nguyên a
Chứng minh tương tự ta có: b5 – b M5; c5 – c M5; d5 – d M5 với mọi số nguyên b; c; d
Do đó: (a5 – a) + ( b5 – b) + (c5 – c) + (d5 – d) M5
(a5 + b5 +c5 + d5) – (a + b + c + d) M5
Mà a5 + b5 +c5 + d5 M5 nên a + b + c + d M5
Câu 4: Rút gọn được x = 3 1
2
−
Do đó x là nghiệm của phương trình: 2x2 + 2x – 1 = 0
2
A
Thay x = 3 1
2
− ta được A = 3 - 3
Câu 7:
Đặt vế trái của BĐT cần c/m là A
Từ GT ta c/m được a + b + c ≥ 3
Vì 0 < a, b, c < 1 nên áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có:
2
2
2
1
1
1
b
c
a
−
−
−
Cộng vế với vế suy ra:
A + a + b +c ≥2(a + b + c) – 2(ab + bc + ca)
A ≥a + b + c – 2
A ≥ 3-2
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1
3
Trang 4PHềNG GD&ĐT THỌ XUÂN
TRƯỜNG THCS Lấ THÁNH TễNG
ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MễN TOÁN – LẦN 5 Năm học: 2015 – 2016 Ngày kiểm tra: 30/01/2016
−
−
−
− +
+
−
2 3
1 : 1 3
1 1
3
1 1
9
8
3
x x
x x x
x
x x x
x x
x x
a, Rút gọn M
b, Tìm x để M =
2 3
Bài 2 (4 điểm): Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh sau:
2 ,
b
x y xy xy x y
− + =
Bài 3 (4 điểm)
a, Tỡm x, y nguyờn thoả món: 3x2 – 2y2 – 5xy + x = 2y + 7
b, Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là cỏc số nguyờn khỏc nhau thoả món tổng của 11 phần tử bất kỡ luụn lớn hơn tổng của 10 phần tử cũn lại Biết rằng số 101 và
102 nằm trong tập hợp A Tỡm tất cả cỏc phần tử của tập hợp A
Bài 4 ( 6 điểm) Cho hai đường trũn (O1), (O2) cắt nhau tại hai điểm A, B Trờn tia đối
của tia AB lấy điểm M và qua M kẻ cỏc tiếp tuyến MD, MC với đường trũn (O2) (D,
C là tiếp điểm, D nằm trong đường trũn(O1)) Đường thẳng CA cắt đường trũn (O1) tại
điểm thứ hai là P; đường thẳng AD cắt đường trũn (O1) tại điểm thứ hai là Q; tiếp
tuyến của đường trũn (O2) tại A cắt đường trũn (O1) tại điểm thứ hai là K; giao điểm
của cỏc đường thẳng CD, BP là E; giao điểm của cỏc đường thẳng BK, AD là F.
1 Chứng minh bốn điểm B, D, E, F cựng nằm trờn một đường trũn.
2 Chứng minh BC CP CA
3 Chứng minh rằng đường thẳng CD đi qua trung điểm đoạn thẳng PQ.
Bài 5 ( 2 điểm)
2 3
A
Hết (Chỳ ý: Thớ sinh khụng được sử dụng máy tớnh CASIO)