ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển ñộng của chất lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng này trong mối quan h[r]
Trang 1Chương IV
ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
ðộng lực học chất lỏng nghiên cứu cơ sở lý thuyết chuyển ñộng của chất
lỏng và xây dựng các phương trình vi phân mô tả chuyển ñộng này trong mối quan hệ với các ngoại lực tác dụng
Chất lỏng lý tưởng khi bỏ qua sự ảnh hưởng của tính nhớt, có nghĩa là hệ
số nhớt µ = 0
1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ðỘNG - PHƯƠNG TRÌNH EULER
Xuất phát từ nguyên lý biến thiên ñộng lượng: Ngoại lực tác dụng lên một
hệ thống chất lỏng bằng tốc ñộ thay ñổi ñộng lượng của khối chất lỏng ñó Ta có:
dt
ρ
(4.1) Chiếu lên các trục tọa ñộ, phương trình (1.1) trở thành:
1 1 1
x x
y y
z z
du p F
du p F
du p F
ρ ρ ρ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(4.2)
Phương trình (4.1) và (4.2) gọi là phương trình vi phân chuyển ñộng Euler của chất lỏng lý tưởng dạng vector và hình chiếu tương ứng
2 BÀI TOÁN ðỘNG LỰC HỌC CHẤT LỎNG LÝ TƯỞNG
Trong trường hợp chất lỏng lý tưởng, không nén ñược, hệ phương trình Euler
có 4 ẩn u u u và áp suất p ðể giải hệ phương trình này ta sử dụng thêm x, y, z phương trình liên tục:
0
y
divu
∂
(4.3)
ðể tích phân hệ 4 phương trình trên, ta thêm vào ñiều kiện ñầu và ñiều kiện
biên của nó:
• ðiều kiện ñầu là ñiều kiện xác ñịnh các thành phần vận tốc và áp suất
tại thời ñiểm ban ñầu t=0:
Trang 2( ) ( )
1 2 3 4
x y z
=
=
=
=
(4.4)
• ðiều kiện biên là ñiều kiện xác ñịnh biên giới môi trường lỏng ñang xét
và biểu thị bằng ñiều kiện cho trên mặt vật và ñiều kiện khá xa vật rắn (coi ở ∞) ðiều kiện biên trên mặt vật rắn phải thỏa mãn ñiều kiện hạt lỏng không xuyên qua hoặc tách rời khỏi mặt vật rắn
- Khi vật rắn S ñứng yên, dòng chất lỏng lý tưởng chuyển ñộng từ
vô cùng ñến bao quanh vật ta có:
0
=
- Khi vật rắn S chuyển ñộng trong chất lỏng lý tưởng với vận tốc
v trong chất lỏng ñược coi là ñứng yên ở vô cùng, ta có:
0
n S u
u ∞ u∞
=
3 DẠNG LAMB – GROMECO CỦA PHƯƠNG TRÌNH EULER
Sau khi sắp xếp trên phương x, ta ñược
2
2
1
2
x
p
ρ
∂
(4.7)
Ta biến ñổi tương tự cho phương y và z Cuối cùng ta ñược dạng Lamb –
Gromeco của phương trình Euler:
( )
2 1
2
ρ
∂
∂
(4.8) Tính chất ñặc biệt của phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng lý tưởng dưới dạng Gromeco là tồn tại dạng hiển của vector xoáy của vận tốc
4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DƯỜNG DÒNG
Trong trường hợp tổng quát, phương trình vi phân chuyển ñộng của chất lỏng
lý tưởng không tích phân ñược ðể tích phân ñược, ta xét một số trường hợp ñặc biệt
a Tích phân Lagrange – Cauchy với chuyển ñộng có thế
Xét chất lỏng không nén ñược, chuyển ñộng không xoáy dưới tác dụng của lực
có thế, nghĩa là
Trang 3const rot u
ρ
ϕ
=
=
=
(a)
với ϕ là hàm thế vận tốc, U là hàm thế lực khối ñơn vị
Khi ñó:
u
ϕ ϕ
(b)
Thế (a), (b) và (c) vào phương trình (4.8), ta thu ñược
2
0 2
t
ϕ
ρ
Tích phân (1.9) cho ta
( )
2
2
t
ϕ
ρ
∂
với C t xác ñịnh từ ñiều kiện biên ( )
b Tích phân Euler
Khi chất lỏng chuyển ñộng dừng, (4.10) có dạng
2
2
ρ
Khi lực khối là trọng lực, U = −gz, (4.11) trở thành
2
2
Gọi
2
2
= + + – ñộ cao thủy lực trong toàn miền chất lỏng
2
2
u
g – ñộ cao ño tốc
p
γ – ñộ cao ño áp
z– ñộ cao ño mức
c Phương trình Bernulli cho ñường dòng
Xét chất lỏng lý tưởng không nén ñược, chuyển ñộng dừng dưới tác dụng của lực có thế là trọng lực Khi ñó ta có phương trình Bernulli cho một ñường dòng như sau: