Trong các đề thi vừa qua, ta thấy nhiều bài toán yêu cầu tìm giới hạn dãy số nhưng bản chất chỉ cần xác định được công thức tổng quát và thông qua một số ước lượng nữa là đủ.. Trước hết[r]
Trang 1PHẦN 2 SỬ DỤNG CÔNG THỨC TỔNG QUÁT TRONG TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ
Xét về mặt đại số, việc tìm công thức tổng quát là một trong những dạng cơ bản, thuần túy nhất Trong các đề thi vừa qua, ta thấy nhiều bài toán yêu cầu tìm giới hạn dãy số nhưng bản chất chỉ cần xác định được công thức tổng quát và thông qua một số ước lượng nữa là đủ
Trước hết, ta xét hai tình huống ứng dụng của dãy sai phân cấp hai
Bài 2.1 (Vũng Tàu) Cho dãy số ( ) u n xác định bởi
2 1
3
n
n
u
u
n
n
v
, tính limv n
Lời giải Theo giả thiết 2
u u u n Do đó
2
n
v
u u u u u u nên u u n( nu n2)u n1(u n1u n1) nên
4
Suy ra dãy đã cho là sai phân tuyến tính cấp hai và có công thức tổng quát 1n 2n
n
u A x B x với x1x2 là nghiệm của 2
4 1 0
x x
Do đó
1
n
n
x
nên limv n 42 3
Bài 2.2 (Nghệ An) Cho dãy số ( ) x n xác định bởi x11,x n13x nx n 5 với mọi n Đặt dãy
số
4k
n
n
y
x x
với mọi n Tính các giới hạn 1
lim n , lim
n n
x
y x
Lời giải Rõ ràng x n 5 1 x n 5 x n 5
và dãy x n nên ta tính được
1
lim n 3 5
n
x x
Dự đoán dãy đã cho tương ứng với dãy sai phân cấp hai, và từ ý tưởng bài trên, ta thấy công thức tổng quát của dãy phải có dạng
(3 5)n (3 5)n
x A B
Trang 2Do đó, phương trình đặc trưng phải là 2
x x hay x n2 6x n14x n Mặt khác, x n2 3x n1x n1 5
nên ta đưa về chứng minh
3x n 4x n x n 5
hay x n1 5 1 3x n14x n x n1 5 Mặt khác, từ công thức xác định dãy, ta có
1
x x x x Suy ra (3 5)x n 1 x n1(3 5)x n, nhân các vế cho 3 5, ta có
1
4x n(3 5)(3 5)x n 4x n hay x n1 5 1 3x n14x n x n1 5
Khẳng định được chứng minh Tiếp theo, bằng quy nạp, ta chỉ ra được rằng
x x x nên 2 1
4 4
n
n
n
y
Tiếp theo, ta xét một số bài dùng phép thế lượng giác để tìm công thức tổng quát
Bài 2.3 (Đồng Nai) Cho số thực a (0;1) Xét hàm số ( )f x xác định bởi:
f x ( ) 0 nếu x[0; ).a
( ) 1 ( (1 )(1 ) )
f x ax a x nếu x[ ;1].a
Cho dãy số ( )u n xác định bởi u1 1,u n1 f u( n) Chứng minh rằng tồn tại k để u k 0
Lời giải
sin
a với 0;
2
Giả sử phản chứng rằng không có chỉ số k nào để u k 0 Khi
đó, ta luôn có u n1 1 au n (1a)(1u n2
Bằng quy nạp kết hợp với công thức lượng giác, ta chứng minh được rằng
2
cos ( 1)
n
u n với mọi n 1
Để có u n 0, n 1 thì phải có u n a hay 2 2
cos (n1) sin , n 1, 2, 3, (*)
Ta sẽ chứng minh điều này vô lý bằng cách chỉ ra số n để đánh giá trên là sai Chú ý rằng
cos ( ) sin
2
Trang 3nên với mỗi số ,n luôn có số nguyên k để 2 2
2
Do 0 nên các số có dạng 1 ( 1)
có thể lớn tùy ý Khi đó, với số k nguyên dương
đủ lớn, luôn tồn tại n để 1 ( 1)
; chọn số n nhỏ nhất như thế thì rõ ràng phải có 1
( 1)
hay giữa khoảng 1 ( 1) ; 1 ( 1)
nguyên dương nào đó Khẳng định (*) đúng và ta có đpcm
Bài 2.4 (Bình Định) Cho dãy số ( ) u n xác định bởi u1 2 2 ,u n1 2u n n, 1 Tính giới hạn sau lim 2 n 2u n
Gợi ý Chú ý rằng cos3 2
nên ta tính được 1 2 cos3
8
nên bằng quy nạp, ta chứng
minh được 2 cos 3 2
2
0
sin
x
x x
Bài 2.5 (Hà Nội) Cho dãy số
2
1 1 3
, 3
n n
n
u
u
với n 1 Chứng minh rằng dãy số
(u n) bị chặn và 2020
2
u u u
Gợi ý Đặt 1 tan
6
, ta có
2
2 1
u u
Do đó, tương tự bằng quy nạp, ta chứng minh được tan
3 2
với n 1
Từ đó, kết hợp với đánh giá tan , 0;
2
x x x
nên cot 1, 0;
2
x
kéo theo
2 2019 2020
Trang 4Cuối cùng là một số bài tương tự cùng dạng:
Bài 2.6 (Thanh Hóa) Cho dãy số ( ) x n xác định bởi
1
,
1
x
Tìm số hạng tổng quát của dãy ( )x n , từ đó tìm để dãy ( )x n có giới hạn hữu hạn
Gợi ý Ta viết lại dãy số thành ( 1) 1 3 8 2
n
Tìm cách đặt dãy phụ thích hợp để khử biểu thức tự do 8 2
(n 1) là có thể suy ra công thức tổng quát của ( ).x n
Bài 2.7 (Quảng Trị) Cho dãy số ( ) a n thỏa mãn 1 2
3
n
với 1
n Đặt s n a1 a2 a n Tính lim s n
Gợi ý Đặt dãy phụ 24 9
256
n n
a
b rồi thay vào rút gọn