pt,bpt chua can thuc(thuy moi)-thuybg

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN: Để giải pt chứa ẩn dưới dấu căn dạng cơ bản trước tiên ta nâng luỹ thừa làm mất căn đưa về pt giải được thì Xong.. PP giải Pt chứa ẩn dưới dấu c

Trang 1

Chuyên đề: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BPT CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN:

KHÁI QUÁT

A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN:

Để giải pt chứa ẩn dưới dấu căn dạng cơ bản trước tiên ta nâng luỹ thừa làm mất căn đưa về pt giải

được thì Xong.

Nhưng ta thường gặpcác pt chứa ẩn dưới dấu căn không là dạng cơ bản thì sau nâng luỹ thừa sẽ được pt

không giải được thông thường.

Khi đó ta có thể sử dụng các phương pháp và kỹ thuật khác để đưa chúng về dạng cơ bản.

I PP giải PT chứa ẩn dưới dấu căn dạng cơ bản:

II.PP giải PT chứa ẩn dưới dấu căn dạng khác :

1.Phương pháp biến đổi tương đương:

Các kỹ thuật: ( 3 kỹ thuật)

- Nâng lũy thừa:

- Khai căn

- Phân tích thành tích:

2) Phương pháp đặt ẩn phụ: rất đa dạng, cần nhận dạng tốt trước khi đặt

Kỹ thuật: - Đặt ẩn phụ hoàn toàn

- Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

2.1) Đặt ẩn phụ hoàn toàn:

Dạng 1: Phương trình chứa một biểu thức căn: Đặt 1 ẩn đưa về pt bậc2, 3 hoặc bậc cao.

Dạng 2: Phương trình chứa tổng, tích hai căn thức

Dạng 3: Đẳng cấp bậc hai, bậc 3, bậc n của hai biểu thức chứa căn: Đặt ẩn phụ đưa về pt bậc 2, 3,

bậc n

Dạng 4: Đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Dạng 5: Đặt ẩn phụ đưa về hệ tạm đối xứng loại 2, hoặc gần đối xứng loại 2

Dạng 6: Đặt ẩn phụ đưa về pt lượng giác

Dạng 7 Đặt 3 ẩn phụ

2.2) Đặt ẩn phụ không hoàn toàn:

3) Phương pháp nhân chia biểu thức liên hợp:

4) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Dạng 1 Tìm nghiệm duy nhất của phương trình

Dạng 2 Giải phương trình phức tạp:

5) Phương pháp đánh giá( sử dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số):

* Kỹ thuật: - Sử dụng bất đẳng thức

- Khảo sát sự biến thiên hàm số để khảo sát miền giá trị( dùng đạo hàm)

6) Phương pháp hình học:

III PP giải Pt chứa ẩn dưới dấu căn có tham số:

Dạng 1 Dựa vào tương giao đồ thị, miền giá trị của hàm số:

- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai:

Dạng 2 Sử dụng điều kiện cần và đủ:

Dạng 3.Phương pháp hình học

NỘI DUNG CỤ THỂ:

A PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN:

* PP: Nâng luỹ thừa để khử căn bậc hai vế đưa về pt giải được đơn giản

Trang 2

Chú ý: Điều kiện để nâng lũy thừa bậc chẵn hai vế được phương trình tương đương là: hai vế không âm.

Cần phân biệt giữa điều kiện xác định và điều kiện biến đổi tương đương

Nếu điều kiện phức tạp thì có thể tách riêng

PP này chỉ thực hiện khi: Phương trình sau khi nâng luỹ thừa là pt giải được đơn giản

xx

−

≥

0)2811(

2

4

2 xx

4xx

II.PP giải BPT chứa ẩn dưới dấu căn dạng khác :

Để giải BPT chứa ẩn dưới dấu căn không phải dạng cơ bản ta phải biến đổi chúng về dạng cơ bản bằng các pp sau: (3 phương pháp)

Dạng 2. f x + g x = h x + k x ( ) ( ) ( ) ( )

+ Có thể bình phương trực tiếp nếu f x( )+g x( ) =h x( ) ( )+k x hoặc f x g x( ) ( ) =h x k x( ) ( )

+ Nếu có : f x( ) ( )+h x =g x( ) ( )+k x hoặc f x h x( ) ( ) =k x g x thì ta biến đổi phương trình về ( ) ( ).dạng : f x( ) − h x( ) = k x( ) − g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả ( )

Ví dụ 1: Giải phương trình sau : x+ 3 + 3x+1 = 2 x + 2 x+ 2

Trang 3

x x

x

x x

Trang 4

Trang 5

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x-1 x+ 2−3x+1=0(khối D – 2006)

Ví dụ 6: Giải bất phương trình: x + 1- x2−4x 1 3 x+ =

Hd: Chia hai vế cho x và đặt t= x+ 1x

Dạng 2: A[α2f(x) + β2g(x)] + 2Aα β f (x).g(x) + C.(α f (x)+ β g(x)) + D = 0

Đặt t = α f (x)+ β g(x) ≥0, đưa về phương trình bậc hai ẩn t

Chú ý: khi [α2f(x) + β2g(x)] = e thì phương trình có dạng

Trang 6

Ví dụ 2: Giải phương trình: 3x-2 + x-1 = 4 x-9 + 2 3x -5x+ 2 (khối B -2006 dự bị 1)2

Hd: Đặt t= 3x− +2 x− ≥1 0 ĐS: x = 2 .

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3 2 + x -6 2 -x + 4 4 -x =10 -3x (khối B -2011)2

Đặt t= x+ −2 2 2− ≥x 0ĐS: x = 6

5

Dạng 3: đẳng cấp bậc hai, bậc 3, bậc n: Đặt ẩn phụ đưa về pt bậc 2, 3, bậc n.

*Dạng đơn giản: a.f(x) + bg(x) + c f (x).g(x) = 0

Xét g(x) =0 phương trình tương tương f(x) = 0

Xét g(x) ≠0 chia hai vế phương trình cho g(x), đặt t = f (x)

g(x) ≥0 đưa về bậc hai ẩn t

* Đẳng cấp bậc n của x và y: a x1 n a x y a xy2 n 1− n 1 n 1− a yn n 0

−

A(x,y) = a x1 n+a x y a xy2 n 1− + + n 1− n 1− +a yn n(trong đó x và y là biểu thức chứa căn)

Phương pháp giải: chia hai vế của pt cho yn, đặt t = x

(Nếu phương trình đẳng cấp có thể đặt hai ẩn u, v đưa về hệ)

Ví dụ 1 Giải phương trình : 2 x + 2 = 5 x +1( 2 ) 3 ( pt đẳng cấp của x 1+ và x2− +x 1) Giải: Biến đổi pt trở thành: 2 x( 2− + +x 1) 2(x+1) = 5 (x+1)(x2− +x 1)

Trang 7

Đặt

2

11

Ta viết lại phương trình: ( 2 ) ( ) 2

2 x −4x− +5 3 x+4 =5 (x −4x−5)(x+4) Đến đây bài toán được giải

+ Phương trình dạng: A(mf (x) ;ng(x) ) = 0, thỏa mãn f (x)α + βg(x) c= đặt

m n

0;1; 2; 1;0;3 1;2;10 1

=+

9vu

3vu3 3

Ví dụ 3.Giải phương trình: 2 33 x− +2 3 6 5− x− =8 0.(khối A -2009)

Trang 8

+ Dạng tổng quát cụ thể hơn:

Hệ đối xứng loại 2 nếu thỏa mãn: d = ac + α và e = bc+β.

Chú ý: Khi bài toán đã cho thì điều kiện sẽ thỏa mãn 2 dạng trên Do vậy ta cũng không phải kiểm tra điều kiện đó.

+

=+

53

2

y x x

x y y

=> 3(y2 – x2) + ( y – x) = x – y

* Với y = x =>y = x =

3

5,(

2 , 1

135

−

=+

2323

23232

2

y x x

x y y

Giải pt vô nghiệm

x

x t

t

4008

2 2

=> (t2 – x2) – (t – x) = 4008(x – t)

<=> (t – x)[ t + x – 1 + 4008] = 0

<=> t = x hoặc t = - x – 4007

* Với t = x ta có: x2 – 4009x = 0 <=> x = 0 và x = 4009 Ta có x = 0 không thỏa mãn

* Với t = - x – 4007=> x2 – x = 4008(- x- 4007) <=> x2 +4007x – 4007.4008 = 0 => PT vô nghiệm

KL: PT đã cho có nghiệm duy nhất x = 4009.

Trang 9

Ví dụ 4 ( Toán học và Tuổi trẻ Tháng 6 năm 2001) Giải PT:

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 36x+ =1 2x

2

Xét : x ≤1, đặt x=cos ,t t∈[ ]0;π Khi đó ta được 5 7

Trang 10



+ = ⇔

2

11

1

x x

x

++

Khi đó pttt:2sin cos 2t t+cos 2t− = ⇔1 0 sin 1 sint( − t−2sin2t) =0

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 1

+

=++

−++

=++

)uw)(

wv)(

vu(3)wvu()wvu

(

8wvu

2wvu

3 3 3 3

3 3 3

wv

vu

Đs: x=-1, 0, 1,9

Ví dụ 2 Giải phương trình33x+ +1 35− +x 3 2x− −9 34x− =3 0

Đặt u = 33x+1,v= 35−x, w= 23 x−9Đs: -3, 4, 8

5

Dạng đơn giản: af(x) + bg(x) f (x) + h(x) = 0

đặt t = f (x) là 1 biểu thức chứa căn đưa pt về dạng bậc2, bậc cao ẩn t còn x là tham số hoặc đưa về hệ

2 ẩn x và t Giải phương trình, hệ phương trình tìm t theo x đưa về dạng đơn giản hơn

Dạng phức tạp hơn là trong pt chứa ẩn là g(x) và nf(x)

Trang 11

5tx2 2

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau được: (t + x)( x – t + 1) = 0

t

xt

−

=+

1x5x

x5x

Ví dụ 3 Giải phương trình: 2x-1 x+ 2−3x+1=0(khối D – 2006)

=+

1x21x

2

11x2 2

x2x

Trang 12

x-x0 pt về dạng tích (x-x0) A(x) = 0(1) Bằng cách biến đổi

+ f (x) - a=

2

0(x x )h(x)

(x x )h(x)[f (x)] f (x) g(x) g(x)

Trang 13

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng

(x−2) ( )A x =0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :

4) 3x2− + =x 3 3x+1+ 5x+4 nhẩm được hai nghiệm x = 0, x = 1

Khi đó ghép:ax b+ − 3x+1;cx d+ − 5x+4 và thay x = 0, x = 1 vào pt:

4) Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: (trình bày chuyên đề riêng- các trường hợp vẽ

hình minh họa)

Các kết quả quan trọng:

4.1) Phương trình: f(x) = k thỏa mãn f(x) đơn điệu trên D nếu phương trình có nghiệm x0 trên D thì x0 là nghiệm duy nhất

4.2) Phương trình f(x) = g(x) thảo mãn, f(x) và g(x) đơn điệu trên D và không cùng chiều biến

thiên, nếu x0 là nghiệm của phương trình thì đó là nghiệm duy nhất

4.3) f(u(x)) = f(v(x))(1), f(u) và f(v) xác định trên D và f(t) đơn điệu trên D khi đó:

Trang 14

Hd: Đặt f(x) = x−1 + 2 x+4 + x−9 + 4 x+1,xét trên [

2

9, +∞)

Ví dụ 2 Giải phương trình

3 x+1 + 3 2x+2 + 3 2x+3 = 0 (1) (CĐ GTVT 2003)

Hd: Đặt VT(1) = f(x) Có f ’(x) ≥ 0 ∀x ⇒ nếu (1) có nghiệm thì có nghiệm duy nhất

Nhận thấy f(– 1) = 0 ⇒ x = – 1 là nghiệm duy nhất

Dạng 2 Giải phương trình phức tạp: biến đổi về đơn giản f(u) = f(v) (áp dụng 3.3)

Ví dụ 1 Giải phương trình: 4x3+ − + x (x 1) 2x 1 0 + =

3(2x) 2x 2x 1 2x 1

Cộng vế với vế ta được: 8x3−60x2+152x-128=y3+ + ⇔y 2 (2x-5)3+(2x-5)=y3+y

Xét f(t) = t3 + t, đồng biến trên R, Phương trình trở thành: f(2x-5) = f(y) ⇔2x-5=y⇒2x-5= x-23

- Khảo sát sự biến thiên hàm số ( dùng đạo hàm)

5.1) Kỹ thuật đánh giá sử dụng bất đẳng thức:

+ Đưa về tổng các bình phương: [f(x)]2 + [g(x)]2 + [h(x)]2 = 0

+ Dùng bất đẳng thức đánh giá: theo trên (1), (2)

5.2) Kỹ thuật đánh giá sử dụng khảo sát sự biến thiên hàm số

+ Dùng đạo hàm: pt f(x) = g(x) khảo sát tìm tập giá trị và đánh giá theo (1), (2)

Ví dụ 1 Giải pt: 4 x +12 + x-1 = 4 x 5 x-1 + 9 - 5 x2 ( )

Hd: Phương trình tương đương ( ) (2 )2

5 x-1 - 2 x + 9 - 5 x - 2 + x-1 = 0

Trang 15

5 x-1 - 2 x = 0

9 - 5 x - 2 = 0 x = 1x-1 = 0

x+1≥ , dấu bằng khi và chỉ khi x = 0 Ta có vt 2 vt 2

III PP giải pt chứa ẩn dưới dấu căn có tham số:

Dạng 1.Phương pháp sử dụng tương giao đồ thị, miền giá trị của hàm số:

điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào ∆

+ Biến đổi phương trình, về đúng dạng f(x) = g(m) xét trên D

( hoặc đặt ẩn phụ t = u(x), tìm điều kiện ẩn t D'∈ , biến đổi pt về dạng f(t) = g(m) xét trên miền D’)

+ Phát biểu điều kiện tương đương bài toán

+ lập bảng biến thiên hoặc vẽ đồ thị cho f(x) hoặc f(t) (dùng đạo hàm) và dựa vào bảng bt hoặc đồ thị đó kết luận theo các kết quả trên

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Trang 16

2 1

-Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực Û 2- 1£ m £ 1.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:

−

≤+ Dùng PP hàm số ĐS: m

23

có 2 nghiệm phân biệt

Dạng 2 Phương pháp sử dụng điều kiện cần và đủ:

PP: Điều kiện cần: Giả sử phương trình có nghiệm x0, khi đó chỉ ra A(x0) cũng là nghiệm, để pt có nghiệm duy nhất thì x0 = A(x0), suy ra x0, thay vào pt tìm được m

Điều kiện đủ: Từ giá trị m tìm được thử lại và kết luận.

Chú ý: nếu pt f(x) = 0 thỏa mãn: f(x) = f(ax+b), để pt có nghiệm duy nhất thì x0 = ax0 + b

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:

3 4

Trang 17

Ví dụ 2 Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: x+ 2 x m− = ,

Hd: nếu xo là nghiệm thì 2 – xo cũng là nghiệm Đs: m = 2

Ví dụ 3 Tìm m để pt sau có nghiệm duy nhất: 4x+41 x− + x+ 1 x m− =

Hd: nếu xo là nghiệm thì 1 – xo cũng là nghiệm

Dạng 3 PP hình học

Trang 18

3 ;2) 2; 3) 0,

9

8;4) 1;5)

1 2

(3x 1) x+ + + =x 2 3x +3x 2+ (*)9) 16 8 2x− 2 =9x2+8x 32− (*)10) 10x2+3x 6 2(3x 1) 2x− = + 2−1(*)

3 2 x 6 2 x 4 4 x+ − − + − = −10 3x(B2011)

Đs: 1) x = 4, x = 5; 2) x = 1; 3) x = 1, x =1 (8 13)2

9 + ; 4) x = 4

Hd: 5) 4x+ = 5 2x2 − 6x− 1

Cách 1: Đặt 4x+ = −5 2t 3

Trang 19

Cách 2: Ptbđ ⇔ 4x+ −5 2x2+6x+ = ⇔1 0 ( ) ( )2 ( )

4x+ −5 2x−1 +2 4x+ +5 2x− =1 0 ⇔ ( 4x+ +5 2x−1)( 4x+ −5 2x+ =3) 0

Cơ sở lí thuyết: 4x+ = 5 2x2 − 6x− 1 ⇔α(4x+ −5) 4x+ +5 2x2− +(6 4α)x− −1 5α =0 <1> ∆ = −8αx2+4α α(4 +6) x+20α2+4α+1

8) x 1 3 x x− = + − 29) x3 − 2x2 = x 1 − − x2 − − x 1

Trang 20

2; 3) -6, -1; 4) -2,

12

8) 4x 3+ + 2x 1 6x+ = + 8x2+10x 3 16+ −9) 3 x+ + 6 x− − (3 x)(6 x) 3+ − =

x − =1 x 1+9) 2x 15 32x+ = 2+32x 20−

Hd: 1) y = - x 5+ , 2) y = 2002x-2001 , 3) y = 32x 1− , 4)

22x 1− = − −(x 1) + ⇒x 2x 1− = − −(y 1) hoặc y = 2x 1− , 5) y – 2 = x 5+ , 6) y = 2 x− , 7) 3x+1= −(2x-3)2+ + ⇒ − + =x 4 2y 3 3x 1 8) y = x 1+ + ;

Trang 21

( Công thức (a+b+c)3 – (a3 + b3 + c3) = 3(a+b)(b+c)(c+a)

Bài 15 Giải phương trình(Đặt ẩn phụ không hoàn toàn)

10 ; 2) x = -3; 3) x=-1± 6; 4)

4x=

3; 5) x= 2 2± ; 6)x=1 16 6− 13,x=− ±1 2 137) x = 2, x=- 63

16)12) 4 x + 4 x+2 = 24 x+113) 4x 1− + 4x2− =1 1Gợi ý: 1) x = 3; 2) x = 1; 3) x = 1

Bài 19 Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Trang 22

II.PP giải BPT chứa ẩn dưới dấu căn dạng khác: ( Tương tự pt chứa ẩn dưới dấu căn)

- Khai căn

Dạng 1: Phương trình chứa một biểu thức căn: Đặt 1 ẩn đưa về pt bậc 2, 3 hoặc bậc cao.

bậc n

Dạng 2 Giải phương trình phức tạp f(u) = f(v):

Trang 23

CỤ THỂ

* pp giải: nâng luỹ thừa:

II.PP giải BPT chứa ẩn dưới dấu căn dạng khác: ( Tương tự pt chứa ẩn dưới dấu căn)

- Khai căn

Dạng 1: Phương trình chứa một biểu thức căn: Đặt 1 ẩn đưa về pt bậc 2, 3 hoặc bậc cao.

bậc n

Dạng 2 Giải phương trình phức tạp f(u) = f(v):

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	2,06 MB