Chương 4 ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG

Động lực học chất lỏng lý tưởng Chương này tìm hiểu các quy luật chuyển động của chất lỏng trong mối liên hệ với lực là nguyên nhân gây ra chuyển động.. Tích phân phương trình vi phân ch

Chương 4 Động lực học chất lỏng lý tưởng

Chương này tìm hiểu các quy luật chuyển động của chất lỏng trong mối liên hệ với lực là

nguyên nhân gây ra chuyển động Để đơn giản hoá quá trình khảo sát, đối tượng khảo sát trong chương này là chất lỏng lý tưởng, là chất lỏng có các tính chất giống chất lỏng thực, tuy nhiên có độ nhớt bằng không

Các kết quả khảo sát ở chương này là cơ sở để tiếp cận chương 5 - động lực học chất lỏng thực

I Phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng

1 Dạng Euler

Chương 2 đã đề cập tới phương trình Euler thể hiện điều kiện cân bằng của một phân

tố chất lỏng:

1

( ) 0

F  grad p 

 Dạng khai triển:

1

0 1

0 1

0

p X

x p Y

y p Z

z





















Khi chất lỏng chuyển động với vận tốc u, theo nguyên lý D’Alamber, tổng các lực tác dụng lên phần tử chất lỏng sẽ cân bằng với lực quán tính Do đó nếu thêm vào phương trình trên thành phần lực quán tính đơn vị, tức là gia tốc của phần tử chất lỏng, ta nhận được phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng dạng Euler như sau:

1

( ) du

F grad p

dt





(4.0a) Dạng khai triển của (4.0a):

1

1

1

p

p

p





















(4.0b)

2 Dạng Lamb- Gromeco

Sử dụng (4.0b) cho các trục tọa độ

Theo phương Ox ta có:

1 x x x x

 Nếu thêm vào vế phải của phương trình trên các đại lượng y uy

u x





z

u u x





 thì ta có:

                             

      



Vì:

2

2

3

2

y

y x

z

y

u

u u







    

    

Do đó

Tương tự như trên cho các trục Ox và Oy, ta có hệ phương trình sau:

2

1

2

x



2

2

2

1

2 1

2 1

2

x

y

z

u









(4.1)

Nhận xét:

1 Đối với hàm F, có thể đưa vào hàm lực thế U sao cho:

  

2 Đối với hàm áp suất p, đưa vào hàm  sao cho:

1 1

d   dp     dp

Khi đó hệ phương trình được viết lại như sau:

2

2

2

2

2

2

x

y

z

u u







        









(4.2)

2

2

t





 

 Hay:

grad E   u u

t







 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  (4.3)

trong đó,

2

2

u

E U  

Phương trình (4.3) được gọi là phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng (nén được hoặc không nén được) viết dưới dạng Lamb –Gromeco

II Tích phân phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng lý tưởng

1 Chất lỏng chuyển động dừng

Khi dòng chất lỏng chuyển động dừng u 0

t







 , phương trình chuyển động (4.2) được viết lại như sau:

E

x E

y E

z

 

    

 







    







 

    







Nhân vào hai vế của hệ phương trình này lần lượt các giá trị dx, dy, dz sau đó cộng vế

theo vế ta được:

dx dy dz

dE  u u u

  

(4.4)

Các trường hợp riêng cuả (4.4):

 Khi    x y z 0: chuyển động này là không quay, hay còn được gọi là chuyển động thế;

 Khi

dx dy dz

u u u : ứng với trường hợp thực hiện tích phân dọc theo một đường dòng, hay rộng hơn, dọc một đường dòng nguyên tố;

 Khi

dx dy dz

   : tương ứng với trường hợp lấy tích phân theo một đường xoáy, hay mở rộng cho một dây xoáy;

u

   : ứng với trường hợp vector vận tốc trùng phương với vector xoáy - trường hợp chuyển động xoắn ốc

Trong các trường hợp trên ta đều có:

dE =0

Tích phân phương trình này ta được:

2

2

u

U     const (4.5)

Các hàm U và  trong (4.5) phụ thuộc vào loại chất lỏng và trạng thái chuyển động cuả chúng Xét một số trường hợp riêng của (4.5) như sau:

a Dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng không nén được, đồng chất chuyển động dừng, có lực khối tác dụng chỉ là lực trọng trường

 Trong trường hợp lực khối chỉ là trọng lực:

z

U g

Z

0

Y 0

X

































Thế vào phương trình (4.5) ta được:

2

1

2

u

gz    dp   const (4.6)

 Trong (4.6), nếu chất lỏng là chất lỏng lý tưởng không nén được và đồng chất (

const



 ) thì (4.6) trở thành:

2

2

p u

g



   (4.7)

là phương trình Bernoulli, hay còn được gọi là phương trình năng lượng

Ý nghĩa năng lượng của phương trình Bernoulli:

Tổng ba thành phần của phương trình Bernoulli biểu diễn cơ năng của một đơn vị khối lượng chất lỏng, được gọi là cơ năng đơn vị, trong đó các thành phần có ý nghĩa như sau:

z biểu diễn năng lượng do vị trí gây nên tính từ mặt chuẩn bất kỳ, được gọi là vị năng đơn

vị;

p

 là năng lượng do áp suất gây nên, gọi là áp năng đơn vị;

p

z   h

 là thế năng đơn vị, còn được gọi là cột áp tĩnh;

2

d

2

u

h

g  là động năng đơn vị, còn được gọi là độ cao cột vận tốc Đó chính là chiều

cao cột chất lỏng đạt được khi ta phun chất lỏng lên từ 1 vòi theo phương thẳng đứng với

vận tốc u trong điều kiện chất lỏng không bị cản trở của môi trường ngòai Thành phần này

được gọi là cột áp động hđ

Như vậy:

- Về mặt năng lượng phương trình Bernoulli thể hiện: Dọc theo dòng nguyên tố của

chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng tổng cơ năng đơn vị là hằng số Do đó có thể nói

phương trình Bernoulli biểu diễn định luật bảo toàn cơ năng cuả dòng chảy

- Ý nghĩa thủy lực của phương trình Bernoulli: Trong dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng với lực khối tác dụng chỉ là lực trọng trường, cột áp toàn phần

(còn được gọi là cột áp thủy động h tđ, là tổng của cột áp tĩnh và cột áp động: h tđ = h t + h đ ) luôn là hằng số,

h tđ = h t + h đ = const

b Dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng không nén được, đồng chất, chuyển động dừng

chuyển động với gia tốc không đổi

Ta xét hai trường hợp sau:

 Kênh chứa chất lỏng chuyển động thẳng, gia tốc không đổi

Xét kênh dẫn chất lỏng như hình 4.2.

Lực khối lượng là trọng lực và lực quán tính Xét khối chất lỏng chuyển động nhanh dần đều theo phương OX với gia tốc a Ta có:

X = -a

Y = 0

Z = -g

g

u22

 2 p

z2

z1



1

p g

u

Hình 4.1

Thay các giá trị trên vào phương trình vi phân chuyển động của dòng chất lỏng lý tưởng (4.5), ta có:

dU = adx + gdz

Tích phân phương trình trên ta được U

= ax +gz + C 1

Kết hợp với phương trình

2

2

u

U     const ta được:

2

2

1

2

2

u

gz ax dp const

g g

 Nếu áp dụng cho 2 mặt cắt (1-1) và (2-2) ta có:

trong đó, l a là khoảng cách giữa hai mặt cắt 1-1, 2-2 đo theo phương của gia tốc a

 Kênh chứa chất lỏng quay đều quanh trục thẳng đứng

Các thành phần lực tác dụng lên khối chất lỏng gồm lực quán tính và trọng lực do đó:

X   2 x ; Y   2 y ; Z   g

Suy ra:

dU   2xdx  2ydy  gz

Do đó ta có:

2

2 2 2 2

2

2

r C

gz 2

y x





































Thay U vào phương trình const

2

u U

2







g

r g

w p z

2 2 2













Áp dụng cho hai mặt cắt (1-1) và (2-2) ta được:

r r



2 Dòng chất lỏng chuyển động không dừng

Từ phương trình:

2

2

t





1

1

2

2

p1

p2

w

1

w2

Hình 4.2

1 1

2

2 w p2 2



Hình 4.3

2

2

2

2

2

2

x

y

z

u u





         



        







 Nếu lấy tích phân dọc theo dòng nguyên tố, hệ phương trình trên trở thành:

x

y

z

u E

u E

u Z

















(4.8)

Nhân các phương trình hệ (4.8) lần lượt với dx, dy, dz và cọng vế theo vế ta được:

ux uy uz



   (4.9) Gọi ( , , )dl dx dy dz

là vi phân cung của đường dòng, phương trình (4.9) có thể viết lại như sau:

t





 

Vì dọc đường dòng //u dl 

nên u dl u dl



 

Do đó (4.9) trở thành:

u

t u

t











Xét dòng chất lỏng có u const

t





 dọc theo l Đưa phần đạo hàm riêng ra khỏi dấu tích phân, với lưu ý bài toán đang được khảo sát trong giới hạn chất lỏng lý tưởng, không nén được, đồng chất, trong trường trọng lực do đó E được xác định dựa vào (4.6) hoăc (4.7).

Cuối cùng ta có:

2

g g t





 (4.10)

Đây là phương trình Bernoulli mở rộng cho dòng nguyên tố chất lỏng lý tưởng, không nén

được, đồng chất chuyển động không dừng trong trường trọng lực.

3 Chuyển động thế không dừng – tích phân Cauchy – Lagrange

Trong trường hợp dòng chất lỏng chuyển động thế không dừng, hàm thế vận tốc chuyển động sẽ là hàm số phụ thuộc vào cả không gian và thời gian:

 = (x,y,z,t)x,y,z,t)

Vì u grad  ( )



nên ta có:

u grad( ) grad







Vì chuyển động là có thế nên   0

Khi đó phương trình (4.3) trở thành:

2

2

2

2

2

2

2

2

u

t u

u

u

















2

2

u

t

        





Tích phân phương trình trên ta được:

2

( ) 2

u

t





(4.11)

Phương trình (4.11) là lời giải Cauchy – Lagrange của hệ phương trình vi phân Euler

đối với chuyển động thế không dừng của chất lỏng lý tưởng, được gọi là tích phân Cauchy

– Lagrange Ở đây, hàm C(t ) được xác định từ các điều kiện biên.

Trường hợp chuyển động thế của chất lỏng không nén được, đồng chất, lực tác dụng chỉ

là lực trọng trường: U = gz, p





 , do đó:

2

( ) 2

p u

t







 (4.12) Phương trình (4.12) thỏa mãn cho toàn miền chất lỏng chuyển động dừng

4 Mở rộng phương trình Bernoulli cho toàn dòng

Việc mở rộng tích phân cho toàn dòng chảy - là tập hợp của các dòng nguyên tố - gặp một số khó khăn do phân bố vận tốc không đều trên mỗi mặt cắt ướt, có thành phần vận tốc hướng ngang và ảnh hưởng của lực quán tính ly tâm Vì vậy, chỉ mở rộng tích phân Bernoulli cho tòan dòng chảy tại các mặt cắt có dòng chảy đổi dần, tức là tại đó áp suất thủy động tuân theo quy luật thủy tĩnh: p

Z   const

Xét đọan dòng chảy được giới hạn bởi hai mặt cắt 1-1 và 2-2 sao cho tại hai mặt cắt này dòng chảy đổi dần

Gọi dQ là lưu lượng qua một ống dòng nguyên tố thuộc dòng chảy, nằm giữa hai mặt

cắt 1-1 và 2-2 có diện tích ướt tương ứng là S S1, 2

Gọi Q là lưu lượng toàn dòng chảy, nằm giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2

Viết phương trình Bernoulli cho dòng nguyên tố giữa 1-1 và 2-2:

Hay:

Vì p

Z   const

1

S

  (4.14)

2

S

  (4.15) Các đại lượng dạng

năng của toàn bộ dòng chảy trên mặt cắt S tính theo vận tốc thực tế Ký hiệu:

t

K  dQ dS

Gọi V là vận tốc trung bình của dòng chảy tại mặt cắt S Động năng của dòng chảy tại mặt cắt S tính theo vận tốc trung bình sẽ là:

tb

K  dm dS  V S  V Q

Gọi  là tỉ số giữa động năng thực và động năng trung bình của dòng chảy tại S, ta có:

3

2

tb

u dS K





 được gọi là hệ số hiệu chỉnh động năng

Như vậy:

S

     (4.16)

Thay (4.16)(4.15)(4.14) vào (4.13) và biến đổi ta được:

(4.17)

Đây chính là phương trình Bernoulli cho tòan dòng chảy của chất lỏng thực không nén được, chuyển động dừng trong trường trọng lực

Khi sử dụng (4.17) cần lưu ý:

- Tại hai mặt cắt 1-1 và 2-2 dòng chảy đổi dần, còn đọan dòng chảy giữa hai mặt cắt này, dòng chảy không nhất thiết đổi dần

- Có thể tùy ý chọn các điểm trên 1-1, 2-2 để viết (4.17), tuy nhiên nên chọn các điểm

có phương trình đơn giản nhất

- Áp suất p 1 và p 2 phải cùng lọai (cùng là áp suất dư, áp suất tuyệt đối,…) Lấy độ cao

ở điểm nào thì phải tính áp suất tại điểm đó

- Hệ số   1 Xét chính xác thì 1 2, tuy nhiên trong tính tóan nếu 1-1 và 2-2 đủ gần thì có thể lấy12 1

5 Một số ứng dụng phương trình Bernoulli

a Dụng cụ đo tốc độ và lưu lượng

- Ống pitot đo tốc độ điểm:

Ống pitot là dụng cụ đo lưu tốc điểm, gồm hai ống khá bé (ống 1) và một ống uốn cong 900 (ống 2) Hai ống để thẳng đứng, miệng hai ống sát nhau (hình 4.4)

g 2

u p H

2 1

1 



 M

1

1

p1

pa



1

p

Hình 4.4

Muốn xác định vận tốc của lưu chất tại điểm M, chúng ta viết phương trình Bernoulli cho đoạn dòng chảy từ mặt cắt 1-1 trước miệng ống 2 đến mặt cắt 2-2 tại mặt thoáng của ống 2 Chọn mặt so sánh nằm ngang đi qua tâm lỗ:

2

, 2

g

Ta có, z1= 0, z2 = H, u2 = 0; p1

 Nếu tính với áp suất dư, ta có p2 = 0

Do đó

z H p1 ug1





 Hay:

u  2 g h 

- Ống venturi đo lưu lượng:

h1

h2

D

d h

Hình 4.5

Ống venturi là dụng cụ đo lưu lượng gồm ống nhỏ có đường kính d nối hai đầu với hai ống lớn hơn có đường kính D, cả hai ống được gắn ống đo áp (như hình vẽ) Để xác định lưu lượng của chất lỏng chuyển động trong ống chúng ta sử dụng phương trình Bernouli và phương trình liên tục

Viết phương trình Bernoulli cho đoạn dòng chảy từ mặt cắt (1-1) trước đoạn thu hẹp đến mặt cắt (2-2) ở ngay tại đoạn ống thu hẹp Chọn mặt so sánh đi qua trục ống Vì ống nằm ngang nên z1 = z2 = 0

Chọn 1 = 2 = 1

Ta có:

;

;

Do đó phương trình Bernouli có thể viết lại như sau:

Suy ra :

2

1 2

Q

h h g

Q1=Q

Q2=Q

Do đó lưu lượng của dòng lưu chất được xác định như sau:

g h h

Q



Chúng ta cũng có thể xác định chiều cao đo áp của ống nhỏ như sau:































4 2

2 2 1

2

D

d 1 d g

Q 16 h h

Như vậy, nếu khi d giảm hoặc Q tăng thì độ cao đo áp h2 có thể có giá trị âm - đường

đo áp đi dưới trục ống (hình 4.6) Khi đó chiều cao chân không được xác định như sau:

4 2

2 2

D

d 1 d g

Q 16





























h1

D

d

z

hck

A

v0

pa

Q + Q0 Q

Hình 4.6

Nguyên tắc hình thành độ cao chân không được sử dụng trong máy bơm ly tâm để hút nước từ thấp lên cao

III Phương trình động lượng

1 Đạo hàm toàn phần của tích phân khối

Xét khối chất lỏng V được bao quanh bởi diện tích S Trong hệ tọa độ xác lập, khối V chiếm một vùng không gian D Gọi G(x,y,z,t)x,y,z,t) là một hàm xác định trong D.

Ta có:

G x y z t dV dV G x y z t un dS





trong đó, u n , là vận tốc và vector pháp tuyến dương của phân tố dS.

2 Định lý biến thiên động lượng

Phát biểu Định lý biến thiên động lượng:

Biến thiên của vector chính động lượng của một hệ chất điểm theo thời gian bằng tổng các ngọai lực tác dụng lên hệ.

Áp dụng định lý này cho một khối chất lỏng chuyển động, bằng cách xem mỗi phân tố

có kích thước đủ nhỏ như một chất điểm

Gọi K vector động lượng của khối lưu chất V, ta có:

V

V

dK d

dt dt















Áp dụng (4.13) với Gu, phương trình trên trở thành:

( )

u

t



 



Phương trình (4.14) biểu diễn định lý biến thiên động lượng dạng tổng quát cho khối lưu chất chuyển động , trong đó Rm,Rs là lực khối và lực mặt tác dụng lên khối lưu

chất V có diện tích bao quang là S

Trong trường hợp chất lỏng chuyển động dừng, (4.14) trở thành:

S

u un dS   R   R

      (4.15)

3 Áp dụng định lý biến thiên động lượng cho dòng nguyên tố - Định lý Euler

S1

S2

Sb



Hình 4.4

Xét đọan ống dòng nguyên tố của chất lỏng lý tưởng chuyển động dừng được giới hạn bởi S1, S2, Sb trên hình 4.4, ta có:

b

b

S



Kết hợp với (4.15), suy ra:

( 1 1).( 1 1). 1 ( 2 2).( 2 2). 2 ( ).( ).

b

S

u  u n S    u  u n S     u  u n dS     R    R 

Vì u 1  k n1 1 ; u 2  k n2 2 ; u b  n b , (k i là các hệ số) nên phương trình trên trở thành: