Tiểu luận cơ học chất lỏng

Trong thủy động lực học, nguyên lý Bernoulli phát biểu rằng đối với một dòng chất lưu không dẫn nhiệt không có tính nhớt, sự tăng vận tốc của chất lưu xảy ra tương ứng đồng thời với sự giảm áp suất hoặc sự giảm thế năng của chất lưu. Nguyên lý này đặt theo tên của Daniel Bernoulli, ông đã công bố nó trong quyển sách của mình Hydrodynamica vào năm 1738

MỤC LỤC

I GIỚI THIỆU PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI (THỦY LỰC ĐỘNG HỌC)

Trong thủy động lực học, nguyên lý Bernoulli phát biểu rằng đối với một dòng chất

lưu không dẫn nhiệt không có tính nhớt, sự tăng vận tốc của chất lưu xảy ra tương ứng đồng thời với sự giảm áp suất hoặc sự giảm thế năng của chất lưu Nguyên lý này đặt theo tên của

Daniel Bernoulli, ông đã công bố nó trong quyển sách của mình Hydrodynamica vào năm

1738

Nguyên lý Bernoulli áp dụng được cho nhiều loại chất lưu, chúng thể hiện qua kết quả khi

viết dưới dạng phương trình Bernoulli Thực tế, có các dạng phương trình Bernoulli khác

nhau cho những loại chất lưu khác nhau Dạng đơn giản của nguyên lý Bernoulli thỏa mãn cho trường hợp dòng chảy không nén được (ví dụ cho dòng chất lỏng) và cho cả dòng chảy nén được (ví dụ đối với khí) chuyển động nhỏ hơn tốc độ âm thanh (số Mach) (thường là nhỏ hơn 0,3) Các dạng phức tạp hơn ở một số trường hợp có thể áp dụng cho trường hợp dòng chảy nén được chuyển động với vận tốc lớn hơn các số Mach

Nguyên lý Bernoulli là hệ quả của định luật bảo toàn năng lượng Nó phát biểu rằng, trong một dòng chảy ổn định, tổng mọi dạng năng lượng trong chất lưu dọc theo đường dòng là như nhau tại mọi điểm trên đường dòng đó Điều này đòi hỏi rằng tổng động năng, thế năng và nội năng phải là hằng số.Do đó một sự tăng vận tốc của chất lưu – hàm ý

sự tăng ở cả áp suất động lực và động năng – diễn ra đồng thời với sự giảm (theo tổng của) áp suất tĩnh, thế năng và nội năng Nếu chất lưu chảy ra khỏi một nguồn, tổng mọi dạng năng lượng sẽ là như nhau trên mọi đường dòng bởi vì trong nguồn năng lượng trên một đơn

vị thể tích (tổng áp suất và thế năng hấp dẫn ρ g h) là như nhau ở khắp nơi.

Nguyên lý Bernoulli cũng suy được trực tiếp từ định luật thứ hai của Newton Nếu một thể tích nhỏ của chất lưu chảy theo phương ngang từ vùng có áp suất cao đến vùng có áp suất thấp, thì áp suất mặt sau của nó sẽ lớn hơn áp suất ở mặt trước của nó Điều này dẫn tới có tổng hợp lực trên đơn vị thể tích, làm gia tốc nó dọc theo đường dòng

Các hạt chất lỏng chỉ chịu áp suất và trọng lượng của chúng Nếu một chất lỏng hạt chảy theo phương ngang và dọc theo tiết diện của đường dòng, nơi vận tốc tăng lên chỉ có thể vì chất lỏng qua tiết diện đó di chuyển từ vùng có áp suất cao hơn sang vùng có áp suất thấp hơn; và nếu vận tốc của nó giảm, chỉ có thể bởi nó di chuyển từ vùng có áp suất thấp hơn sang vùng có áp suất lớn hơn Hệ quả là, đối với chất lỏng chảy theo phương ngang, vận tốc lớn nhất xuất hiện khi có áp suất nhỏ nhất, và vận tốc nhỏ nhất xuất hiện khi có áp suất cao nhất

II PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI CHO DÒNG CHẤT LỎNG

I.1 Phương trình Bernoulli dạng cơ bản và ý nghĩa

Xét một phần tử vi cấp của dòng chảy có tiết diện ngang A và chiều dài dL Phần tử này có khối lượng là ρ A dL và chịu tác dụng của những lực sau:

• Lực do áp suất p tác động lên mặt trước : p A ,

• Lực do áp suất p + dp tác động lên mặt sau : (p + dp)A ,

• trọng lượng của phần tử vi cấp này : ρ g A dL ,

Các thông số của dòng chảy vi cấp

Áp dụng định luật 2 Newton cho phần tử này theo phương chuyển động (phương của vận tốc v), ta có :

Ý nghĩa của phương trình Bernoulli:

− Nhận xét rằng mỗi thừa số trong phương trình Bernoulli đều có ý nghĩa và thứ nguyên của năng lượng cho một đơn vị khối lượng (J/kg):

+ p/ρ : thế năng thủy tĩnh, có được do lưu chất có áp suất p,

+ gz thế năng vị trí, có được do lưu chất có độ cao z (so với mặt chuẩn),

+ v2/2 : động năng của lưu chất

Vì thế ta có thể xem tổng của ba số hạng này là năng lượng toàn phần của dòng chảy Vậy ý nghĩa của định luật Bernoulli là sự bảo toàn năng lượng dòng chảy

− Ghi chú : do giá trị của z còn phụ thuộc vào vị trí của mặt chuẩn nên giá trị của tổng năng lượng cũng mang tính tương đối

I.2 Phương trình Bernoulli viết cho tia dòng của chất lỏng thực chảy ổn định

Phương trình Bernoulli cho chuyển động của chất lỏng lý tưởng là định luật bảo toàn năng lượng của dòng chảy: cột áp tại mặt cắt đầu bất kỳ luôn bằng cột áp tại mặt tiếp theo:

Đối với chất lỏng thực, một phần năng lượng bị tiêu hao để thắng lực ma sát (khơng cĩ lực

ma sát này đối với chất lỏng lý tưởng) nên:

hay

Trong đĩ là tổn thất năng lượng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng để thắng lực

ma sát trong, khi dịch chuyển từ mặt cắt 1 đến mặt cắt 2 hay mặt cắt A đến mặt cắt B (hình 1)

• Lưu lượng Q, tốc độ khơng đổi

• Cĩ ma sát

ZA=H

Mặt so sánh

u 2 /2g

p/pg

z

u 2 /2g u2 /2g Đường năng lượng Đường đo áp

H-h f

Hình 1: Sơ đồ biểu diễn hình học phương trình Bernoulli

Như vậy, phương trình Becnoulli viết cho tia dịng chuyển động ổn định của chất lỏng thực:

Trong đĩ:

p 1 và p 2 : áp suất tại mặt cắt 1 và 2

γ=ρ.g:

ρ mật độ tại mọi điểm trong chất lỏng

g là gia tốc trọng trường

u 1 và u 2 : vận tốc của dịng chất lỏng tại điểm trên đường dịng mặt cắt 1 và 2

Z 1 và Z 2 : cao độ của điểm so với một mặt phẳng tham chiếu, với giá trị dương của z-hướng lên trên – ngược chiều với z-hướng của vectơ gia tốc trọng trường ở 2 mặt cắt 1 và 2.

Nhớ rằng: khi chất lỏng chuyển động trong đường cong, năng lượng do lực ly tâm tạo ra khơng được tính vào phương trình Bernoulli Năng lượng bị mất đi trong dịng hàm khí khơng được tính vào phương trình Bernoulli

II.1 Phương trình Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực chảy ổn định

II.1.1 Giả thiết của dòng chảy đổi dần

 Các đường dòng gần là các đường thẳng song song, trong đó thành phần nằm ngang của vận tốc rất nhỏ có thể bỏ qua, ta chỉ xét thành phần vận tốc dọc trục;

 Bán kính cong của đường dòng khá lớn và như vậy có thể bỏ qua lực quán tính lý tâm;

 Mặt cắt ướt được coi như mặt phẳng, các đường dòng vuông góc với mặt cắt ướt đó;

 Áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh, tức là trên mặt cắt ướt của dòng chảy đổi dần có phương trình:

II.1.2 Hệ số hiệu chỉnh của vận tốc không đều

(1)Tích phân lưu lượng

Lưu lượng của chất lỏng viết dưới dạng tích phân:

Q=∫udA Thay vận tốc điểm u bằng vận tốc trung bình V và độ lệch V 0

Q=∫ V V dA VA+ = +∫V dA

Vì rằng Q = VA nên:

0 0

V dA=

∫

Do đó, khi tính lưu lượng có thể thay vận tốc điểm bằng lưu tốc trung bình mặt cắt, V.

(2) Tích phân động lượng

Tích phân động lượng của chuyển động chất lỏng với khối lượng trongρ

đơn vị thời gian có được viết:

2

t

K =∫ρudAu=ρ∫u dA

Thay vận tốc điểm bằng vận tốc trung bình ta có:

t

K =ρ∫ V V dA+ =ρ V A+ V V dA∫ +∫V dA =ρ V A+∫V dA

(1) Trong đó:

0 0

V dA=

∫

Phương trình (1) có thể được sắp xếp như sau:

2 0

2

V dA

V A

∫

Trong đó ký hiệu:

2 0

0

2 ; 1

V dA

V A

η= ∫ α = +η

2

tb

K =ρV A

- là động lượng tính theo vận tốc trung bình V.

Rõ ràng η

>0, tức là động lượng xác định theo vận tốc trung bình luôn nhỏ hơn động lượng thực, hệ số điều chỉnh vận tốc 0

α

là một hệ số không thứ nguyên, bằng tỷ số giữa động lượng thực của chất lỏng đang xét với động lượng tính theo lưu tốc trung bình mặt cắt:

2

2 0

0 A 2 0 1 2 t

tb

V dA

V dA K

α = ∫ =α = + ∫ =

II.1.3 Phương trình Bernoulli cho toàn dòng chảy

(1) Năm giả thiết hay điều kiện viết phương trình

(i) dòng chảy ổn định, (ii) lực khối chỉ là trọng lực, (iii) chất lỏng không nén được, (iiii) lưu lượng không đổi, (iv) tại mặt cắt mà ta chọn viết tích phân dòng chảy phải là đổi

dần, còn giữa hai mặt cắt đó dòng chảy không nhất thiết phải là đổi dần

(2) Phương trình Bernoulli biểu diễn định luật năng lượng cho toàn dòng chảy có dạng:

1 1 1 2 2 2

(3) Chú ý:

• Trị số

2

2

v p z

g

α γ

+ +

không đổi cho mọi điểm trên cùng một mặt cắt ướt, vậy có thể viết phương trình Bernoulli cho bất kỳ điểm nào trên mặt cắt ướt, song nên chọn điểm viết sao cho viết phương trình được đơn giản

• Áp suất p 1 và p 2 tại điểm ta đã chọn ở hai mặt cắt là cùng loại

• Thực ra 1 2

α α≠

, song thực tế tính toán thường lấy 1 2

α α≈

Hình 2 Thí dụ về phạm vi không áp dụng được phương trình Bernoulli

III ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI

III.1 Đo áp suất tĩnh và áp suất toàn phần

Đặt ống hình trụ hở hai đầu (ống A) sao cho miệng ống song song với dòng chảy Khi

đó áp suất tĩnh trong lòng chất lỏng p = ρgh1, đặt ống hình trụ hở hai đầu, một đầu được uốn vuông góc (ống B) đặt miệng ống B vuông góc với dòng chảy khi đó áp suất toàn phần trong ống ptp = ρgh2

III.2 Đo vận tốc chất lỏng Ống venturi

Sử dụng ống Venturi (có cấu tạo như hình vẽ) để xác định vận tốc của chất lỏng Khi

đó vận tốc của chất lỏng tại tiết diện S được xác định bằng biểu thức sau:

Trong đó:

: là hiệu áp suất tĩnh : khối lượng riêng của chất lỏng trong ống dẫn S1, S2: diện tích mặt cắt ngang tại vị trí 1 và 2.

III.3 Đo vận tốc máy bay nhờ ống Pi tô

Ống pitot dùng để đo vận tốc chuyển động của máy bay Vận tốc được xác định bằng biểu thức

Trong đó:

: khối lượng riêng của chất lỏng : độ chênh lệch mục nước trong 2 nhánh : khối lượng riêng của không khí.

Cấu tạo ống pitot dùng để xác định vận tốc của máy bay

Các ống pitot trên máy bay dùng để xác định vận tốc của máy bay

III.4 Các ứng dụng khác

III.4.1 Lực nâng cánh máy bay

Hình minh họa hình dạng khí động học của cánh máy bay Do có hình dạng khí động học như vậy nên chuyển động của các dòng không khí phía trên cánh máy bay bao giờ cũng lớn hơn chuyển động của dòng không khí ở dưới cánh dẫn tới áp suất động của phần trên cánh lớn hơn áp suất động ở phần dưới cánh Theo Định luật Bernoulli tổng áp suất tĩnh và

áp suất động là không đổi => áp suất động tăng thì áp suất tĩnh giảm => phần áp suất tĩnh ở phía dưới cánh máy bay sẽ lớn hơn phần áp suất tĩnh phía trên cánh máy bay, sự trênh lệch

về áp suất tĩnh này tạo ra một lực nâng cánh máy bay lên Kết hợp với lực đẩy của động cơ nhờ đó mà máy bay có khối lượng lên tới cả chục tấn có thể bay lên được

III.4.2 Bộ chế hòa khí

III.4.3 Bình xịt hoa hay bình phun sơn

III.4.4 Thí nghiệm vật lý

Thí nghiệm vật lý vui vận dụng Định luật Bernoulli Sử dụng một máy thổi không khí chuyển động thành dòng bao quanh quả bóng Do áp suất động bao quanh quả bóng tăng lên làm áp suất tĩnh giảm xuống Sự trênh lệch áp suất tĩnh của dòng không khí bao quanh của bóng và áp suất tĩnh phía bên ngoài tạo ra lực đẩy giúp quả bóng chuyển động lơ lửng ở không trung mà không rơi xuống