DẠNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A... Chứng minh dãy số vn là một cấp số cộng.[r]
Trang 1DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN DAY TONG
A LÝ THUYẾT
Bài toán : Cho dãy số dạng công thức truy hồi tìm lim S„
Hạ — ⁄ (wu,
* Cơ sở lý thuyết
Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm
Các gới hạn đặc biệt của dãy số
Các định lý về giới hạn của dãy số
._ Quy tắc tìm giới hạn một tích một thương của dãy số
Phân tích đa thức thành nhân tử , tam thức bậc hai
Các bước giải bài toán
BI: Chứng minh dãy số tăng hoặc dãy số giảm
B2: Tìm giới hạn của dãy số u,,
B3: Phân tích „ = ƒ(„ ¡,1„_;) về dạng tổng Sạ và tính tổng Sa, tính lim S,
B BÀI TẬP
Bài 9: Cho dãy SỐ {u, };n=1,2, duoc xac định như sau:
u, =1 Uns = fu, (u, + 1)(u,, +2)(u, + 3)+1;n=1,2,
at S = ¥ —— (n= inh lim S
Đặt 5„ > (n =1,2, ) Tinh oe
¡=] tt + 2
u,=l
Bài 10 Cho day s6{u,} thoa man: ue
1 =———+†ti
n+l 2012 n
Xét dãy sô y =——*+—~+ +——, Với n= l1,2,
Chứng minh răng dãy số ƒvạ} có giới hạn và tìm giới hạn đó
Bài 13 ( HSG Tỉnh LS 2011-2012 khôi 11 ):
u, =2012
neN#
Usa 2012uˆ +U, ( )
Cho dãy số (uạ) xác định như sau:
Tìm lim(— + ++ + 4+—)
Bai 15 Cho day s6 (U,) duge xac định bởi :
u, =5
u, = —(u2 -u, +9) :vneN nl atv, =>) neN;n>l
Tinh lim v,
Bài 17 Cho dãy số (u,) xác định bởi công thức
U,,, =l+u,u, u,,n=1,2 ia Uy nto
Trang 2Bài 18 Cho dãy (x,) xác định như sau :
xX, =1
Xi) =X, +3x, +1
X,+2 x,+2 xX, +2 Bài 20 Cho {uạ }xác định như sau: uị =8; u,,, = su; —7u, +25)
1 1
n>+eUly—2_ Uy—2 u„—=2
Bài 24 Cho dãy số (U,) được xác định bởi :
u, =5
uy = —(u2 -u, +9) >WneN ;n21 Dat v, = > sneN; n>
Tinh lim v,
— (2+cos2ø)x,+cos” ø
ml (2—2cos2a)x, +2—cos2a
Bai 25 Cho day (xạ) : xị=l ; #
H1
Đặt 3; =>, ,VN21 Tim ø để dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm
m 2x,+Ï giới hạn đó
ài ã : x+9 „và xhs Ắ
Bai 26 Cho day (x, ) thoa: x, = 4;x„ =—T” Tính lim
X;—x„ +6 nat x, +3
2 Bai 28 cho {u, ;xác định như sau: uy = 2; u,,, = uy +Z012u,
2014
n>+e0 U, —] u; —] tài |
DẠNG TÌM SÓ HẠNG TỎNG QUÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIEN QUAN
A LY THUYET
., |uy =a
1 Bài toán 1 : Cho day sô dạng công thức truy hôi ' tìm /„
U, = Af (U,1)+ 8(n)
ú„ =1, ¡ + g(n), Vn 5 2
THI: a+1, dat u, =u, ¡ + h(n) bậc cua h(n) lak đông nhất hệ số để tìm các hệ số trong h(n) dựa vào công thức truy hồi
Trang 3TH2: a=1, dat „ —ø„ ¡+ (n) bậc của ø{ø) là k +1 ( hệ số tự do là 0 ) đông nhất hệ số để
tìm các hệ số trong #(z) dựa vào công thức truy hôi
1, = q
Loại 2:
w„ = a0, ¡ bo”, Vn > 2(*)
THỊ: aza, dat u, =u, ,+A.0” thay vao (*) đông nhất hệ số dé tìm À
TH2: a=a, dat u, =u, _,+Ana” thay vào (*) đông nhất hệ số đề tìm A
Loại 3 :
u„ = a7, ¡ bo” + g(n),Vn > 2(*)
1, = q
Loại 4: b
om u,, = “5H TỄ n> 2(*)(ad = be)
cu, td THI: b=0 thi u, = 111 +L~ a——+< đặt v„ = +_ được vy, =Ayv,_,+B
cu, ,+d Hạ, u, 1 a HH, đưa về loại 1 ( với bậc của h(n) 1a 0 )
TH2: néu 5 +0 thi dat u, =a, +7? thay vao (*) dua vé dang a, = —““z! — nhự
Ba„ ¡+C
Trường hợp 1 khi b=0 băng cách chọn t để hệ số tự do băng 0
u,=au, ,+bu,_5,Vn=3
+ TH 1: Néu phuong trinh dac trung \? —a.\—b =0 cé hai nghiém phan biét À¡,A, thì số hạng tổng quát có dạng : „ =.À +b.À, tìm a, b băng thay ul; u2
+ TH 2: Néu À?—øÀ—ð =0 có nghiệm kép là A thì uw, = (an+b).À"
* Cơ sở lý thuyết — —
I1 Công thức của câp sô cộng
Day (u,,) 1a cap số cộng công sai đ có dạng 0„,¡ =1„ +đ
Số hạng tông quát của cấp số cộng là w„ =1 +(n—T)äd
2 Công thức của cấp số nhân
Dãy (z„) là cấp số cộng công sai Z có dạng 0„,¡ = „4
Số hạng tông quát của cấp số cộng là u, = ug” |
* Các bước giải bài toán
BI: Tìm sô hạng tổ quát của dãy số ( Tương ứng ở một trong các dạng trên )
B2: Giải quyết các yêu câu khác của bài toán nêu có
B BÀI TẬP
ị =Ï
vị = 3u„ +2(n N’) 1ị = 2
+ị= 20, +3n+2(neN ) Bài 1: Tìm số hạng tông quát của dãy (u,,): (
Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy (u,,): h
Trang 4ị =Ï
Mại =3u,+2"*'(ne NÌ)
u, =u, =5
Bài 3: Tìm số hạng tông quát của dãy (u,,): |
Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy (u,,): *
Uni = 5M, Su, (ne N )
My = Ì;w, = 2 (1)
Bài 5: Dãy số {z„} xác định như sau: — My +20, (2 (với n= 1,2,3, ) Tìm uw,
Bai 6: Cho day s6(x,) xac dinh nhu sau: _ 3x, (2) (nc N*) Tìm công x, theo n
ntl x, 42
Bai 7: Cho day s6(x,) xac dinh nhu sau: về 2x, (2) (ne N*)Tim công x,„ theo n
` 3x,¡+4
Bai 8: Cho day s6(x,) xac định như sau: " -9x,¡— 24 (2) („0œ N*) Tìm công x, theo n
"` 5x,,+13
Xạ=2
Bài 9: Tìm số hạng tông quát của dãy sô (x,): _ 2x, +1,Vn=1,2
ntl x +2,
2
Bai 10: Cho day 36 (x, ): 3 x ,Vn=2,3 hay tính tông của 2014 số hạng đầu tiên
n—l
2(2n—-1)x, +1 của dãy số
1 Xạ=>~
Bài 11: Cho dãy sô (x„) xác định như sau : 2 với mọi e M Tìm lim(w#Ÿx,)
n+
x =——
2(n+1)x, +1
u,=3
Bài 12 Cho dãy số (uạ) xác định bởi _ 5w —3 *
H„+„=———., neN
3 „ —]
Xét day s6 (va) với y=———, VñcN* Chứng minh dãy sô (va) là một câp sô cộng Tìm sô
hạng tổng quát của dãy số (un)
Bài 13 : Cho dãy sô (uạ) xác định bởi : + `
u,„,=l0u, +I-9n,Vn eN
Tìm công thức tính uạ theo n