giới hạn dãy tổng

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp A.. 2 Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới ... Theo tiêu chuẩn Weierstra

MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG

Huỳnh Chí Hào Trường THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp

A Một số kiến thức có liên quan

Định nghĩa 1

Dãy số  u n được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có u n u n1

Dãy số  u n được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có u n u n1

Định nghĩa 2

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u n M,    n *

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u n m,    n *

Dãy số  u n được gọi là dãy số bị chặn nếu tồn tại một số M và một số m sao cho m u n M,    n *

Định lý 1

1) Mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ

2) Mọi dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ

Định lí 2

1) Mọi dãy tăng và không bị chặn trên thì tiến tới 

2) Mọi dãy giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới 

Định lý 3

1) Nếu một dãy  u n hội tụ đến a thì mọi dãy con trích từ  u n cũng hội tụ đến a

2)  u n hội tụ đến a   u 2n và u2n1 hội tụ đến a

Định lý 4

1) Nếu lim n 0

  và u n     thì 0, n lim 1

n n u

   2) Nếu lim n

   và u n     thì 0, n lim 1 0

n n u

B Các bài toán

Bài toán 1

Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1 2

1

2

1, 1 (1)

u









Tìm giới hạn sau:

n

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 2u n  ,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n   ,   2

u  u  u   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

 

1

1

1

1 1 1 ( 1, 2, )

n n

n

n

u

u

u n











 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1

u u  u  u 



 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

a a 2  a 1 a22a    (vô lý) 1 0 a 1

2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

1

1

n

u





 Vì thế từ (2) ta suy ra:

1



 Vậy

n

n



Bài toán 2

Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1

2 1

1

, 1 (1) 2011

n

u

u











Tìm giới hạn sau: 1 2

n

n

u





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 1u n  ,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n   ,  1 2 0

2011

n

u

u  u   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

2

1

1

1

1 1

2011 2011

2001

2011 1 1 1, 2, (*)

n

n

n

u

u u

u

u

u n











 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1 2

n

n

u

 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a1.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2

0 2011

a

a    (vô lý) a a

2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

1

1

n

u





 Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2

1

u

n

n

u





Bài toán 3

Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1 2 1

2 2010

, 1 (1) 2011

n

u









Tìm giới hạn sau: 1 2

n n

n

u





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 2u n  ,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

n   ,   

1

1 0 2011

n n

u u

   , vậy  u n tăng

 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

2

1

1

1

2010

2011

1 2011

2011

2011

n

n

u

u









1

1, 2, (*) 1

n

n





 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1

n

u



 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a2.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

( 1) ( 1) 0 0 1

2011

a a

a   a a a      (vô lý) a a

2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

1

1

n

u





 Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2

1

n

u

n n

n

u





Bài toán 4

Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1

2

1 2

4

, 2 (1) 2

n

u

 







Tìm giới hạn sau: 2 2 2

n

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0u n  ,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

0

Suy ra:  u n tăng

 Tính tổng:

2 1

2 1

2

1 4

( 1, 2, ) (*)

n

u

n





 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

2 2 2 2

6

n

u u  u  u u u  u

 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

2 4 0

2

a    a

(vô lý) 2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

lim n lim 1 0

n

u

u

     

 Vì thế từ (2) ta suy ra: 2 2 2

 Vậy 2 2 2

n

n



Bài toán 5

Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 12

1

2010

2009 2011 1 0, 1 (1)

u









Tìm giới hạn sau:

n

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 2010u n  ,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

 2

1

1 0 2010

n

u

     u n tăng

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2 2

2 1

1

2011

2009 1

1 1

2011

1

2011

n

n

u

u





1

(n=1,2, ) (*)

 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

n

 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a2010 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

a22009a2011a    (vô lý) 1 0 a 1

2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

 1 

1

1

1

n

u





 Vì thế từ (2) ta suy ra:



 Vậy

n

n



Bài toán 6

Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1

2 1

1 2009

2009 , 1 (1)

u

 





 Tìm giới hạn sau: 1 2

n

n

u





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0u n  ,  n 1

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

u  u  u    u n tăng

 Tính tổng: Xuất phát từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

1

2009

200

9

n

u u

u

u u u

u u











 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

1

2009

2009

2009

n

n

u

u



 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

a2009a2   (vô lý) a a 0

2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

1

1

n

u





 Vì thế từ (2) ta suy ra: 1 2

2009

n

u

 Vậy 1 2

n

n

u





Bài toán 7

Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1

2 1

1 2

, 1 (1)

u

 





 Tìm giới hạn sau:

n

n





Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 1u n  ,  n 3

 Xét tính đơn điệu của  u n : Từ hệ thức (1) ta suy ra được

2

u  u u    u n tăng

 Tính tổng:

2 1

1

1

( 1, 2, ) (*)

1

n









 Thay n bởi 1,2,3, ,n vào (*) và cộng vế với vế các đẳng thức ta suy ra được:

u u  u   u 

 Do  u n là dãy tăng nên có hai khả năng sau xảy ra:

1) Dãy  u n bị chặn trên Theo tiêu chuẩn Weierstrass, do  u n tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn Giả sử lim n

  thì a0.Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) khi n  ta có:

a a 2   (vô lý) a a 0

2) Dãy  u n không bị chặn trên, do  u n tăng và không bị chặn trên nên:

1

1

1

n

u





 Vì thế từ (2) ta suy ra:

 Vậy

n

n





Bài toán 8

Cho dãy số thực  u n xác định bởi: 1

1

1 , 1 (1)

u







Tìm giới hạn sau:

n

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 1u n  ,  n 1

 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

1

1

1

1 1

n

n

n

n

n

u







1, 2,

n



 Do đó:

1 1 1 2 1 1 1 n 2n

 Vậy

1



Bài toán 9

Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1

1

1

u









Tìm giới hạn sau:

n

n



Lời giải

 Bằng phép quy nạp đơn giản ta thấy rằng: 0u n  ,  n 1

 Tính tổng: Từ hệ thức truy hồi (1) ta suy ra được

2

1

u

u u

u













1

1

( 1, 2, )

1

n





 Do đó:

             nên lim n 1 1

 Vậy



Bài toán 10

Cho dãy số thực  u n xác định bởi:

1 2 1

3

2010

n

u









Tìm giới hạn sau: 1 2

1

n n

n

u





Lời giải

2010

n

1

2010

( 1)

Vì u1 = 3 nên 3 = u1< u2<u3<…< un, suy ra dãy {un} tăng

 Giả sử dãy {un}bị chặn trên  L: limun= L ( L > 3)

Suy ra limun1= lim 2 2007 2

2010

2010

 L2-3L+2 = 0L = 1 hoặc L = 2 (vô lý vì L > 3)

Do đó {un} không bị chặn trên hay lim un= + hay lim 1 0

n n u

 Biến đổi (1) (un-1)(un-2) = 2010(un1-un)



1

1 2

n

n

u

u 



 = 2010 (

1 2

n

u  - 1

1 2

n

u   ) (*)

 Cho n lần lượt nhận các giá trị 1, 2, 3, ….n, sau đó cộng vế theo vế ta được:

Sn=

1 1

1 2

n i

i i

u u





1

1 2

n

u   )

 Vậy lim Sn= 2010 

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Phan Huy Khải Các bài toán về dãy số NXBGD 2007

[2] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Thủy Thanh Giới hạn dãy số & hàm số NXBGD 2002

[3] Nguyễn Văn Mậu - Nguyễn Văn Tiến

Một số chuyên đề giải tích bồi dưỡng học sinh giỏi THPT NXBGD 2009

[4] Phạm Văn Nhâm Một số lớp bài toán về dãy số Luận văn thạc sĩ khoa học 2011

[5] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XV – 2009

[6] Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30/4 lần thứ XVI – 2010.