Học tốt Toán 12 phần 1

Trong một số trờng hợp, với yêu cầu tìm tập giá trị của hàm số, ta có thể tiến hànhtheo các bớc sau: Tìm tập xác định của hàm số.; Đánh giá m y M≤ ≤ ; Kết luận.1.3 Tính đơn điệu của hàm

chơng I

ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

1 Kiến thức cần nhớ

1.1 Tập xác định

Khi hàm số đợc cho bởi biểu thức, tập xác định của hàm số là tập các giá trị của

đối số làm cho biểu thức của hàm số có nghĩa Tức là tập các giá trị của đối số saocho các phép toán có mặt trong biểu thức của hàm số đều thực hiện đợc

Ta đã đợc học phép cộng (+); phép trừ (-); phép nhân (x); phép chia (:); phép luỹthừa ( xn ); phép khai căn (n x); phép mũ (ax); phép lôgarit (loga x) Trong số đó thìphép chia (:), phép khai căn bậc chẵn (2k x) và phép lấy lôgarit của một số phải có

điều kiện mới thực hiện đợc Cụ thể: với biểu thức có dạng 1

Cho hàm số y = f(x) (nhìn chung là hàm số sơ cấp), nếu ta biết đợc trên tập xác

định của hàm số đó mà m y M≤ ≤ , trong đó m và M là hai số thực, thì ta nói hàm

số đã cho nhận giá trị trong đoạn [m; M] Lu ý rằng mọi hàm số sơ cấp liên tục đềutrên tập xác định

Chẳng hạn, hàm số y = cosx, luôn nhận giá trị trong đoạn [-1; 1]

Trong một số trờng hợp, với yêu cầu tìm tập giá trị của hàm số, ta có thể tiến hànhtheo các bớc sau: Tìm tập xác định của hàm số.; Đánh giá m y M≤ ≤ ; Kết luận.1.3 Tính đơn điệu của hàm số

Để xét tính đơn điệu của hàm số ta dựa vào định lí: Cho hàm số y = f(x) xác định

và có đạo hàm trên khoảng (a; b)

Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó.Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc khoảng (a; b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng

a) Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) điểm x0∈(a;b) và số ∆> 0

• Khoảng (x0−∆;x0+ ∆) đợc gọi là một ∆ - lân cận của điểmx0

• Ta nói hàm số đạt cực đại tại điểm x0, nếu ta có f(x) < f(x0) với mọi xthuộc một ∆ - lân cận nào đó (chứa trong khoảng ( b a; ) ) của điểm x0, x≠

0

x

• Điểm x0 đợc gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x), giá trị f(x0) đợc gọi

là giá trị cực đại của hàm số và kí hiệu bởi fCĐ = f(x0), còn điểm M(x0; f(

0

x )) thì gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

• Ta nói hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0, nếu ta có f(x) > f(x0) với mọi xthuộc một ∆ - lân cận nào đó (chứa trongkhoảng ( b a; ) ) của điểm x0, x≠

0

x

• Điểm x0 đợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x), giá trị f(x0) đợc gọi

là giá trị cực tiểu của hàm số và kí hiệu bởi fCT = f(x0), còn điểm M(x0;f(x0)) thì gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

• Các điểm cực đại và cực tiểu đợc gọi chung là điểm cực trị Giá trị của hàm

số tại điểm cực trị đợc gọi là cực trị của hàm số

ý nghĩa hình học của Định lý Fecma: Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cựctrị tại đó thì tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M (x0; f(x0)) song song với trục hoành c) Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lý: Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trong khoảng (a;b) đồngthời f ’(x0) = 0 với x0∈(a;b)

- Nếu f’(x) > 0 trên khoảng (x0-∆;x0) và f ’(x) < 0 trên khoảng (x0;x0+∆) thì

0

x là một điểm cực đại của hàm số f(x)

- Nếu f’(x) < 0 trên khoảng (x0-∆;x0) và f’(x) > 0 trên khoảng (x0;x0 + ∆) thì

0

x là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Nói tóm lại: Nếu khi x qua giá trị x0 mà đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là một điểmcực trị

Bảng biến thiên dới đây minh hoạ cho nội dung của định lí

x x0-∆ x0 x0+∆ x x0-∆ x0 x0+∆f’(x) + 0 - f’(x) - 0 +

CT

d) Qui tắc tìm các điểm cực trị của hàm số ( Quy tắc I).

- Tìm tập xác định và tính đạo hàm f’(x)

- Tìm các điểm tới hạn (là những điểm làm cho f’(x) = 0 hoặc không xác định)

- Xét dấu của đạo hàm

- Từ đó suy ra các điểm cực trị

e) Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D và A là một số thực cho trớc

- Nếu f(x) ≤ A với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = A thì A

đợc gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D

- Nếu f(x) ≥ A với mọi x thuộc D và tồn tại x0 thuộc D sao cho f(x0) = A thì A

đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập D

- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số dựa vào công cụ đạo hàm

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a; b] dựa vào công

cụ đạo hàm ta có thể tiến hành theo các bớc nh sau: Tìm tập xác định; Tìm các

điểm cực trị của hàm số; So sánh các giá trị cực trị của hàm số với giá trị củahàm số tại hai biên (giá trị của hàm số tại a và tại b)

1.5 Đờng tiệm cận của đồ thị hàm số

- Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M(x; y) thuộc đồ thị Ta nói (C) có nhánh vôcực nếu ít nhất một trong hai toạ độ x hoặc y của điểm M(x; y) dần tới ∞ Khi đó

ta cũng nói điểm M(x; y) dần tới vô cực

g x

= có tiệm cận đứng nếu nó không suy biến vàg(x) = 0 có nghiệm

- Cách tìm tiệm cận đứng của hàm phân thức hữu tỉ

Bước 1 : Kiểm tra hàm số khụng suy biến.(Tức là f(x) khụng chia hết cho g(x))

Bước 2 : Giải phơng trình g(x) = 0 (giả sử có nghiệm x = a)

Bước 3 : Kiểm tra x = a là nghiệm bội k của phơng trình g(x) = 0 và là nghiệm bội nhỏ hơn k của phơng trình f(x) = 0

Bước 4 : Kết luận

Đờng thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

f x y

- Hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

f x y

g x

= có tiệm cận ngang khi hàm số không suy biến vàbậc của g(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của f(x)

- Cách tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức hữu tỉ

Bước 1 : Kiểm tra hàm số khụng suy biến.(Tức là f(x) khụng chia hết cho g(x))

Bước 2 : Kiểm tra bậc của f(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g(x)

g x

= có tiệm cận xiên khi hàm số không suy biến vàbậc của f(x) bằng bậc của g(x) cộng thêm 1 ( hay bậc của f(x) lớn hơn bậc củag(x) một đơn vị)

- Cách tìm tiệm cận xiên

* Cách 1: Từ định nghĩa có

( )limlim ( )

x x

f x a

c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Khi đó, y’(x) = a.

Nếu a > 0 thì y’(x) = a > 0 với mọi giá trị của x, nên hàm số đã cho luôn đồngbiến

Nếu a < 0 thì y’(x) = a < 0 với mọi giá trị của x, nên hàm số đã cho luônnghịch biến

Bài 2 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 2x Do đó y’(x) > 0

⇔ x > 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+∞); nghịch biếntrên khoảng (−∞;0)

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 2x - 6 Do đó y’(x)

> 0 ⇔ x > 3 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞); nghịchbiến trên khoảng (−∞;3)

c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 2x - 4 Do đó y’(x)

> 0 ⇔ x > 2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (2;+∞); nghịchbiến trên khoảng (−∞; 2)

d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = - 2x - 4 Do đóy’(x) > 0 ⇔ x < - 2 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (−∞ −; 2);nghịch biến trên khoảng ( 2;− +∞)

e) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 2ax + b

Nếu a > 0 thì y’(x) > 0 ⇔ x >

2

b a

− Khi đó hàm số đã cho đồng biến trênkhoảng ( ; )

2

b a

− +∞ ; nghịch biến trên khoảng ( ; )

2

b a

−∞ − Nếu a < 0 thì y’(x) > 0 ⇔ x <

2

b a

− Khi đó hàm số đã cho đồng biến trênkhoảng ( ; )

2

b a

−∞ − ; nghịch biến trên khoảng ( ; )

2

b a

đã cho đồng biến trên các khoảng (0;+∞) và (−∞;0)

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3x2 - 12, khi đóy’(x) > 0 2

2

x x

đã cho đồng biến trên các khoảng (0;+∞) và (−∞;0)

d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3x2 - 6x, khi đóy’(x) > 0 2

0

x x

>



⇔  < Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2;+∞)

và (−∞;0); nghịch biến trên khoảng (0; 2)

e) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3x2 - 3, khi đóy’(x) > 0 1

1

x x

g) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3ax2 + 2bx + c Ta

≠ − Do đó hàm số

đã cho đồng biến trên các khoảng ( ; )

3

b a

−∞ − và ( ; )

3

b a

- Nếu a < 0 và ∆ =y' 0 thì y’(x) < 0 với mọi giá trị của x

3

b a

≠ − Do đó hàm số

đã cho nghịch biến trên các khoảng ( ; )

3

b a

−∞ − và ( ; )

3

b a

Bài 4 Xét chiều biến thiên của các hàm số sau

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 4x3, do đó y’(x) > 0

⇔ x > 0 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+∞); nghịch biếntrên khoảng (−∞;0)

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 4x3 – 12x2, khi đóy’(x) > 0 ⇔ x > 3 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (3;+∞) vànghịch biến trên khoảng (−∞;3).

c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 4x3 - 4 Do đó y’(x)

> 0 ⇔ x > 1 Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1;+∞); nghịchbiến trên khoảng (−∞;1)

d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 4x3 - 16x, khi đóy’(x) > 0 3

x x

≠ − Do

đó y’(x) > 0 ⇔ x > 0 và x 3

8

b a

≠ − Nếu a.b > 0 thì hàm số đã cho đồng biếntrên khoảng (0;+∞); nghịch biến trên các khoảng ( ; 3 )

8

b a

−∞ − và ( 3 ;0)

8

b a

− Cònkhi a.b < 0 thì hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0;+∞); đồng biến trêncác khoảng ( ; 3 )

8

b a

−∞ − và ( 3 ;0)

8

b a

- Nếu a < 0 và ∆ = 0 thì (4ax2 + 3bx + 2c) < 0 với mọi giá trị của x 3

8

b a

≠ − Do

đó y’(x) > 0 ⇔ x < 0 và x 3

8

b a

≠ − Nếu a.b > 0 thì hàm số đã cho nghịch biếntrên khoảng (0;+∞); đồng biến trên các khoảng ( ; 3 )

8

b a

−∞ − và ( 3 ;0)

8

b a

− Còn khia.b < 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (0;+∞); nghịch biến trên cáckhoảng ( ; 3 )

8

b a

−∞ − và ( 3 ;0)

8

b a

- Nếu a > 0 và ∆ >y' 0 thì y’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1 < x2.Nếu 0 < x1 < x2 khi đó y’(x) > 0 2

10

Nếu x1 < 0 < x2 hoặc x1 < x2 < 0 đợc xét tơng tự

- Nếu a < 0 và ∆ >y' 0 thì y’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt, giả sử là x1 < x2.Nếu 0 < x1 < x2 khi đó y’(x) < 0 2

10

mx n

+Hớng dẫn

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{-1} Mặt khác, y’(x) = 2 2

(x+1) > 0.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( 1;− +∞)và (−∞ −; 1)

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1} Mặt khác, y’(x) = 3 2

(x 1)

−

− < 0.Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (1;+∞)và (−∞;1)

- Nếu an - bm > 0 thì hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng ( n; )

mx n

+Hớng dẫn

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1} Mặt khác, y’(x) = 2 2 28

Do đó, hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (1;+∞)và (−∞;1)

c) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1} Mặt khác, y’(x) = 2 2 2 8

>



⇔  < − Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng (4;+∞)và (−∞ −; 2); đồng biếntrên khoảng ( 2; 4)−

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3 22 4 72

x x

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2;+∞)và (−∞; 2)

Bài 8 Tìm giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trên tập xác định củachúng

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3m + 6 Do đóy’(x) > 0 ⇔ m > -2

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định khi m > - 2

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = m2 + 5m + 4 Do

đó y’(x) > 0 1

4

m m

> −



⇔  < − Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định 1

4

m m

> −



⇔  < − c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 2mx - 2(m - 3) Do

đó không có giá trị nào của m để y’(x) > 0 với mọi giá trị của x

d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3x2 - 6mx - 12m

Do đó, y’(x) > 0 với mọi giá trị của x ⇔m2+6m< ⇔ − < <0 6 m 0

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định ⇔ − < < 6 m 0

e) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{-1} Mặt khác, y’(x) =

a) x3 - 2x2 +7x > 6 khi x > 1

b) x4 - 4x3 + 27 > 0 khi x > 3

đồng biến, suy ra khi x > 1 thì y(x) > y(1) ⇔x3 - 2x2 +7x > 6 khi x > 1.

b) Xét y = x4 - 4x3, thì hàm số xác định với mọi giá trị của x và y(3) = - 27 Mặtkhác y’(x) = 4x3 - 12x > 0 ⇔x > 3 Từ đó hàm số y(x) đồng biến khi x > 3, suy ray(x) > y(3) ⇔x4 - 4x3 > - 27 khi x > 3, hay x4 - 4x3 + 27 > 0 khi x > 3

c) Gọi t = sinx, thì − ≤ ≤1 t 1 với mọi giá trị của x Xét hàm số y = 1 3 2

x− x+ ≥ với mọi giá trị của x

d) Với y = 1 + x3 + x – cosx theo giả thiết hàm số xác định với các giá trị x > 0

và y (0) = 0 Ta có y’(x) = 3x2 + 1 + sinx > 0 với mọi giá trị của x Tức là, hàm sốy(x) luôn đồng biến, suy ra y(x) > y(0) ⇔1 + x3 + x – cosx > 0 khi x > 0 e) Gọi t = sinx, ta có - 1 ≤ t ≤ 1 với mọi giá trị của x

x

- 1 - 1

2 0 +1y’(x) + 0 - 0 +

a) y = 2 4 12

1

x

−

b) y = 22 4 3

1

− +

c) y = 22 8 12

− +

d) y = 22 1

1

x

x

−

+

e) y = x4

g) y = x4 - 4x3

Hớng dẫn a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{1} Mặt khác, y’(x) = 2 2 28 ( 1) x x x − − − , nên y’(x) = 0 khi 4 2 x x =   = −  . Bảng biến thiên : x -∞ -2 1 4 +∞

y’ + 0 - - 0 +

y -8

4

Căn cứ bảng biến thiên ta có : Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 2, giá trị cực đại là y (- 2) = - 8 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 4, giá trị cực tiểu là y (4) = 4 b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 3 22 4 72 ( 1) x x x x − − − + Do đó y’(x) = 0 7 3 1 x x  =  ⇔ = −  Bảng biến thiên : x -∞ -1 1 7

3 +∞

y’ + 0 - - 0 +

y 2

2

11

Căn cứ bảng biến thiên ta có :

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = - 1, giá trị cực đại là y (- 1) = 2

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 7

3, giá trị cực tiểu là y (7

3) = 2

11

c) Tập xác định của hàm số đã cho là R\{2} Mặt khác, y’(x) = 4 22 16 162

Do đó y’(x) > 0 ⇔ ≠x 2

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng (2;+∞)và (−∞; 2)

Từ đó hàm số đã cho không có cực trị

d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 22 2

( 1)

x

x + Do đó y’(x) = 0 ⇔ x = 0 Bảng biến thiên :

x -∞ 0 +∞

y’ - - 0 +

y

-1

Căn cứ bảng biến thiên ta có : Hàm số không có điểm cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu là y (0) = -1 e) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 4x3 , nên y’(x) = 0 khi x = 0 Bảng biến thiên : x -∞ 0 +∞

y’ - 0 +

y

0

Căn cứ bảng biến thiên ta có : Hàm số không có điểm cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, giá trị cực tiểu là y (0) = 0 g) Tập xác định của hàm số đã cho là R Mặt khác, y’(x) = 4x3 – 12x2 , nên y’(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3 Bảng biến thiên : x -∞ 0 3 +∞

y’ - 0 - 0 +

y

-27

Căn cứ bảng biến thiên ta có : Hàm số không có điểm cực đại Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu là y (0) = - 27 Bài 2 Dùng Quy tắc II để tìm cực trị của các hàm số sau a) y = x4 - 4x b) y = x4 - 8x2

c) y = x3 - 12x + 2

d) y = x2 - 6x + 5

e) y = ax4 + bx2 + c, với a ≠ 0

Hớng dẫn

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y’(x) = 4x3 – 4 , nên y’(x) = 0 khi x = 1 Hơn nữa y”(x) = 12x2 nên y”(1) = 12 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 1, giá trị cực tiểu là y (1) = - 3

b) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y’(x) = 4x3 – 16x , nên y’(x) =

0 khi x = - 2 hoặc x = 0 hoặc x = 2 Hơn nữa y”(x) = 12x2 – 16 nên y”(-2)

= y”(2) = 32 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm x = - 2, hoặc x = 2,giá trị cực tiểu là y (2) = y (- 2) = - 16 Mặt khác, y”(0) = - 16 < 0, do đóhàm số đạt cực đại tại hai điểm x = 0, giá trị cực đại là y (0) = 0

c) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y’(x) = 3x2 – 12 , nên y’(x) =

0 khi x = - 2 hoặc x = 2 Hơn nữa y”(x) = 6x nên y”(-2 ) = - 12 < 0, do đóhàm số đạt cực đại tại điểm x = - 2, giá trị cực tiểu là y (- 2 ) = 18 Mặtkhác, y”( 2 ) = 12 > 0, do đó hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, giá trị cựctiểu là y (2) = -14

d) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y’(x) = 2x – 6 , nên y’(x) = 0khi x = 3 Hơn nữa y”(x) = 2 > 0 nên y”(3) = 2 > 0, do đó hàm số đạt cựctiểu tại điểm x = 3, giá trị cực tiểu là y (3) = - 4

e) Tập xác định của hàm số đã cho là R Ta có, y’(x) = 4ax3 + 2bx và y”(x) =12ax2 + 2b Hơn nữa y’(x) = 0 ⇔2 (2x ax2+ =b) 0

- Nếu a.b > 0 thì y’(x ) = 0 chỉ khi x = 0 và y”(0) = 2b Cho nên, khi b > 0(tức là a > 0) thì hàm số đã cho có một điểm cực tiểu tại x = 0, giá trị cựctiểu là y(0) = c; còn khi b < 0 (tức là a < 0) thì hàm số có một điểm cực đạitại x = 0, giá trị cực đại là y(0) = c

- Nếu a.b < 0 thì y’(x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt 1

2

b x

± − ) = - 4b < 0, hàm số đã cho có

hai điểm cực đại tại x =

2

b a

± − , giá trị cực đại là y(

2

b a

± − ) = c - 2

4

b

a vày”(0) = 2b > 0, cho nên hàm số đã cho có một điểm cực tiểu tại x = 0, giá trịcực tiểu là y(0) = c;

+/ Trờng hợp b < 0 (tức là a > 0) thì y”(

2

b a

± − ) = - 4b > 0, hàm số đã cho

có hai điểm cực tiểu tại x =

2

b a

± − , giá trị cực tiểu là y(

2

b a

± − ) = c - 2

4

b

a vày”(0) = 2b < 0, cho nên hàm số đã cho có một điểm cực đại tại x = 0, giá trị cực

Theo định lí thuận dấu tam thức bậc hai, f(x) = ax2 + bx + c mà a ≠ 0 và ∆> 0thì luôn đổi dấu qua mỗi nghiệm của nó Từ đó:

a) Tập xác định của hàm số đã cho là R\ {1} và y’(x) = 2 2 32 10

Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi y’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt

Họ đờng cong đã cho có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

Cho hµm sè ( )

( )

f x y

2

x x

cã hai nghiÖm ph©n biÖt

cã hai nghiÖm ph©n biÖt

Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại cực tiểu của họ đờng cong đãcho là y x( ) 2= (x m+ ) với điều kiện x < 2 hoặc x > 2.

Chú ý: Nếu không biết định lí trên ta có thể làm theo cách khác nh sau

2

x x

2.3 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Bài 1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x+ 9−x2 .

có hai nghiệm phân biệt

có hai nghiệm phân biệt

2 ) ; y(3)} = y(-3) = -3 khi x = -3.

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: y = 3sinx - 4 cosx + 5

Hớng dẫn

Hàm số đã cho xác định với mọi giá trị của x

Ta có (3sinx – 4 cosx)2 ≤ (32 + 42 )(sin2x + cos2x), từ đó

- 5 ≤ 3sinx - 4 cosx ≤ 5, suy ra 0 ≤ 3sinx - 4 cosx + 5 ≤ 10

Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)

Chú ý Với hàm số có dạng y = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d), trong đó a, b, c, d theothứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai d ≠ 0, tức là ta có a + d = b + c, đểtìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ta có thể tiến hành theo cách nh trên.

Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3−3x2 −4 trêntập sau đây :

, min ( ) ( 1) 8

2

1

; 1

b) Vì rằng 0 ; (2) 8; (3) 4

8

372

1

;3

;2

c) Vì f’(x) > 0 trên nửa đoạn [3; 5), nên hàm f(x) đồng biến trên nửa đoạn [3; 5)

Do đó [min3;5) f(x)= f(3)=−4, còn [max3;5)f(x) không tồn tại , vì nếu có x0∈[1;3) đểcho f(x0) là giá trị lớn nhất, thì từ x0 < 3 ⇒ ta tìm đợc x1 sao cho x0 < x1 < 3 và

do f(x) đồng biến nên ta có f(x0) < f(x1) < f(3), mâu thuẫn

Bài 5

Trong sản xuất, ngời ta muốn tạo ra những chiếc hộp với dạng hình hộp có đáy

là hình vuông với thể tích cho trớc và muốn có đợc diện tích nhỏ nhất, để chiphí cho việc làm vỏ hộp là ít nhất

Từ đó dẫn đến bài toán sau:

Từ một miếng bìa có hình vuông ngời ta muốn cắt bỏ đi ở bốn góc của miếngbìa đó 4 hình vuông để dựng lên đợc một hình hộp (không nắp) có thể tích là

4000 cm3 Hỏi phải cắt bỏ đi hình vuông với kích thớc là bao nhiêu để diện tíchmiếng bìa cần dùng là ít nhất

Hớng dẫn

Gọi kích thớc của hình vuông đáy của hộp là x (cm), thì 0 < x

Gọi chiều cao của hộp là h (cm), thì 0 < h ≤ x

Gọi V là thể tích của hộp thì V = x2.h = 4000 (cm3 ),

suy ra h = 40002

Gọi S là diện tích cần dùng để làm vỏ hộp thì

0

2

p py’(x) + 0 -

y

2

4

p

C¨n cø b¶ng biÕn thiªn cho thÊy S lín nhÊt b»ng 2

Ta cã y2 = (3sinx - 2)2 + 2| 3sinx – 2| | 3cosx – 2| + (3cosx - 2)2 =

= (9sin2 x – 12sinx + 4) + 2| (3sinx – 2).(3cosx – 2)| + (9cos2 x – 12cosx + 4)

= 17 – 12(sinx + cosx) + 2| 9sinx.cosx – 6(sinx + cosx) + 4|

Gäi z = y2, gäi t = sinx + cosx th× − 2≤ ≤t 2 vµ sinx.cosx =

' 2

' 2

z2’ + + 0

-z

C¨n cø b¶ng biÕn thiªn ta cã:

Maxz = Max{ y(- 2); y(0); y( 2) } = Max{ (3 2+ 4)2 ; 18 ; (3 2- 4)2 } = (3

2+ 4)2 khi t = - 2 , suy ra Maxy = (3 2+ 4) khi sinx + cosx = - 2

sin 2

29

4 5sin

Từ đó, hàm số đã cho với biến t là:

2

21

22

Min y = 3 khi t = 3, tức là x = 3 hoặc x = 6

Gọi u = 3 x+ và v = 6 x− , theo giả thiết ta có hệ:

Khi đó hệ đã cho tơng đơng với :

đ-4

2

5

u d

v

d' B

A O

( C )

ờng tròn (C) ; u ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải của trục Ov ; v ≥ 0 là nửa mặt phẳng phía trên của trục Ou (nh hình bên).

Từ đó, hệ có nghiệm khi và chỉ khi đờng thẳng d giao với cung AB của đờng tròn (C) Khi đó, đờng thẳng d phải nằm trong dải mặt phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song là AB và d’

1

x

x y

Min y = 1

4 khi t = 1, tức là x = 1 hoặc x = -1

Max y = 1 khi t = 0 tức là x = 0 hoặc x = ∞

Cách 2 Ta có thể tìm lời giải của bài toán theo cách khác nh sau

Dễ thấy hàm số đã cho xác định với mọi giá trị của x, do đó đặt x = tant ta có

Bài 1 Cho hàm số y = f(x) = x2 – 2x + 3 (1) Tìm hàm số Y = f(X) mà đồ thị của

nó nhận đợc từ đồ thị của hàm số (1) sau khi tịnh tiến theo vectơ OIuur=(3; 4)

Khi đó, y = f(x) đợc biến thành Y = f(x + a)

Vậy, đồ thị của hàm số cần tìm nhận đợc từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến theovectơ OIuur=( ;0)a

Chú ý OIuur=( ;0)a =a(1;0), do đó OI song song với Ox Nên đồ thị của hàm sốcần tìm nhận đợc từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến theo trục Ox sang bên phải(hoặc bên trái) của trục Oy một đoạn là | a | đơn vị tơng ứng với a < 0 (hoặc là

a > 0)

Ví dụ: Suy ra đồ thị của hàm số y = sinx từ đồ thị của hàm số y = cosx

Ta biết rằng y = sinx = cos cos

Khi đó, y = f(x) đợc biến thành Y – b = f(x + a) hay Y = f(x + a) + b

Vậy, đồ thị của hàm số cần tìm nhận đợc từ đồ thị (C) bằng cách tịnh tiến theovectơ OJuuur=( ;a b− )

Chú ý uurIJ =(0;− = −b) b(0;1), do đó IJ song song với Oy Hơn nữa,

( ; ) ( ;0) (0; ) , ( ; )

OJuuur= a b− = a + − =b OI IJ J a buur uur+ − , do đó đồ thị của hàm số cần tìmnhận đợc từ đồ thị (C) bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theovectơ OIuur=( ;0)a và IJuur=(0;−b) Tức là, trớc hết ta tịnh tiến theo trục Ox (sangbên phải (hoặc bên trái) trục Oy một đoạn là | a | đơn vị tơng ứng với a < 0(hoặc a > 0)), sau đó tịnh tiến theo trục Oy (lên trên trục Ox b đơn vị nếu b > 0,xuống dới trục Ox b đơn vị nếu b < 0)

Ví dụ: Suy ra đồ thị của hàm số y = 1 + sinx từ đồ thị của hàm số y = cosx.

của hàm số y = cosx sang phải

của trục Oy một đoạn bằng

Ta biết, đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng

Tịnh tiến hệ trục xOy sang hệ trục XIY, trong đó I(1; 0), nh hình vẽ (dới đây), tacó:

Dễ dàng kiểm tra đợc Y(X) là hàm số lẻ, nên đồ thị

của nó nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng, hay điểm

I(1; 0) là tâm đối xứng của đồ thị

Chú ý I(1; 0) là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho

Khái niệm và cách tìm điểm uốn ta sẽ đợc biết ở bài

X

f x ( ) = x ( 3 -3 ⋅ x 2 ) +2 I

12 10 8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

y

x Y

X

g x ( ) = (x2-3⋅ x ) +6 x-1

Từ x ≠ 1 suy ra X ≠ 0, khi đó, dễ dàng kiểm tra đợc hàm số Y(X) là hàm số lẻ, do

đó đồ thị của nó nhận gốc toạ độ là tâm đối xứng, hay điểm I(1 ; -1) là tâm đốixứng của đồ thị

Chú ý I(1; -1) là giao điểm của hai đờng tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho Kháiniệm đờng tiệm cận của đồ thị hàm số và cách tìm tiệm cận ta sẽ đợc biết ở bàisau Bằng cách tơng tự nh trên ta có thể chứng minh đợc giao điểm của hai đờngtiệm cận của đồ thị hàm có dạng y ax2 bx c,am 0

Bài 5 Cho hàm số y =x4 +4x3 +m.x2 (1), trong đó m là tham số Tìm giá trị của

m đề đồ thị của hàm số đã cho có trục đối xứng song song với trục Oy

Từ đó, đồ thị của hàm số đã cho có trục đối xứng

là đờng thẳng x = a khi và chỉ khi Y(X) phải là

Y

I O

 = ± +



 = ± −

Chú ý

Để giải một số phơng trình bậc 4 đầy đủ (trong một số trờng hợp đặc biệt), ta cóthể dựa theo cách tìm trục đối xứng song song với trục Oy (là đờng thẳng có phơngtrình x = a) của đồ thị mỗi hàm số nh hớng dẫn ở trên, khi đó tìm đợc giá trị cụ thểcủa a Sau đó, bạn có thể chuyển phơng trình đã cho về phơng trình trùng phơngvới biến số X = x - a

Bài 7 Cho hàm số y x= +3 3mx2−2(m+2)x+6 (1), trong đó m là tham số Tìm giátrị của m để đồ thị của hàm số đã cho nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng

X O

I

Từ đó, đồ thị của hàm số đã cho nhận điểm I(1; 2)làm tâm đối xứng khi và chỉ khiY(X) phải là hàm số lẻ với X, tức là 1 0 1

1 0

m

m m

Bài 2: Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y =

23

12

23

12

x chỉ có hai đờng tiệm cận đứng với phơng trình tơng ứng là

− +

=

− (1)Hớng dẫn:

nên đờng thẳng có phơng trình x = 1 là tiệm cận đứng của (1).

Ta cũng dễ dàng kiểm tra đợc những đờng thẳng có phơng trình x = a, trong đó x

≠ 1 và x ≠ -3 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Vậy đồ thị của hàm số đã cho có hai tiệm cận đứng với phơng trình tơng ứng là x =

g x

= (với f(x) và g(x) là các đa thức) thì:

- Đờng thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ khi a lànghiệm đơn (hoặc nghiệm bội k) của g(x) = 0 và không phải là nghiệm của f(x) =

0 (hoặc là nghiệm bội nhỏ hơn k của f(x) = 0)

- Hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng khi hàm số đó không suy biến và g(x) =

0 có nghiệm

(Hàm phân thức hữu tỉ ( )

( )

f x y

g x

Bước 1 : Kiểm tra h m sà ố khụng suy biến.(Tức là f(x) khụng chia hết cho g(x))

Bước 2 : Giải phơng trình g(x) = 0 (giả sử có nghiệm x = a)

Bước 3 : Kiểm tra x = a là nghiệm đơn (hoặc nghiệm bội k) của g(x) = 0 vàkhông phải là nghiệm của f(x) = 0 (hoặc là nghiệm bội nhỏ hơn k của f(x) = 0).Bước 4 : Kết luận

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ( )

( )

f x y

Dễ thấy x2 – 3x + 2 = 0 khi x = 1 hoặc x = 2

Đờng thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị (1) ⇔x = 1 không phải là nghiệmcủa phơng trình mx2 – 6x = 0, tức là m – 6 ≠ 0, hay m ≠ 6 Từ đó, khi m = 5thì x = 1 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Đờng thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị (1) ⇔x = 2 không phải là nghiệmcủa phơng trình mx2 – 6x = 0, tức là 4m – 12 ≠ 0, hay m ≠ 3 Từ đó, khi m = 3thì x = 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Nh vậy:

- đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng 1

2

x x

=



⇔ = ⇔ Vậy đồ thị của hàm số đã luôn có tiệm cận đứng.

- đồ thị của hàm số đã cho chỉ có một tiệm cận đứng ⇔ x = 1 là tiệm cận đứng và

x = 2 không là tiệm cận đứng của đồ thị hoặc x = 2 là tiệm cận đứng và x = 1

không là tiệm cận đứng của đồ thị

5

55

3

m

m m

≠



⇔  ≠

Bài 7 Với giá trị nào của tham số m đồ thị của hàm số sau không có tiệm cận

- Nếu ∆ <0, tức là - 1 < m < 1, thì x2 – 2mx + 1 > 0 với mọi giá trị của x Do

đó, đồ thị của hàm số đã cho không có tiệm cận đứng

- Dễ thấy ∆ = 0, tức là m = - 1 hoặc m = 1

- Nếu ∆ >0, tức là m , -1 hoặc m > 1, thì x2 – 2mx + 1 = 0 có hai nghiệm là

2.5.2 Đờng tiệm cận ngang

Bài 1 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

23

12

Bài 2 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 1

Bài 3 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 5 10

Bài 4 Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2 7 10

g x

= , (trong đó f(x) và g(x) đều là các đa thức),không suy biến, thì đồ thị của nó có tiệm cận ngang khi bậc của f(x) nhỏ hơn hoặcbằng bậc của g(x)

- Cách tìm tiệm cận ngang của hàm phân thức

Bước 1 : Kiểm tra hàm số khụng suy biến.(Tức là f(x) khụng chia hết cho g(x))

Bước 2 : Kiểm tra bậc của f(x) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của g(x)

Bài 5 Với giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số : 2 3 6

2.5.3 Đờng tiệm cận xiên

Bài 1: Tìm tiệm cận xiờn của đồ thị hàm số